1、 12.1直线与方程【考纲要求】1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。3、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。4、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。5、 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。6、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。【基础知识】 一、直线的倾斜角和斜率1、直线的倾斜角概念轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫直线的倾斜角。当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。直
2、线的倾斜角，所以直线的倾斜角的范围为任意直线都有倾斜角。2、直线的斜率 两点确定一条直线，给定两点与，则过这两点的直线的斜率（其中） 直线斜率具有无序性，哪一个点的坐标在前，哪一个点的坐标在后，计算结果不变。 在今后的学习中，注意看到“差之比”要联想到两点之间的斜率。 倾斜角为90的直线没有斜率。3、直线的倾斜角与斜率的关系 直线的倾斜角与斜率满足正切函数，求它们的范围要画图观察函数的图像。4、两条直线平行的判定 两条不重合的直线和，斜率都存在。则，即两直线平行是两直线的斜率相等的充要条件。 两条直线平行是两条直线斜率相等的非充分非必要条件。即5、两条直线垂直的判定 两条直线和垂直是两直线的斜
3、率乘积为-1的必要非充分条件，即二、直线的方程1、直线的方程有5种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。 2、两点确定一条直线，所以写出直线的方程，必须知道两个独立的几何条件。3、直线方程的点斜式（1）点斜式方程 (直线过点，且斜率为)（2）点斜式方程必须知道直线上的一个点的坐标和直线的斜率。（3）直线方程的点斜式不能表示没有斜率的直线，所以过定点的直线应设为或，不能遗漏了没有斜率的那条直线。4、直线方程的斜截式（1）斜截式方程 (为直线在y轴上的截距).（2）斜截式方程必须知道直线的斜率和纵截距。ZXXK（3）直线方程的斜截式不能表示没有斜率的直线，要使用它，必须对斜率分两种情况讨论
4、。5、直线方程的两点式（1）两点式方程 ()(、 ().（2）两点式方程必须知道直线上两个点的坐标。（3）当两个点的横坐标相等或纵坐标相等时，两点式方程不能表示，直接写出直线的方程即可。（4）两点式方程的化简形式可以表示过任意两点的直线的方程。 6、直线方程的截距式(1)截距式方程 (分别为直线的横、纵截距，) （2）截距式方程必须知道直线方程的横截距和纵截距。 （3）截距式方程不能表示横截距为零或纵截距为零的直线，即不能表示和坐标轴平行或垂直或过坐标原点的直线。 7、直线方程的一般式 (其中A、B不同时为0). （1）直线方程必须知道直线的两个独立条件。 （2）我们求出的直线方程，一般要化成
5、一般式。8、涉及到直线的斜率时候，一定要对斜率存在不存在进行讨论，一般先讨论斜率不存在的情况。9、设直线方程时，一定要考虑到该方程所不能表示的直线是否满足题意，以免漏解。10、求直线的方程，最后一般要写成直线方程的一般式。三、直线位置关系的判断1、两条直线的位置关系的判断方法一：代数的方法（解方程组）联立两条直线的方程得,若方程组无解，则；若方程组有且只有一个解，则相交；若方程组有无数组解，则重合。方法二：已知,若且两条直线不重合，则；若，则相交；若,则；若则重合。2、点到直线的距离3、两条平行线间的距离公式若,，则的距离为注意：两条直线方程的的系数必须化简的要一样，才能用这个公式。4、直线的
6、定点问题方法一：参数赋值法 给直线中的参数赋两个值，得到两个方程，再解方程组得到方程组的解，即是直线过的定点，最后要把点的坐标代入直线的方程证明，发现直线的方程恒成立。方法二：分离参数法 把直线的方程分离参数得到，所以，解之得定点的坐标。【例题精讲】例1 在ABC中，已知点A（5，2）、B（7，3），且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上.（1）求点C的坐标； （2）求直线MN的方程.解：（1）设点C（x，y），由题意得=0，=0，得.故所求点C的坐标是（5，3）.（2）点M的坐标是（0，），点N的坐标是（1，0），直线MN的方程是=， 即例2 已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为3
7、，分别求满足下列条件的直线的方程：（1）斜率为的直线；（2）过定点的直线。解：（1）设直线的方程为，则直线与坐标轴的交点为、 依题设有，得，则直线的方程为（2）设直线的方程为，则由，解得或则直线方程为或即或 12.1直线与方程强化训练【基础精练】1若直线(2m2m3)x(m2m)y4m1在x轴上的截距为1，则实数m是()A1B2 C D2或2经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为 ()Ax2y60 B2xy60Cx2y70 Dx2y703直线2xy20绕它与y轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是 ()Ax2y40 Bx2y40Cx2y40 Dx2y40
8、4若直线yx经过第一、二、三象限，则 ()Aab0，bc0 Bab0，bc0Cab0，bc0 Dab0，bc05已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是 ()A4x2y5 B4x2y5Cx2y5 Dx2y56已知直线l1的方向向量为a(1,3)，直线l2的方向向量为b(1，k)，若直线l2过点(0,5)，且l1l2，则直线l2的方程是 ()Ax3y50 Bx3y150Cx3y50 Dx3y1507经过点(2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为_8求经过点A(5,2)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程_9已知A(3,0)，B (0,4
9、)，动点P(x，y)在线段AB上移动，则xy的最大值等于_10求倾斜角是直线yx1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程： (1)经过点(，1)； (2)在y轴上的截距是5. 11设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围12已知直线l：kxy12k0.(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程【拓展提高】1.设直线的方程为（1）若直线在两轴上的截距相等，求直线的方程；（2）若直线不过第二象限，求的取值范围。2、过点作直
10、线，使其被两条直线，所截得的线段恰好被点所平分，试求直线的方程。【基础精练参考答案】1D【解析】：当2m2m30时，在x轴上截距为1，即2m23m20，m2或m 2.B【解析】：直线过点P(1,4)，代入后舍去A、D，又在两坐标轴上的截距均为正值，故舍去C.3.D【解析】：直线2xy20与y轴交点为A(0，2)，所求直线过A且斜率为，l：y2(x0)，即x2y40.4.D【解析】：因为直线经过第一、二、三象限，所以0， 即ab0，且直线与坐标轴的交点在原点的上方，所以0，即bc0.5.B【解析】：A、B中点为(2，)，kAB，kl2 6.B【解析】：k13，k2k，又l1l2，3(k)1，k，
11、 l2的斜率为，l2：x3y150.7. 2xy20或x2y20解析：设所求直线方程为1，由已知可得解得或2xy20或x2y20为所求 8. 2x5y0或x2y10解析：分截距为0或不为0两种情况可求2x5y0或x2y10.9.3【解析】：AB所在直线方程为1，()2，xy3，当且仅当取等号10.【解析】：直线的方程为yx1，k，倾斜角120，由题知所求直线的倾斜角为30，即斜率为.(1)直线经过点(，1)，所求直线方程为y1(x)，即x3y60.(2)直线在y轴上的截距为5，由斜截式知所求直线方程为yx5，即x3y150.11.【解析】：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零
12、，截距相等，a2，方程即3xy0.若a2，由于截距存在，a2，即a11，a0，方程即xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，欲使l不经过第二象限，当且仅当a1.综上可知，a的取值范围是a1.12.【解析】：(1)证明：由已知得k(x2)(1y)0，无论k取何值，直线过定点(2,1)(2)令y0得A点坐标为(2，0)，令x0得B点坐标为(0,2k1)(k0)，SAOB|2|2k1|(2)(2k1)(4k4)(44)4.当且仅当4k，即k时取等号即AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为xy110.即x2y40.【拓展提高参考答案】1.【解析】：（1）当直线过原点时，当直线不过原点，即时，令，得直线在轴上的截距为；令，得直线在轴上的截距为，由得则所求直线的方程为（2）直线的方程可化为，则不过第二象限的充要条件是 解得，即实数的取值范围是
