1、第2讲 万有引力与航天 整 合突 破实 战整合 网络要点重温【网络构建】【要点重温】1.两条基本思路之一:重力由万有引力产生.(1)不考虑自转时,星球表面附近有 G2MmR=,其中 g 为星球表面的重力加速度.可得到黄金代换式 =gR2;根据自由落体、竖直上抛、平抛运动等知识计算出星球表面的 ,再由mg=2GMmR=m2vR,去估算星球的质量、密度、第一宇宙速度.(2)考虑自转时,在两极上才有2GMmR=mg,而赤道上则有2GMmR-=m224TR.mg GM 重力加速度g mg 2.两条基本思路之二:万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力.(1)列出五个连等式:G2Mmr=ma=m2vr=m
2、2r=m224Tr.(2)导出四个表达式:a=,v=,=,T=.(3)定性结论:r越大,向心加速度a、线速度v、动能Ek、角速度 均越 ,而周期T和引力势能Ep均越 .3.三类天体(1)近地卫星:G2MmR=m2vR.2MG rGMr3GMr234 rGM小 大 mg (2)同步卫星:G2()MmRh=m(R+h)(2T)2(T=h).(3)双星:122Gm mL=m12r1=m22r2,r1+r2=L.4.卫星变轨问题 当卫星速度减小时F向 F万,卫星做近心运动而轨道下降,此时F万做 功,使卫星速度 ,变轨成功后可在低轨道上稳定运动;当卫星速度增大时,与此过程相反.24 小于 正 增大 突破
3、 热点考向聚焦 热点考向一 天体质量和密度的估算 【核心提炼】估算中心天体的质量和密度的两条思路(1)利用中心天体的半径和表面的重力加速度 g.由 G2MmR=mg 求出 M=2gRG,进而求得=MV=343MR=34gGR.(2)利用环绕天体的轨道半径 r、周期 T.由 G2Mmr=m224Tr,可得出 M=2324 rGT.若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动,轨道半径 r=R,则=343MR=23GT.【典例 1】(2017山东泰安质检)(多选)我国将在 2018 年发射“嫦娥四号”,它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星.已知月球的半径为 R,月球表面的重力加速度为 g,
4、引力常量为 G,“嫦娥四号”离月球中心的距离为 r,绕月周期为 T.根据以上信息可求出()A.“嫦娥四号”绕月运行的速度为2r gR B.月球的质量为2gRg C.月球的平均密度为23GT D.月球的平均密度为3233 rGT R BD 解析:月球表面任意一物体重力等于万有引力 G2MmR=mg,则有 GM=gR2,“嫦娥四号”绕月运行时,万有引力提供向心力 G2Mmr=m2vr,解得 v=GMr,联立解得 v=2gRr,选项 A 错误;由 G2MmR=mg 求出 M=2gRG,选项 B 正确;“嫦娥四号”绕月运行时,根据万有引力提供向心力有 G2Mmr=m224Tr,解得月球的质量 M=23
5、24 rGT,月球的平均密度为=MV=2323443rGTR=3233 rGT R,选项 C 错误,D 正确.【预测练习 1】(2017北京丰台区二模)理论上可以证明,天体的第二宇宙速度(逃逸速度)是第一宇宙速度(环绕速度)的2 倍,这个关系对于天体普遍适用.若某“黑洞”的半径约为 45 km,逃逸速度可近似认为是真空中光速.已知引力常量G=6.6710-11 Nm2/kg2,真空中光速 c=3108 m/s.根据以上数据,估算此“黑洞”质量的数量级约为()A.1031 kg B.1028 kg C.1023 kg D.1022 kg A 解析:设第一宇宙速度为 v1,有 v1=12c,第一宇
6、宙速度即为最大的环绕速度,根据 万有引力提供向心力可得2GMmR=m21vR,解得 M=21RvG=31611145 109 1026.67 10 kg3.01031 kg,故 A 正确,B,C,D 错误.热点考向二 卫星运行参量的分析【核心提炼】1.同一中心天体的不同圆形轨道上的卫星各运行参量的大小比较可直接应用定性结论法比较得出.2.同一中心天体的圆轨道和椭圆轨道的周期间满足开普勒第三定律32aT=k.3.无论卫星做匀速圆周运动,还是椭圆轨道运动,在只受中心天体万有引力作用时,其加速度均为 a=2GMr.A.“嫦娥一号”在绕月工作轨道上绕行的周期为 2Rg B.由题目条件可知月球的平均密度
7、为34gGR C.“嫦娥一号”在绕月工作轨道上绕行的速度为g Rh D.在“嫦娥一号”的工作轨道处的重力加速度为(RRh)2g【典例2】(2017吉林实验中学二模)(多选)我国发射的第一颗探月卫星“嫦娥一号”,使“嫦娥奔月”这一古老的神话变成了现实.“嫦娥一号”发射后先绕地球做圆周运动,经多次变轨,最终进入距月面h=200千米的圆形工作轨道,开始进行科学探测活动.设月球半径为R,月球表面的重力加速度为g,引力常量为G,则下列说法正确的是()BD 审题突破 解析:根据万有引力提供向心力,即2GMmr=m2vr=m224Tr,解得 v=GMr,T=23rGM,“嫦娥一号”的轨道半径为 r=R+h,
8、结合黄金代换式 GM=gR2,代入线速度及周期式得 T=232RhgR,v=2gRRh,选项 A,C 错误;由黄金代换式得中心天体的质量 M=2gRG,月球的体积 V=43R3,则月球的密度=34gGR,选项 B 正确;在工作轨道处万有引力等于重力,则 GMmRh=mg,得 g=(RRH)2g,选项 D 正确.【预测练习 2】(2017吉林长春第二次质量监测)1990 年 5 月 18 日,经国际小行星中心批准,中科院紫金山天文台将国际编号为 2752 号的小行星命名为“吴健雄星”.该小行星的半径约为地球半径的 1400,密度与地球近似相等,则该小行星与地球的第一宇宙速度之比约为()A.140
9、0 B.1200 C.120 D.140 解析:由 M=43R3,第一宇宙速度 v=GMR,可得 v=243GR,vR.小行星与地球的第一宇宙速度之比为半径之比,选项 A 正确.A 热点考向三 卫星的变轨与对接【核心提炼】1.航天器变轨时半径的变化,根据万有引力和所需向心力的大小关系判断;稳定在新轨道上的运行速度由 v=GMr判断.2.航天器在不同轨道上运行时机械能不同,轨道半径越大,动能越小,引力势能越大,机械能越大.3.航天器经过不同轨道相切的同一点时加速度相等,由 a=2GMr决定.【典例3】(多选)如图所示,某人造地球卫星发射过程经过地球近地轨道、椭圆轨道,最终到达预定圆周轨道.椭圆轨
10、道与近地轨道和圆周轨道分别相切于P点和Q点.已知地球半径为R,地球表面重力加速度为g,则下列说法正确的是()A.卫星从P点到Q点做减速运动 B.卫星在Q点减速才能从椭圆轨道变轨到圆周轨道 C.卫星通过椭圆轨道的P点时的加速度小于g D.卫星在近地轨道飞行的周期T=2 AD Rg解析:卫星从 P 点运动到 Q 点的过程中,受到地球的引力方向与速度方向的夹角大于90,因此卫星做减速运动,选项 A 正确;卫星在椭圆轨道的 Q 点加速才能进入到圆周轨道,选项 B 错误;卫星运行在地球近地轨道的加速度为 g,卫星通过椭圆轨道的 P 点时的加速度等于在地球近地轨道的加速度,所以卫星通过椭圆轨道的 P点时的
11、加速度等于 g,选项 C 错误;卫星在近地轨道的半径为 R,设卫星在近地轨道飞行的周期为 T,则 mg=m(2T)2R,得 T=2Rg,选项 D 正确.【拓展延伸】(多选)在“典例 3”的情景中,若卫星从 P 点到 Q 点运行时间 tPQ=8Rg,则下列说法正确的是()A.卫星从 P 点运动到 Q 点的过程中机械能是减小的 B.卫星在椭圆轨道运行的周期为 16Rg C.圆周轨道的半径为 7R D.卫星在圆周轨道的周期为 14Rg BC 解析:卫星在椭圆轨道运行时机械能是守恒的,选项 A 错误;卫星从 Q 点到 P 点运 行时间也为 8Rg,所以卫星在椭圆轨道运行的周期为 16Rg,选项 B 正
12、确;卫星在近地轨道的半径为 R,设卫星在近地飞行的周期为 T,则 mg=m(2T)2R,得 T=2Rg;设圆周轨道的半径为 r,卫星在圆周轨道的周期为 T;椭圆轨道的 半长轴为2Rr,卫星在椭圆轨道的周期为 16Rg;根据开普勒第三定律32RT=32rT=3222 PQRrt,得 r=7R,T=147Rg,选项 C 正确,D 错误.【预测练习3】我国发射“天宫二号”空间实验室,之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接.假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动,为了实现飞船与空间实验室的对接,下列措施可行的是()A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速追上空间实验
13、室实现对接 B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接 D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接 C 解析:使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速,则向心力变大,飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道,不能实现对接;若空间实验室减速,则向心力变小,空间实验室将脱离原轨道而进入更低的轨道,不能实现对接,故选项A,B错误;要想实现对接,可使飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速,然后飞船将进入较高的空间实验室轨道
14、,逐渐靠近空间实验室后,两者速度接近时实现对接,选项C正确;若飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速,则飞船将进入更低的轨道,不能实现对接,选项D错误.实战 高考真题演练 1.天体质量和密度的估算(2017北京卷,17)利用引力常量G和下列某一组数据,不能计算出地球质量的是()A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 D 解析:对于选项 A,设相对地面静止的某一物体的质量为 m,根据万有引力等于重力,得2地地GM mR=mg,解得 M 地=
15、2地gRG,能求出地球质量;对于选项 B,设卫星质量为 m,根据万有引力提供向心力得 G2地M mr=m2vr,而人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的周期T=2 rv,两式联立解得 M 地=32v TG,能求出地球质量;对于选项C,由 G2月地M mr=m 月(2T)2r,解得 M 地=2324 rGT,能求出地球质量;对于选项 D,由 G2太地M mr=m 地(2T)2r,得 M 太=2324 rGT,只能求得中心天体太阳的质量.2.卫星运行参量的分析(2016全国卷,17)利用三颗位置适当的地球同步卫星,可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯.目前,地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6
16、.6倍,假设地球的自转周期变小,若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的,则地球自转周期的最小值约为()A.1 h B.4 h C.8 h D.16 h B 解析:若三颗同步卫星恰能实现赤道上任意两点的无线电通讯,三颗卫星的位置如 图所示,由几何关系可得 r=sin30R=2R,根据2GMmr=224 mrT得 T=23rGM,则min24T=336.62RR,由此得 Tmin=4 h,选项 B 正确.3.卫星的变轨与对接(2017全国卷,14)2017年4月,我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接,对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行.与天宫二号
17、单独运行时相比,组合体运行的()A.周期变大 B.速率变大 C.动能变大 D.向心加速度变大 C 解析:设地球质量为 M,对天宫二号,由万有引力提供向心力可得 T=23rGM,v=GMr,a=2GMr,而对接后组合体轨道半径 r 不变,则 T,v,a 均不变,但质量变大,由Ek=12mv2知 Ek变大,选项 C 正确.4.卫星运行参量的分析(2017全国卷,19)(多选)如图,海王星绕太阳沿椭圆轨道运动,P为近日点,Q为远日点,M,N为轨道短轴的两个端点,运行的周期为T0,若只考虑海王星和太阳之间的相互作用,则海王星在从P经M,Q到N的运动过程中()A.从P到M所用的时间等于T0/4 B.从Q到N阶段,机械能逐渐变大 C.从P到Q阶段,速率逐渐变小 D.从M到N阶段,万有引力对它先做负功后做正功 CD 解析:海王星从 P 经 M 到 Q 的时间为 12T0,因为 P 到 M 的速率大于 M 到 Q 的速率,可知 P到M所用的时间小于 14T0,选项A错误;运动过程除万有引力外无其他力做功,机械能守恒,选项 B 错误;P 到 Q 过程中,万有引力与速度夹角为钝角,万有引力做负功,速度减小,选项 C 正确;M 到 Q 阶段,引力与速度夹角为钝角,引力做负功,Q 到 N 阶段,引力与速度夹角为锐角,引力做正功,选项 D 正确.点击进入提升 专题限时检测
