1、题目 第三章数列等差数列高考要求 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题知识点归纳 1等差数列的定义: 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示2等差数列的判定方法:定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列3等差数列的通项公式:如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数4等差数列的前n项和: 对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数5等差中项:如果，成等差数列，那么叫
2、做与的等差中项即：或在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项5等差数列的性质:等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有 对于等差数列，若，则也就是：若数列是等差数列，是其前n项的和，那么，成等差数列如下图所示：6奇数项和与偶数项和的关系：设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：前n项的和当n为偶数时，其中d为公差；当n为奇数时，则，（其中是等差数列的中间一项）7前n项和与通项的关系：若等差数列的前项的和为，等
3、差数列的前项的和为，则题型讲解 例1 如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差； 分析：等差数列的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，等差数列中通项公式和前n项和公式中五个量，只要知道其中三个，就可以求其它两个，而是基本量解：设等差数列首项为，公差为d，则例2 设等差数列an的前n项和为Sn已知a3=12, S120,S130()求公差d的取值范围；()指出S1,S2,S12,中哪一个值最大,并说明理由解： ()依题意,有 ，即由a3=12,得 a1=122d (3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ，()由d0可知 a1a2a3a
4、12a13因此,若在1n12中存在自然数n,使得an0,an+10,则Sn就是S1,S2,S12中的最大值由于 S12=6(a6+a7)0, S13=13a70，即 a6+a70, a70由此得 a6a70因为a60, a70,故在S1,S2,S12中S6的值最大例3 已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数 解：设三个数为a，公差为d，则这5个数依次为a-2d，a-d ,a ,a+d ,a+2d依题意：(a-2d)2 +(a-d)2 + a2 + (a+d)2 + (a+2d)2 =且(a-2d) + (a-d) + a + (a+d) + (a+2d) = 5即 a2+2d
5、2 = 且 a=1 a=1且d=当d=时，这5个数分别是、1、；当d=时，这5个数分别是、1、例4等差数列an的前n项和Sn且S5=-5,S10=15,求数列的前n项和Tn 解：设数列an的公差为d，首项为a1，由已知得 5a1 + 10d = -5, 10a1 + 45d = 15解得a1=-3 ，d=1Sn = n(-3)+ 是等差数列且首项为3、公差为Tn = n(-3)+例5 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数解：设数列共2m+1（mN*）把该数列记为an依题意a1+a3+a2m+1=44 且a2+a4+a2m=33 即 (a2+a2m)
6、=33（1） (a1+a2m)=44 （2） （1）（2）得m = 3代入（1）得a2+a2m = 22 am+1=11 即该数列有7项，中间项为11例6 在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列求点的坐标；设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，求的通项公式解：（1）（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为设的方程为：把代入上式，得，的方程为：，=（3），T中最大数设公差为，则，由此得说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（
7、2）两问运用几何知识算出，解决（3）的关键在于算出及求数列的公差例7已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn ,n为正偶数，且a1 ,a2 ,a3, ,an组成等差数列，又f(1)=n2 ,f(-1)=n ，试比较f( )与3的大小解：f(1)=n2 ,f(-1)=n ，f(1)=a1 +a2+an=n2 , f(-1)=-a1+a2-a3+a4-a5+-an-1+an=n依题设有，d=nd=2， a1=1于是f(x)=x+3x2+5x3+7x4+(2n-1)xnf()=+3()2+5()3+7()4+(2n-1)()n两边同乘：f()=+3()3+5()4+7()5+(2n-1)(
8、)n+1-得 f()=2()22()3+2()n-(2n-1)()n+1即f()=+()2+()n-1-(2n-1)()n+1f()=1+1+-(2n-1)()n=1+-(2n-1) = 1+2-(2n-1)3f()3小结：等差数列的定义、基本运算及通项公式、前n项和公式的应用，不仅要熟练应用基本公式，还要会用变通公式，如在等差数列中，an=am+(n-m)d 由五个量a1 ,d , n ,an ,Sn中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的已知多个数成等差数列，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a ,a+d ,a+2d
9、外，还可设a-d ,a ,a+d ;四个数成等差数列时，可设为a-3d ,a-d ,a+d ,a+3d在求解数列问题时，除注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的利用外，还要特别注意解题中要有“目标意识”，“需要什么，就求什么”学生练习 1数列an是首项为2，公差为3的等差数列，数列bn是首项为-2，公差为4的等差数列若an=bn,则n的值为（ ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）72在等差数列an中,am=n,an=m,则am+n的值为（ ）（A）m+n （B） （C） （D）03在等差数列an中，若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为（ ）（A）30
10、（B）27 （C）24 （D）214一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为（ ）（A）45 （B）513 （C）35 （D）12135在等差数列an中，Sm=Sn,则Sm+n的值为（ ）（A）0 （B）Sm+Sn （C）2(Sm+Sn) （D）6数列an的前n项和Sn=n2+1是an=2n-1成立的（ ）（A）充分但不必要 （B）必要但不充分（C）充要条件 （D）既不充分又不必要7一个凸n边形内角的度数成等差数列，公差为5，且最大角为160，则n的值为（ ）（A）9 （B）12 （C）16 （D）9或168在等差数列an中，Sp=q,Sq=q,Sp+q的值为（ ）（A）p
11、+q （B）-(p+q) （C）p2-q2 （D）p2+q29已知等差数列an满足a1+a2+a99=0,则（ ）（A）a1+a990 （B）a2+a980 （C）a3+a97=0 （D）a50=5010若数列an为等差数列，公差为，且S100=145，则a2+a4+a100的值为（ ）（A）60 （B）85 （C） （D）其它值11已知数列an的通项公式为an=(-1)n+1(4n-3),则它的前100项之和为（ ）（A）200 （B）-200 （C）400 （D）-40012若数列an由a1=2,an+1=an+2n(n)确定，则a100的值为（ ）（A）9900 （B）9902 （C）9
12、904 （D）990613已知等差数列an的公差为d,d0,a1d,若这个数列的前20项的和为S20=10M，则M等于（ ）（A）a4+a16 （B）a20+d （C）2a10+d （D）a2+2a1014若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a)的四个根可以组成首项为的等差数列，则a+b的值为（ ）（A） （B） （C） （D）15数列an中，a1=p,a2=q,an+2+an=2an+1，则a2n= 16在等差数列an中，已知a2+a7+a8+a9+a14=70,则a8= 17在等差数列an中，S4=6,S8=20,则S16= 18在等差数列an中，S3=S8,S2=Sn,则n
13、= 19某露天剧场共有28排座位，第一排有24个，后一排比前一排增加两个座位，则全剧场共有座位 个20成等差数列的四个数之和为26，第一个数与第四个数积为22，则这四个数为 21打一口深20米的井，打到第一米深处时需要40分钟，从第一米深处打到第二米深处需要50分钟，以后每深一米都要比前一米多10分钟，则打到最后一米深处要用 小时，打完这口井总共用 小时22在项数为n的等差数列an中，前三项之和为12，最后三项之和为132，前n项之和为240，则n= 23已知数列an为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和24已知数列an的前n项和为Sn=n2+C(C为常数)，求数列
14、a0的通项公式，并判断an是不是等差数列25设等差数列an的前n项和为Sn,bn=，且a3b3=，S5+S3=21,求bn26已知数列an为首项a10，公差为d0的等差数列，求Sn=27求从1到100中所有不被3及5整除的整数之和28用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花了多少钱？29已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(1)设f(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列an，求
15、证：an为等差数列(2)设f(x)的图像的顶点到x轴的距离构成bn，求bn的前n项和参考答案：题号12345678答案BDBCADAB题号91011121314答案CBBBCD15p+(2n-1)(q-p) 1614 1772 189 191428 202,5,8,11或11,8,5,2 212210a1+a2+a3=12,an-2+an-1+an=132,相加得3（a1+an）=144,a1+an=48,求得Sn=240,n=1023S50-S30=a31+a32+a50=30-50=-20a1+a80=-2 S80=24当n=1时，a1=S1=1+c当n时，an=Sn-Sn-1=(n2+c
16、)-(n2+c)-(n-1)2+C=2n-1an= 若C=0，an=2n-1,此时an-an-1=2(n)an为等差数列若C0,C+11,an不为等差数列25 由，得a1=d由，得8a1+13d=1故a1=d=1Sn=26Sn=27设S表示从1到100的所有整数之和S1表示从1到100中所在能被3整除的整数的和S2表示从1到100中所有能被5整除的整数的和S3表示从1到100中所有既能被3整除，又能被5整除的整数的和则S=由99=3+（n-1）3,得n=33 由100=5+(n-1) 5,得n=20 S3表示15，30，45，90之和 S3=从1到100中所有不被3及5整除的整数之和为S-S1
17、-S2+S3=263228购买时付了150元，欠款1000元每月付50元，分20次付完，设每月付款数顺次组成数列an,则a1=50+1000001=60a2=50+(1000-50) 001=60-05a3=50+(1000-502) 001=60-052类推,得a10=60-059=555an=60-05(n-1)(1n20)付款数an组成等差数列，公差d=-05,全部贷款付清后，付款总数为S20+150=（元）29（1）f(x)=x-(n+1)2+3n-8 an=3n-8, an+1-an=3 , an为等差数列（2）b0=当1时，bn=8-3n,b1=5Sn=当n3时bn=3n-8 Sn=5+2+1+4+（3n-8）=7+Sn= 课前后备注
