1、2016-2017学年广东省中山市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）1若复数z满足z2i=iz，则z=（）A1+iB1iC1+iD1i2设随机变量XB（8，p），且D（X）=1.28，则概率p的值是（）A0.2B0.8C0.2或0.8D0.163某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响部分统计数据如表：使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218总计201030附表：P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0
2、722.7063.8415.0246.6357.87910.828经计算K2的观测值为10，则下列选项正确的是（）A有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响4用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A假设a、b、c都是偶数B假设a、b、c都不是偶数C假设a、b、c至多有一个偶数D假设a、b、c至多有两个偶数5函数f（x）
3、=x2lnx的单调递减区间是（）ABC，D6已知X的分布列为X101P设y=2x+3，则E（Y）的值为（）AB4C1D17从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）ABCD8在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附：若XN（，2），则P（X+）=0.6826，P（2X+2）=0.9544A1 193B1 359C2 718D3 4139如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y
4、（吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x3456y2.5t44.5A产品的生产能耗与产量呈正相关Bt的取值必定是3.15C回归直线一定过点（4，5，3，5）DA产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨10将5件不同奖品全部奖给3个学生，每人至少一件奖品，则不同的获奖情况种数是（）A150B210C240D30011大衍数列，来源于中国古代著作乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50通项公式：，如果把这个数列an排成如图形状，并记A（m，n）表示第m行中从
5、左向右第n个数，则A（10，4）的值为（）A1200B1280C3528D361212已知函数f（x）的导函数为f（x），且f（x）f（x）对任意的xR恒成立，则下列不等式均成立的是（）Af（ln2）2f（0），f（2）e2f（0）Bf（ln2）2f（0），f（2）e2f（0）Cf（ln2）2f（0），f（2）e2f（0）Df（ln2）2f（0），f（2）e2f（0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）13直线是曲线y=lnx的一条切线，则实数b的值为 14计算定积分： = 15已知（1x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a5x5，则（a0+a2
6、+a4）（a1+a3+a5）的值等于 16已知函数f（x）=x2+2x+a，g（x）=lnx2x，如果存在，使得对任意的，都有f（x1）g（x2）成立，则实数a的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17在（2）6的展开式中，求：（1）第3项的二项式系数及系数（2）含x2的项18在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn=（an+），（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想19为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分
7、布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型与模型；作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系温度x/C20222426283032产卵数y/个610212464113322t=x24004845766767849001024z=lny1.792.303.043.184.164.735.7726692803.571157.540.430.320.00012其中，zi=lnyi，附：对于一组数据（1，1），（2，2），（n，n），其回归直线v=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，（1）根据表中数据，分别建立两个模型下y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为
8、30C时的产卵数（C1，C2，C3，C4与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：e4.65104.58，e4.85127.74，e5.05156.02）（2）若模型、的相关指数计算分别为，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好20某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中2道题的便可通过已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响（）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；（）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大
9、？21对于命题P：存在一个常数M，使得不等式对任意正数a，b恒成立（1）试给出这个常数M的值；（2）在（1）所得结论的条件下证明命题P；（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题Q：“存在一个常数M，使得不等式对任意正数a，b，c恒成立”观察命题P与命题Q的规律，请猜想与正数a，b，c，d相关的命题22已知函数存在两个极值点（）求实数a的取值范围；（）设x1和x2分别是f（x）的两个极值点且x1x2，证明：2016-2017学年广东省中山市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）1若
10、复数z满足z2i=iz，则z=（）A1+iB1iC1+iD1i【考点】A7：复数代数形式的混合运算【分析】由题意可得z=，由复数的乘除运算法则，化简即可得到所求复数【解答】解：z2i=iz，可得z=1+i，故选：C2设随机变量XB（8，p），且D（X）=1.28，则概率p的值是（）A0.2B0.8C0.2或0.8D0.16【考点】CN：二项分布与n次独立重复试验的模型【分析】根据方差列方程解出p【解答】解：D（X）=8p（1p）=1.28，p=0.8或0.2故选C3某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响部分统计数据如表：使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀4812学习成绩不
11、优秀16218总计201030附表：P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828经计算K2的观测值为10，则下列选项正确的是（）A有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响【考点】BO：独立性检验的应用【分析】根据K2的观测值，对照临界值表即可得出结论【解答】解：根据K2的观测值为107.879，对照
12、临界值表，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响故选：A4用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A假设a、b、c都是偶数B假设a、b、c都不是偶数C假设a、b、c至多有一个偶数D假设a、b、c至多有两个偶数【考点】R9：反证法与放缩法【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”即假设正确的是
13、：假设a、b、c都不是偶数故选：B5函数f（x）=x2lnx的单调递减区间是（）ABC，D【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】求出原函数的导函数，由导函数小于0求出自变量x在定义域内的取值范围，则原函数的单调减区间可求【解答】解：由f（x）=x2lnx，得：f（x）=（x2lnx）=2x=，因为函数f（x）=x2lnx的定义域为（0，+），由f（x）0，得：0，解得：0x所以函数f（x）=x2lnx的单调递减区间是（0，故选：A6已知X的分布列为X101P设y=2x+3，则E（Y）的值为（）AB4C1D1【考点】CG：离散型随机变量及其分布列【分析】由X的分布列，求出E（X），由Y=
14、2X+3，得E（Y）=2E（X）+3，由此能求出结果【解答】解：由X的分布列，得：E（X）=，Y=2X+3，E（Y）=2E（X）+3=故选：A7从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）ABCD【考点】CM：条件概率与独立事件【分析】用列举法求出事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求p（A），同理求出P（AB），根据条件概率公式P（B|A）=即可求得结果【解答】解：事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），p（A）=，事件B=
15、“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），P（AB）=P（B|A）=故选B8在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附：若XN（，2），则P（X+）=0.6826，P（2X+2）=0.9544A1 193B1 359C2 718D3 413【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，也就是x在（0，1）的概率【解答】解：正态分布的图象如下图：正态分布N（1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为P（2X+2）P（X+）=（0.95
16、440.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p=0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为100000.1359=1359故选：B9如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x3456y2.5t44.5A产品的生产能耗与产量呈正相关Bt的取值必定是3.15C回归直线一定过点（4，5，3，5）DA产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【考点】BK：线性回归方程【分析
17、】先求出这组数据的，把代入线性回归方程，求出，即可得到结果【解答】解：由题意， =4.5，=0.7x+0.35，=0.74.5+0.35=3.5，t=43.52.544.5=3，故选：B10将5件不同奖品全部奖给3个学生，每人至少一件奖品，则不同的获奖情况种数是（）A150B210C240D300【考点】D9：排列、组合及简单计数问题【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，相加可得答案【解答】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53A33=60种分法，分
18、成2、2、1时，根据分组公式有=90种分法，所以共有60+90=150种分法，故选A11大衍数列，来源于中国古代著作乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50通项公式：，如果把这个数列an排成如图形状，并记A（m，n）表示第m行中从左向右第n个数，则A（10，4）的值为（）A1200B1280C3528D3612【考点】F1：归纳推理【分析】由题意，则A（10，4）为数列an的第92+4=85项，利用通项公式，即可得出结论【解答】解：由题意，前9行，共有1+3+17=918=81项，则A（10，4）为数列an的第92+4=85项，A（1
19、0，4）的值为=3612，故选：D12已知函数f（x）的导函数为f（x），且f（x）f（x）对任意的xR恒成立，则下列不等式均成立的是（）Af（ln2）2f（0），f（2）e2f（0）Bf（ln2）2f（0），f（2）e2f（0）Cf（ln2）2f（0），f（2）e2f（0）Df（ln2）2f（0），f（2）e2f（0）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】令g（x）=，求出函数g（x）的导数，判断函数的单调性，从而求出答案【解答】解：令g（x）=，则g（x）=0，故g（x）在R递减，而ln20，20，故g（ln2）g（0），g（2）g（0），即，即f（ln2）2f（0），f（2）e2
20、f（0），故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）13直线是曲线y=lnx的一条切线，则实数b的值为ln21【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设切点为P（m，n），分别代入切线的方程和曲线方程，求出曲线表示函数的导数，可得切线的斜率，再由切线方程，可得m，n，b【解答】解：设切点为P（m，n），则n=lnm，n=m+b，y=lnx的导数为y=，即有=，解得m=2，n=ln2，b=ln21故答案为：ln2114计算定积分： =【考点】67：定积分【分析】根据被积函数的特征，根据其几何意义求定积分值【解答】解：表示以（1，0）为圆心，
21、1为半径的圆的个圆的面积，所以；故答案为：15已知（1x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a5x5，则（a0+a2+a4）（a1+a3+a5）的值等于256【考点】DB：二项式系数的性质【分析】令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0；令x=1，可得a0a1+a2a3+a4a5=25=32，相减相加即可得出【解答】解：令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0，令x=1，可得a0a1+a2a3+a4a5=25=32，相加可得：2（a0+a2+a4）=32，相减可得：2（a1+a3+a5）=32，可得：a0+a2+a4=16，相减可得：a1+a3+a5=16，可得：（
22、a0+a2+a4）（a1+a3+a5）=256故答案为：25616已知函数f（x）=x2+2x+a，g（x）=lnx2x，如果存在，使得对任意的，都有f（x1）g（x2）成立，则实数a的取值范围是（，ln2【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】求导函数，分别求出函数f（x）的最小值，g（x）的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围【解答】解：求导函数，可得g（x）=2=，x，2，g（x）0，g（x）min=g（2）=ln24，f（x）=x2+2x+a=（x+1）2+a1，f（x）在，2上单调递增，f（x）min=f（）=+a，如果存在，使得对任意的，都有f（x1）g（x2）成
23、立，+aln24，aln2故答案为（，ln2三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17在（2）6的展开式中，求：（1）第3项的二项式系数及系数（2）含x2的项【考点】DC：二项式定理的应用【分析】（1）由条件利用二项式展开式的通项公式，第r+1项的二项式系数的定义、第r+1项的系数的定义，求得第3项的二项式系数及系数（2）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的含x2的项【解答】解：（1）第3项的二项式系数为=15，第三项的系数为T3=24（1）2=240（2）通项公式为 Tk+1=26r（1）rx3r，令3r=
24、2，可得r=1，故含x2的项为第2项，且T2=192x218在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn=（an+），（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想【考点】F1：归纳推理；RG：数学归纳法【分析】（1）由题设条件，分别令n=1，2，3，能够求出a1，a2，a3（2）由（1）猜想数列an的通项公式：，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立【解答】解：（1）易求得；（2）猜想证明：当n=1时，命题成立 假设n=k时，成立，则n=k+1时， =，所以，即n=k+1时，命题成立由知，nN*时，19为了研
25、究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型与模型；作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系温度x/C20222426283032产卵数y/个610212464113322t=x24004845766767849001024z=lny1.792.303.043.184.164.735.7726692803.571157.540.430.320.00012其中，zi=lnyi，附：对于一组数据（1，1），（2，2），（n，n），其回归直线v=+的斜率和截距的最小
26、二乘估计分别为：，（1）根据表中数据，分别建立两个模型下y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30C时的产卵数（C1，C2，C3，C4与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：e4.65104.58，e4.85127.74，e5.05156.02）（2）若模型、的相关指数计算分别为，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好【考点】BK：线性回归方程【分析】（1）根据模型，模型求出回归方程，计算x=30时估计产卵数即可；（2）根据相关指数的大小，即可比较模型拟合效果的优劣【解答】解：（1）对于模型：设t=x2，则，其中，；所以y=0.43x2217.56，当x=30时，估计产卵数为；对
27、于模型：设z=lny，则lny=C3x+C4，其中，；所以y=e0.32x4.75，当x=30时，估计产卵数为；（2）因为，所以模型的拟合效果更好 20某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中2道题的便可通过已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响（）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；（）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；C7：等可能事件的概率【分析】（）确定
28、甲、乙两人正确完成面试题数的取值，求出相应的概率，即可得到分布列，并计算其数学期望；（）确定DD，即可比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大【解答】解：（）设甲正确完成面试的题数为，则的取值分别为1，2，3P（=1）=；P（=2）=；P（=3）=； 考生甲正确完成题数的分布列为123PE=1+2+3=2设乙正确完成面试的题数为，则取值分别为0，1，2，3P（=0）=；P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=考生乙正确完成题数的分布列为：0123PE=0+1+2+3=2（）因为D=，D=npq=所以DD综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道
29、题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大21对于命题P：存在一个常数M，使得不等式对任意正数a，b恒成立（1）试给出这个常数M的值；（2）在（1）所得结论的条件下证明命题P；（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题Q：“存在一个常数M，使得不等式对任意正数a，b，c恒成立”观察命题P与命题Q的规律，请猜想与正数a，b，c，d相关的命题【考点】R6：不等式的证明【分析】（1）根据题意，利用特殊值法，令a=b可得，分析即可得M的值；（2）由分析法的思路：先证明，再类比可以证明，综合即可得证明；（3）利用类比推理的思路，分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，由于对任意正数a，b恒成立，令a=b得：
30、，故； （2）要证明，先证明a0，b0，要证上式，只要证3a（2b+a）+3b（2a+b）2（2a+b）（2b+a），即证a2+b22ab即证（ab）20，这显然成立再证明a0，b0，要证上式，只要证3a（2a+b）+3b（2b+a）2（a+2b）（b+2a），即证a2+b22ab即证（ab）20，这显然成立；（3）猜想结论：存在一个常数M，使得不等式对任意正数a，b，c，d恒成立22已知函数存在两个极值点（）求实数a的取值范围；（）设x1和x2分别是f（x）的两个极值点且x1x2，证明：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（）函数f（x）有两个极值点等
31、价于其导函数f（x）在（0，+）有两个零点，分类讨论求实数a的取值范围；（）要证，两边同时取自然对数得，由f（x）=0得，得所以原命题等价于证明【解答】（）解：由题设函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=lnxax，故函数f（x）有两个极值点等价于其导函数f（x）在（0，+）有两个零点当a=0时f（x）=lnx，显然只有1个零点x0=1当a0时，令h（x）=lnxax，那么若a0，则当x0时h（x）0，即h（x）单调递增，所以h（x）无两个零点若a0，则当时h（x）0，h（x）单调递增；当时h（x）0，h（x）单调递减，所以又h（1）=a0，当x0时，故若有两个零点，则，得综上得，实数a的取值范围是 （）证明：要证，两边同时取自然对数得由f（x）=0得，得所以原命题等价于证明因为x1x2，故只需证，即令，则0t1，设，只需证g（t）0而，故g（t）在（0，1）单调递增，所以g（t）g（1）=0综上得2017年8月10日
