1、2.1.1向量的概念明目标、知重点1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.1.向量的概念(1)向量：具有大小和方向的量称为向量.只有大小和方向，而无特定的位置的向量叫做自由向量.(2)如果两个向量的大小、方向都相同，则说这两个向量相等.(3)有向线段：从点A位移到点B，用线段AB的长度表示位移的距离，在点B处画上箭头表示位移的方向，这时我们说线段AB具有从A到B的方向.具有方向的
2、线段，叫做有向线段.点A叫做有向线段的始点，点B叫做有向线段的终点.有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示位移的距离，位移的距离叫做向量的长度.2.向量的有关概念(1)以A为始点，以B为终边的有向线段记作，的长度记作|.如果有向量线段表示一个向量，通常我们就说向量.(2)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量.(3)如果a，那么的长度表示向量a的大小，也叫做a的长(或模)，记作|a|.两个向量a和b同向且等长，即a和b相等，记作ab.3.向量的平行(1)通过有向线段的直线，叫做向量的基线(如图).如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行.向量a平行于b，记作ab.(2)
3、长度等于零的向量，叫做零向量，记作0.零向量的方向不确定，在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量平行.4.位置向量任给一定点O和向量a(如图)，过点O作有向线段a，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量，又常叫做点A相对于点O的位置向量.探究点一向量的概念和几何表示问题我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量.数学中，我们把这种具有大小和方向的量称为向量.而把那些只有大小，没有方向的量称为数量.例如，已知下列各量：力；功；速度；质量；温度；位移；加速度；重力；路程；密度.其中是数量的有，是向量的有.思考1向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？答联系是向量与数量都是
4、有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小.向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示.用表示向量的有向线段的长度表示.向量的大小，也就是向量的长度(或称模).记作|，有向线段箭头表示向量的方向.思考2向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？答 向量的模可以为0，也可以为1，不可以为负数.思考3向量与有向线段有什么区别？答向量只有大小和方向两个要素，与起点无关.只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.探究点二几个向量概念的理解思考1长度为零的向量叫什么
5、向量？答长度为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是任意的.思考2满足什么条件的两个向量是相等向量？答长度相等方向相同的向量叫做相等向量.若向量a与b相等，记作ab.小结研究向量问题时要注意，从大小和方向两个方面考虑，不可忽略其中任何一个要素.对于初学者来讲，由于向量是一个相对新的概念，常常因忽略向量的方向性而致错.思考3在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？答案单位圆.探究点三平行向量与共线向量思考1如果两个非零向量所在的基线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？答方向相同或相反小结(1)通过有向线段的直线，叫做向量的基线，如果向量的基线互
6、相平行或重合，则称这些向量共线或平行；(2)方向相同或相反的非零向量一定是平行向量.向量a、b平行，通常记作ab. 规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0a.平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.思考2如果非零向量与是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？答 点A、B、C、D不一定共线.思考3若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？向量平行具备传递性吗？答向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线).向量
7、的平行不具备传递性，即若ab，bc，则未必有ac，这是因为，当b0时，a、c可以是任意向量，但若b0，必有ab，bcac.小结在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”.例1判断下列命题是否正确，并说明理由.若ab，则a一定不与b共线；若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；在平行四边形ABCD中，一定有；若向量a与任一向量b平行，则a0；若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac.解两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故不正确.，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故不正确.在平行四边形AB
8、CD中，|，与平行且方向相同，故，正确.零向量的方向是任意的，与任一向量平行，正确.ab，则|a|b|且a与b方向相同；bc，则|b|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故ac，正确.若b0，由于a的方向与c的方向都是任意的，ac可能不成立；b0时，ac成立，故不正确.反思与感悟对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可.跟踪训练1判断下列命题是否正确，并说明理由.若向量a与b同向，且|a|b|，则ab；若向量|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；对于任意|a|b|，且a与b的方向相同，则ab；向量a与向量b平
9、行，则向量a与b方向相同或相反.解不正确.因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故不正确.不正确.由|a|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向.正确.|a|b|，且a与b同向.由两向量相等的条件可得ab.不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定.例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.(1)作出向量、；(2)求|.解(1)向量、如图所示.(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，又|，在四边形ABCD中，AB
10、綊CD.四边形ABCD为平行四边形.，|200 km.反思与感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练2在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使ba；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|，并说出向量c的终点的轨迹是什么？解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略).(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略).例3如图所示，ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.(1)写出与共线的向量；(
11、2)写出与的模大小相等的向量；(3)写出与相等的向量.解(1)因为E、F分别是AC、AB的中点，所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，所以与共线的向量有：，.(2)与模相等的向量有：，.(3)与相等的向量有：与.反思与感悟(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.跟踪训练3如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示向量中与、相等的向量.解；.1.下列说法中错误的是()A.有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B.若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量C.长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D.方向相反的两个非零
12、向量必不相等答案C解析长度相等但方向相反的两个向量一定共线，由向量的概念及向量的模的意义可判断A、B、D选项内容都是正确的.2.如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是()A.与B.与C.与D.与答案D解析，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD互相平分，.3.如图，在ABC中，若DEBC，则图中所示向量中是共线向量的有_.答案与，与，与解析观察图形，并结合共线向量的定义可得解.4.在四边形ABCD中，且|，则四边形ABCD的形状是_.答案梯形解析且|，ABDC，但ABDC，四边形ABCD是梯形.呈重点、现规律1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因
13、此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用.2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.平行向量指向量所在直线平行或重合即可，是一种广义平行.3.注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.一、基础过关1.下列物理量：质量；速度；位移；力；加速度；路程，其中是向量的有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个答案C解析是向量.2.下列说法正确的个数是()零向量是没有方向的零向量的长度为0零向量的方向是任意的单位向量的模都相等A.0 B.1 C.2
14、D.3答案D3.给出下列六个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则ab；平行四边形ABCD中，一定有.其中不正确的命题的个数为()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个答案C解析不正确的是.4.设O是正方形ABCD的中心，则向量，是()A.相等的向量 B.平行的向量C.有相同起点的向量 D.模相等的向量答案D解析这四个向量的模相等.5.若a为任一非零向量，b为模是1的向量，下列各式：|a|b|；ab；|a|0；|b|1，其中正确的是()A. B. C. D.答案B解析a为任一非零向量，故|a|0.6.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两
15、腰AD，BC上，EF过点P，且EFAB，则()A.B.C.D.答案D解析由平面几何知识知，与方向不同，故；与方向不同，故；与模相等而方向相反，故；与模相等且方向相同，.7.如图，在四边形ABCD中，N、M分别是AD、BC上的点，且.求证：.证明，|且ABCD，四边形ABCD是平行四边形，|，且DACB.又与的方向相同，.同理可证，四边形CNAM是平行四边形，.|，|，|.DNMB且与的方向相同，.二、能力提升8.以下命题：若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；模为0的向量与任一向量平行；向量就是有向线段；单位向量都是共线向量.其中，正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3答
16、案B解析A、B、C、D四点可能共线；错误；单位向量的模相等，但方向不确定，所以未必共线.9.下列说法正确的是()零向量的长度为零，方向是任意的；若a，b是单位向量，则ab；若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线.A. B. C. D.和答案A解析对于，a与b方向可能不同；对于，向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上.10.已知在边长为2的菱形ABCD中，ABC60，则|_.答案2解析易知ACBD，且ABD30，设AC与BD交于点O，则AOAB1.在RtABO中，易得|，|2|2.11.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30方向行驶2千米到D地，然
17、后从D地沿北偏东60方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30方向行驶2千米才到达B地.(1)在如图所示的坐标系中画出，；(2)求B地相对于A地的位置向量.解(1)向量，如图所示.(2)由题意知，AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60，6千米”.12.如图，已知.求证：(1)ABCABC；(2)，.证明(1)，|，且.又A不在上，AABB.四边形AABB是平行四边形.|.同理|，|.ABCABC.(2)四边形AABB是平行四边形，且|.同理可证.三、探究与拓展13.如图，在平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集SA，B，C，D，O，向量集合T|M，NS，且M，N不重合，试求集合T中元素的个数.解由题意知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，；，；，；，；，.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即，.集合中元素具有互异性，集合T中的元素共有12个.
