1、第2讲 导数在研究函数中的应用 知 识 梳理 1. 函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内 ；如果，那么函数在这个区间内 .解析：单调递增；单调递减2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的 ，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是 解析：极大值点；极小值.3解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f(x) .(2)求方程f(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定
2、义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.4求函数最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值. 重 难 点 突 破 1.重点：熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路，熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的方法2.难点：与参数相关单调性和极值最值问题3.重难点：借助导数研究函数与不等式的综合问题（1）在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点
3、，也可能不是极值点。问题1. 设，令，讨论在内的单调性并求极值；点拨:根据求导法则有，故，于是，2减极小值增列表如下：故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值（2）借助导数处理函数的单调性，进而研究不等关系关键在于构造函数.问题2.已知函数是上的可导函数，若在时恒成立.（1）求证：函数在上是增函数；（2）求证：当时，有. 点拨:由转化为为增函数是解答本题关键.类似由转化为为增函数等思考问题的方法是我们必须学会的.（1）由得因为，所以在时恒成立，所以函数在上是增函数.（2）由（1）知函数在上是增函数，所以当时，有成立，从而两式相加得 热 点 考 点 题 型 探 析考点1: 导数与函数
4、的单调性题型1.讨论函数的单调性例1(08广东高考)设，函数，试讨论函数的单调性【解题思路】先求导再解和【解析】 对于，当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数；对于，当时，函数在上是减函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数。【名师指引】解题规律技巧妙法总结: 求函数单调区间的一般步骤.（1） 求函数的导数（2）令解不等式，得的范围就是单调增区间;令解不等式，得的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.误区警示求函数单调区间时，容易忽视定义域，如求函数的单调增区间，错误率高，请你一试，该题正确答案为.题型2.由单调性求参数的值或取值范围例2: 若在区间1,1上单调递
5、增，求的取值范围.【解题思路】解这类题时,通常令(函数在区间上递增)或(函数在区间上递减),得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.解析：又在区间1,1上单调递增在1,1上恒成立 即在1,1的最大值为 故的取值范围为【名师指引】:本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系,要特别注意导数值等于零的用法.题型3.借助单调性处理不等关系例3. 当，求证【解题思路】先移项,再证左边恒大于0解析：设函数当时， ，故在递增，当时，,又，即，故【名师指引】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性来证明【新题导练】.1. 若函数f(x)=x3ax2+1在(0,2)
6、内单调递减，则实数a的取值范围是A.a3 B.a=2C.a3D.0a0恒成立，y=x3+x在(,+)上为增函数，没有减区间.答案：A3. 已知函数,设（）求函数的单调区间；（）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；解析：（I），由，在上单调递增。 由，在上单调递减。的单调递减区间为，单调递增区间为。（II），恒成立当时，取得最大值。，考点2: 导数与函数的极值和最大(小)值.题型1.利用导数求函数的极值和最大(小)值例1. 若函数在处取得极值,则 .【解题思路】若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极大值；若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极小值.解析因为可导,且,所以,
7、解得.经验证当时, 函数在处取得极大值.【名师指引】 若是可导函数，注意是为函数极值点的必要条件.要确定极值点还需在左右判断单调性.例2（2008深圳南中）设函数（），其中，求函数的极大值和极小值【解题思路】先求驻点，再列表判断极值求出极值。解析：.，令，解得或由于，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且【名师指引】求极值问题严格按解题步骤进行。例3. (广东省深圳外国语学校2009届高三上学期第二次统测)已知函数.（）求的最小值；（）若对所有都有，求实数的取值范围.【解题思路】先求极值再求端点值,比较求出最大(小)值.当区间只有一个极大(小)值时,该值就
8、是最大(小)值解析：的定义域为， 1分 的导数. 3分令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增. 5分所以，当时，取得最小值. 6分（）解法一：令，则， 8分 若，当时，故在上为增函数，所以，时，即. 10分 若，方程的根为 ，此时，若，则，故在该区间为减函数.所以时，即，与题设相矛盾. 13分综上，满足条件的的取值范围是. 14分解法二：依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立 . 8分令， 则. 10分当时，因为， 故是上的增函数， 所以 的最小值是， 13分所以的取值范围是. 14分【名师指引】求函数在闭区间上的最大值（或最小值）的步骤：求在内的极大（小）值，将极大（小）值与端点处
9、的函数值进行比较，其中较大者的一个是最大者，较小的一个是最小者题型2.已知函数的极值和最大(小)值，求参数的值或取值范围。例3（广东省六校2009届高三第二次联考）已知函数图像上的点处的切线方程为（1）若函数在时有极值，求的表达式（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围【解题思路】求函数的解析式一般用待定系法法，求参数的取值范围一般需建立关于参数的不等式（组）解析：， -2分因为函数在处的切线斜率为-3，所以，即，-3分又得。-4分（1）函数在时有极值，所以，-5分解得，-7分所以-8分（2）因为函数在区间上单调递增，所以导函数在区间上的值恒大于或等于零，-10分则得，所以实数的取值范围为
10、-14分【名师指引】已知在处有极值，等价于。【新题导练】4在区间上的最大值为，则=（ ）A.B. C. D. 或解析：选B在上的最大值为，且在时，解之或（舍去），选B.5在区间上的最大值是A B0 C2 D4解析，令可得或（2舍去），当时，0，当时，1时，对x（0，+）恒有0， 当a.1时，f(x)在（0，+）上为增函数；5（汕头市金山中学2009届高三上学期11月月考）已知函数f（x）=ax3+3x2x+1，问是否存在实数a，使得f（x）在（0，4）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。解：（x）=3ax2+6x1. 要使f（x）在0，4递减，则当x（0，4）时，（x）0。或
11、，解得a3.综合拔高训练6（东莞高级中学2009届高三上学期11月教学监控测试）已知函数f(x)=ax3+bx23x在x=1处取得极值. （）求函数f(x)的解析式； （）求证：对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4； （）若过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.解：（I）f(x)=3ax2+2bx3，依题意，f(1)=f(1)=0， 即2分 解得a=1，b=0. f(x)=x33x.4分 （II）f(x)=x33x,f(x)=3x23=3(x+1)(x1)，当1x1时，f(x)0，故f(x)在区间1，1上为减函数，f
12、max(x)=f(1)=2，fmin(x)=f(1)=26分对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|fmax(x) fmin(x)|f(x1)f(x2)|fmax(x)fmin(x)|=2(2)=48分 （III）f(x)=3x23=3(x+1)(x1)， 曲线方程为y=x33x，点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得.过点A（1，m）可作曲线的三条切线，关于x0方程=0有三个实根.10分设g(x0)= ，则g(x0)=6，由g(x0)=0，得x0=0或x0=1.g(x0)在（，0），（1，+）上单调递增
13、，在（0，1）上单调递减.函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=112分关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得3m2.故所求的实数a的取值范围是3m2.14分7（广东省北江中学2009届高三上学期12月月考 ）已知，其中是自然常数，（）讨论时, 的单调性、极值；（）求证：在（）的条件下，;（）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.解：（）， 1分当时，此时单调递减当时，此时单调递增 3分的极小值为 4分（）的极小值为1，即在上的最小值为1， ， 5分令， 6分当时，在上单调递增 7分 在（1）的条件下， 9分（）假设存在实数，使（）有最小值3， 9分 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值. 10分当时，在上单调递减，在上单调递增，满足条件. 11分 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3. 8(潮南区0809学年度第一学期期末高三级质检)已知函数（）(1) 求f(x)的单调区间；(2) 证明：lnx0，f(x)在上递增当时，令得解得：，因（舍去），故在上0，f(x)递增.（2）由（1）知在内递减，在内递增.故，又因故，得