1、深圳市高级中学 2020-2021 学年第一学期期末考试高一数学命题人：雷蕾审题人：郑方兴一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集2,|20,|10UR Ax xxBxx，则 AB=（）.A|1x x B|1x x C|01xxD|12xx2.已知角 的终边过点(sin1,cos1)P，则 是第（）象限角.A 一B二C三D 四3.6x是1sin2x 的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知12sincos,0252 ，则cossin（）.A15B 15C75D 75
2、5.已知函数()f x 是定义在2,)的单调递增函数，若22(254)(4)faaf aa，则实数 a 的取值范围是（）.A.21,(2,)B.2,6)C.10,22,6)D.(0,6)6.素数也叫质数，部分素数可写成21n的形式(n 是素数)，法国数学家马丁梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将21n形式(n 是素数)的素数称为梅森素数.2018 年底发现的第 51 个梅森素数是8258993321P，它是目前最大的梅森素数已知第 8 个梅森素数为3121P ，第 9 个梅森素数为6121Q ，则lg QP约等于(参考：在,Q P 很大的条件下11QQPP；lg20.3)().
3、A7B8C9D107.已知函数()2sin(0)4f xx在区间 0,8上单调递增，则 的最大值为（）.A 12B1C2D48.对于函数 yf x，若存在0 x，使00()f xfx=，则称点00(,()xf x与点00(,()xfx是函数()f x 的一对“隐对称点”若函数22,0()2,0.xx xf xmxx 的图象存在“隐对称点”，则实数 m 的取值范围是().A22 2,0)B(,22 2C(,22 2D(0,22 2二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.9
4、.下列选项中，与11sin()6的值相等的是（）.A2sin15 sin75Bcos18 cos42sin18 sin42C22cos 151D2tan 22.51 tan 22.510.关于函数()sin2cos2f xxx，下列命题中为真命题的是().A函数()yf x的周期为B直线4x是()yf x的一条对称轴C点(,0)8是()yf x的图象的一个对称中心D()yf x的最大值是211.下列说法正确的是（）.A若,0 x y，满足2xy，则22xy的最大值为4B若12x，则函数1221yxx的最小值为3C若,0 x y，满足3xyxy，则 xy的最小值为 2D函数2214sincosy
5、xx的最小值为912.已知函数 22cos 22f xx，下列命题中的真命题有（）.AR，f x为奇函数B30,4，2f xf x对 xR 恒成立C1x，2xR，若 122f xf x，则12xx的最小值为 4D1x，2xR，若 120f xf x，则12xxkkZ三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.函数()lg(2)f xx的定义域是 14.将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移 3 个单位，得到的图象对应的解析式是.15.()tan()23f xx的单调区间是16.已知函数4,4,()4,4.xxf x
6、xx 若存在正实数 k，使得方程()kf xx有三个互不相等的实根123,x xx，则123xxx的取值范围是.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 10 分）已知 2sincos3.3sin2cos8（1）求 tan 的值；（2）求222sincossincos的值.18（本小题满分 12 分）已知函数1()()21xf xm mR是奇函数.（1）求实数m 的值；（2）判断()f x 的单调性（不用证明）；（3）求不等式 2(2)0f xxf的解集.19.（本小题满分 12 分）已知3 3tan4 3,sin(),14且0.2
7、（1）求sin 和cos；（2）求 的值.20.（本小题满分 12 分）已知某观光海域 AB 段的长度为 3 百公里，一超级快艇在 AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用 Q（单位：万元）与速度 v（单位：百公里/小时）（03v）的以下数据：v0123Q00.71.63.3为描述该超级快艇每小时航行费用 Q 与速度 v 的关系，现有以下三种函数模型供选择：32Qavbvcv，0.5vQa，logaQkvb（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使 AB 段的航行费用最少？并求出最少航行费用21.（本小题满分 12 分）如图，在半
8、径为 3，圆心角为60 的扇形的弧上任取一点 P，作扇形的内接矩形 PNMQ，使点Q 在OA上，点 N，M 在OB 上，设矩形 PNMQ的面积为 y.（1）设 PNx，将 y 表示成 x 的函数关系式；（2）设POB，将 y 表示成 的函数关系式；并求出 y 的最大值.22.（本小题满分 12 分）已知定义在区间(0,)上的函数4()5.f xxx（1）求函数()f x 的零点；（2）若方程()(0)f xmm有四个不等实根1234,x xxx，证明123416x xxx；（3）在区间1,4上是否存在实数,()a b ab，使得函数()f x 在区间,a b 上单调，且()f x 的值域为,m
9、a mb，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.高一数学答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.123456789101112CAADCCCBABDACDCDBC填空题答案三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.(,2)14.sin()26xy15.51(2,2),33kkkZ16.(8,62 2)解答题答案17（本小题
10、满分 10 分）已知 2sincos3.3sin2cos8（1）求 tan 的值；（2）求222sincossincos的值.解：（1）原式可化为：2sincos3tan23sin2cos8；（2）222sincossincos=4318（本小题满分 12 分）已知函数1()()21xf xm mR是奇函数.（1）求实数 m 的值；（2）判断()f x 的单调性（不用证明）；（3）求不等式 2(2)0fxxf的解集.解：（1）由1()21xf xm的定义域为 R，可得1(0)02fm，可得12m ；经验证，12m 符合题意.12m 11()212xf x，(2)由 2x 为增函数，所以 21x
11、 为增函数，且 211x ，所以121x 为减函数，可得11()212xf x 在 R 上为减函数，（3）由 2(2)0fxxf，可得 2(2)f xxf，即 2(2)f xxf，由11()212xf x 在 R 上为减函数，所以22xx，即220 xx，所以1x 或2x，故解集为,12,.19.（本小题满分 12 分）已知3 3tan4 3,sin(),14且0.2（1）求sin 和cos；（2）求 的值.【答案】(1)4 3sin7,1cos7(2)3【详解】(1)由02，则sin0，cos0 由 tan4 3，即 sin4 3,cos 即sin4 3cos由2221sincos49cos
12、，则1cos7，所以4 3sin4 3 cos7（2）3 3sin(),140.2所以02，所以213cos()1 sin(),14coscoscoscossinsin1134 33 317147142又02，所以3 20.（本小题满分 12 分）已知某观光海域 AB 段的长度为 3 百公里，一超级快艇在 AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用 Q（单位：万元）与速度 v（单位：百公里/小时）（03v）的以下数据：v0123Q00.71.63.3为描述该超级快艇每小时航行费用 Q 与速度 v 的关系，现有以下三种函数模型供选择：32Qavbvcv，0.5vQa，logaQkvb（1）试
13、从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使 AB 段的航行费用最少？并求出最少航行费用解：（1）若选择函数模型 Q0.5v+a，则该函数在0,3v上为单调减函数，这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型，若选择函数模型 Qklogav+b，须 y0，这与试验数据在 v0 时有意义矛盾，所以不选择该函数模型；从而只能选择函数模型 Qav3+bv2+cv，由试验数据得，a+b+c0.7，8a+4b+2c1.6，27a+9b+3c3.3，联立解得：0.1,0.2,0.8abc；故所求函数解析式为：320.10.20.8,(03)Qvvvv（2）设超级
14、快艇在 AB 段的航行费用为 y（万元）则所需时间为（小时），其中：03，结合（1）知，y（0.1v30.2v2+0.8v）0.3（v1）2+7所以当1 时，ymin2.1答：（1）相应的函数解析式：Q0.1v30.2v2+0.8v，（0v3）；当该超级快艇以 1 百公里/小时航行时可使 AB 段的航行费用最少，且最少航行费用为 2.1 万元；21.（本小题满分 12 分）如图，在半径为3，圆心角为60 的扇形的弧上任取一点 P，作扇形的内接矩形 PNMQ，使点Q 在OA上，点 N，M 在OB 上，设矩形 PNMQ 的面积为 y.（1）设 PNx，将 y 表示成 x 的函数关系式；（2）设PO
15、B，将 y 表示成 的函数关系式；并求出 y 的最大值.(1)因为 QMPNx，所以 MNONOM 3x2 x3，所以 yMNPNx 3x2 33 x2 0 x32.(2)当POB时，QMPN 3sin，则 OMsin，又 ON 3cos，所以 MNONOM 3cos sin，所以 yMNPN3sin cos 3sin2 03.y 3sin 26 32，当6时，y 取得最大值为 32.22.（本小题满分 12 分）已知定义在区间(0,)上的函数4()5.f xxx（1）求函数()f x 的零点；（2）若方程()(0)f xmm有四个不等实根1234,x xxx，证明123416xxxx；（3）
16、在区间1,4上是否存在实数,()a b ab，使得函数()f x 在区间,a b 上单调，且()f x 的值域为,ma mb，若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由.解：（1）令()0,14f xxx解得：或(2)如图，要使()f xm有四个根，则01m令4()5g xxx当()g xm，则2(5)40 xm x144xx当()g xm，则2(5)40 xm x234xx123416xxxx（3）当444,1,2()5(),()5(),()5()a bf xxf aaf bbxab时，由()()f af bmab得，445554()0bababaabababab即，44,(1,24543abbaa 由，解得：，由1,2),a423a，848,535baaa由245()451af aamaaaa，可得 19,216m当,2,4a b，4()5()f xxx，由(),()5f amb f bmaab可得，再由22544(),515aaf ambmbamabaa 得，把代入得24,24abba且Q，522a19,)3 25m综上，当,1,2a b 时，19,);216m当,2,4a b，19,)3 25m.
