1、33幂函数学习目标1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(难点)；2.结合幂函数yx，yx2，yx3，y，y的图象，掌握它们的性质(重点)；3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点)预习教材P8889，完成下面问题：知识点一幂函数的概念一般地，我们把形如yx的函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数【预习评价】1下列函数是幂函数的为_(填序号)yaxm(a，m为非零常数，且a1)；yx1x2；yxn(nZ)；y(x2)3.答案2若函数f(x)(a23a3)x2是幂函数，则a的值为_解析根据幂函数定义，有a23a31，a23a40，所以a4或a1.答案4或1知识点二幂函数的图象与性质幂函数
2、yxyx2yx3yyx1图象定义域RRR0，)(，0)(0，)续表值域R0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，)增，x(，0减增增x(0，)减，x(，0)减定点(1,1)【预习评价】1设，则使函数yx的定义域为R的所有的值为_解析yx1的定义域为x|x0，y的定义域为x|x0，只有yx，yx3的定义域为R.答案1,32当1，1,3时，幂函数yx的图象不可能经过第_象限解析幂函数yx1，yx，yx3的图象分布在第一、三象限，yx的图象分布在第一象限，所以幂函数yx(1，1,3)的图象不可能经过第二、四象限答案二、四题型一幂函数的概念【例1】(1)已知(，2)在幂函数f
3、(x)的图象上，求f(2)的值；(2)已知函数f(x)(a23a3)xa25a5(a为常数)为幂函数，且在(0，)上单调递减，求实数a的值解(1)设f(x)x，(，2)在f(x)的图象上，f()()2，2.故f(x)x2，f(2)224.(2)f(x)为幂函数，a23a31，得a1或a2.当a1时，f(x)x，在(0，)上单调递增，不合题意当a2时，f(x)x1，在(0，)上单调递减，符合题意综上，得a的值为2.规律方法(1)幂函数的特点：系数为1，底数为自变量，指数为常数(2)当0时，幂函数在第一象限内单调递增；当0时，yx在第一象限内是增函数，y在x0,1上是增函数设f(x)，x1,1，则
4、f(x)(x)xf(x)，f(x)是奇函数奇函数的图象关于原点对称，x1,0时，y也是增函数当x0时，y0，故y在1,1上是增函数且是奇函数答案增函数奇函数【探究2】比较下列各组数的大小(1) ；(2) ；(2)()2和34；(4)()3和.解(1)函数y在(0，)上为减函数，又3，所以 (3)34(32)292，函数yx2在(0，)上为减函数，又92，即()234.(4)因为()30，所以()3.【探究3】若，则a的取值范围是_解析函数f(x)在区间(0，)内是减函数，所以等价于解得a.所以a的取值范围是(，)答案(，)【探究4】已知函数f(x)x1，若f(a1)f(102a)，则a的取值范
5、围是_解析函数f(x)x1的大致图象如图，由题意可知应分三种情况讨论：当a10,102a0时，f(a1)0f(102a)，此时解得a1.当a10,102a0时，得a1102a，故3a5.当a10,102a0时，得a1102a，故无解综上可知，a的取值范围是(，1)(3,5)答案(，1)(3,5)规律方法比较幂式的大小时，首先判断所比较的两个幂式的底数和指数是否相同若指数相同，底数不同，则考查幂函数；若底数相同，指数不同，则考查指数函数；若底数和指数均不同，要引进中间量，综合考查指数函数和幂函数课堂达标1已知函数f(x)(m2m1)xm22m1是幂函数，则实数m_.解析由函数f(x)(m2m1)
6、 xm22m1是幂函数可得m2m11，解得m0或m1.答案0或12已知幂函数f(x)xm的图象经过点(，)，则f(6)_.解析依题意()m，所以1，m2，所以f(x)x2，所以f(6)62.答案3若yxa24a9是偶函数，且在(0，)内是减函数，则整数a的值是_解析由题意得，a24a9应为负偶数，即a24a9(a2)2132k(kN*)，(a2)2132k，当k2时，a5或1；当k6时，a3或1.答案1,3,5，14设2，1，1,2,3，则使yx为奇函数且在(0，)上单调递减的的值为_解析要使yx为奇函数，需1,1,3，又在(0，)上单调递减，所以1.答案15函数f(x)(m2m1)xm2m3
7、是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式解根据幂函数定义得，m2m11，解得m2或m1，当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数，当m1时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不合题意f(x)的解析式为f(x)x3.课堂小结1幂函数yx的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量2幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小3简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)1.(2)如果0，幂函数在0，)上有意义，且是增函数(3)如果0，幂函数在x0处无意义，在(0，)上是减函数
