1、基础诊断考点突破 最新考纲 1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程；3.掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题第2讲 参数方程基础诊断考点突破1曲线的参数方程并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的_，其中变量t称为_知 识 梳 理在平面直角坐标系 xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y都是某个变量 t 的函数xf（t），yg（t）.参数方程参数基础诊断考点突破2一些常见曲线的参数方程(1)过点 P0(x0，y0)，且倾斜角为 的直线的参数方程为x_y_(t 为参数)
2、(2)圆 的 方 程(x a)2 (y b)2 r2 的 参 数 方 程 为x_y_(为参数)x0tcos y0tsin arcos brsin 基础诊断考点突破(4)抛物线方程 y22px(p0)的参数方程为x_y_(t 为参数)(3)椭圆方程x2a2y2b21(ab0)的参数方程为x_y_(为参数)acos bsin 2pt22pt基础诊断考点突破直线、直线；直线、圆；圆、圆；圆、直线答案 诊 断 自 测1极坐标方程 cos 和参数方程x1t，y2t(t 为参数)所表示的图形分别是_解析 cos x，cos x代入到 cos，得 x，2x，x2y2x 表示圆又x1t，y2t，相加得 xy1
3、，表示直线 基础诊断考点突破答案 62若直线x12t，y23t(t 为实数)与直线 4xky1 垂直，则常数 k_解析 参数方程x12t，y23t，所表示的直线方程为 3x2y7，由此直线与直线 4xky1 垂直可得324k 1，解得 k6.基础诊断考点突破答案 23直线x2t，y1t(t 为参数)与曲线x3cos ，y3sin(为参数)的交点个数为_解析 直线方程可化为 xy10，曲线方程可化为 x2y29，圆心(0，0)到直线 xy10 的距离 d 12 22 3.直线与圆相交有两个交点 基础诊断考点突破答案(3，6)或(5，2)4直线 l：x1 2t，y2 2t(t 为参数)上到点 A(
4、1，2)的距离为4 2的点的坐标为_解析 设点 Q(x，y)为直线上的点，则|QA|（11 2t）2（22 2t）2 （2t）2（2t）24 2，解之得，t2 2，所以 Q(3，6)或 Q(5，2)基础诊断考点突破5(2013广东卷)已知曲线C的极坐标方程为2cos，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为_解析 由 2cos 知，22cos 所以 x2y22x，即(x1)2y21，故其参数方程为x1cos，ysin(为参数)答案 x1cos ，ysin(为参数)基础诊断考点突破考点一 参数方程与普通方程的互化【例1】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么
5、曲线：(1)x112t，y2 32 t(t 为参数)；(2)x1t2，y2t(t 为参数)；基础诊断考点突破(3)xt1t，y1tt(t 为参数)解(1)由 x112t 得 t2x2.y2 32(2x2)3xy2 30，此方程表示直线基础诊断考点突破规律方法 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围(2)由 y2t 得 ty2，x1(y2)2.即(y2)2x1，此方程表示抛物线(3)xt1ty1tt22 得 x2y24，此方程表示双曲线基础诊断考点突破【训练1】将下列参数方程化为普
6、通方程 解(1)由(sin cos)21sin 22(1sin 2)，得y22x.又x1sin 20，2，得所求的普通方程为y22x，x0，2(2)由参数方程得etxy，etxy，(xy)(xy)1，即x2y21(x1)(1)x1sin 2，ysin cos (为参数)；(2)x12（etet），y12（etet）(t 为参数)基础诊断考点突破考点二 直线与圆参数方程的应用【例 2】在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为x3 22 t，y 5 22 t(t 为参数)在极坐标系(与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的方程为 2
7、 5sin .(1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，若点 P 的坐标为(3，5)，求|PA|PB|.基础诊断考点突破解(1)由 2 5sin ，得 22 5 sin .x2y22 5y，即 x2(y 5)25.(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程得3 22 t 222 t 25，即 t23 2t40.由于(3 2)24420，故可设 t1，t2 是上述方程的两实根，所以t1t23 2，t1t24.又直线 l 过点 P(3，5)，故由上式及 t 的几何意义得|PA|PB|t1|t2|t1t23 2.基础诊断考点突破规律方法(1)过定点 P0(x
8、0，y0)，倾斜角为 的直线参数方程的标准形式为xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0，y0)的数量，即 t|PP0|时为距离使用该式时直线上任意两点 P1，P2 对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|t1t2|，P1P2 的中点对应的参数为12(t1t2)(2)对于形如xx0at，yy0bt(t 为参数)，当 a2b21 时，应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题基础诊断考点突破【训练 2】已知直线 l 的参数方程为x1t，y42t(参数 tR)，圆 C 的参数方程为x2cos 2，y2sin(参数 0，2)，求直线 l 被
9、圆 C 所截得的弦长解 由x1t，y42t 消参数后得普通方程为 2xy60，由x2cos 2，y2sin 消参数后得普通方程为(x2)2y24，基础诊断考点突破显然圆心坐标为(2，0)，半径为 2.由于圆心到直线 2xy60 的距离为 d|2206|22122 55，所以所求弦长为 2 222 5528 55.基础诊断考点突破考点三 极坐标、参数方程的综合应用(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程【例 3】已知 P 为半圆 C：xcos ，ysin(为参数，0)上的点，点 A 的坐标为(1，0)，O 为坐标原点，点M 在射线 OP 上，线
10、段 OM 与 C 的弧AP的长度均为3.基础诊断考点突破解(1)由已知，点 M 的极角为3，且点 M 的极径等于3，故点 M 的极坐标为3，3.(2)点 M 的直角坐标为6，36，A(1，0)故直线 AM 的参数方程为x16 1 t，y 36t(t 为参数)基础诊断考点突破规律方法 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程基础诊断考点突破【训练 3】(2013福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 A的极坐标为2，4，直线 l 的极坐标方程为 cos 4 a，且点 A 在直线 l 上(1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；(2)圆 C 的参数方程为x1cos ，ysin(为参数)，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系基础诊断考点突破解(1)由点 A2，4 在直线 cos4 a 上，可得 a2.所以直线 l 的方程可化为 cos sin 2，从而直线 l 的直角坐标方程为 xy20.(2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x1)2y21，所以圆 C 的圆心为(1，0)，半径 r1，因为圆心 C 到直线 l 的距离 d 12 22 1，所以直线 l 与圆 C 相交.
