1、2.3.2方差与标准差1理解样本数据方差与标准差的意义和作用，会计算数据的方差、标准差(重点、难点)2掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想(难点)基础初探教材整理方差与标准差阅读教材P69P70“例4”上边的内容，并完成下列问题1极差的概念我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差2方差与标准差的概念(1)设一组样本数据x1，x2，xn，其平均数为，则称s2(xi)2为这个样本的方差(2)方差的算术平方根s为样本的标准差填空：(1)已知样本方差为s2(xi5)2，则样本的平均数_；x1x2x10_. 【导学号：11032048】【解析】由题意得5，n10，5，x1x2x3x10
2、50.【答案】550(2)数据10,6,8,5,6的方差s2_.【解析】5个数的平均数7，所以s2(107)2(67)2(87)2(57)2(67)23.2.【答案】3.2小组合作型方差与标准差的计算 (1)某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图如图237， 则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_图237(2)设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yixia(a为非零常数，i1,2，10)，则y1，y2，y10的均值和标准差分别为_、_.【精彩点拨】根据方差和均值的定义进行计算【自主解答】(1)依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均
3、数为11.故方差为s2(811)2(911)2(1011)2(1311)2(1511)2(941416)6.8.(2)样本数据x1，x2，x10的均值(x1x2x10)1，方差s2(x11)2(x21)2(x101)24，新数据x1a，x2a，x10a的均值(x1ax2ax10a)(x1x2x10)a1a.新数据x1a，x2a，x10a的方差s2(x1a1a)2(x2a1a)2(x10a1a)2(x11)2(x21)2(x101)24.s2.【答案】(1)6.8(2)1a2求样本方差或标准差的步骤：(1)求样本的平均数i；(2)利用公式s2(xi)2求方差s2；(3)利用s求标准差s.再练一题
4、1样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为_【解析】由题意知(a0123)1，解得a1，所以样本方差为s2(11)2(01)2(11)2(21)2(31)22.【答案】2方差与标准差的应用甲、乙两台机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从加工的零件中抽取6件测量，所得数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数与方差；(2)根据计算的结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定【精彩点拨】【自主解答】(1)甲(9910098100100103)100，乙(991001029910
5、0100)100.s(99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2，s(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同又ss，所以乙机床加工零件的质量更稳定1方差和标准差都是反映一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小方差、标准差越大，数据的离散程度越大；方差、标准差越小，数据的离散程度越小或数据越集中，稳定2比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及方差或标准差这两个方面考虑再练一题2甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培
6、训期间他们参加5次测试，成绩记录如下：甲：7876749082乙：9070758580现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，应选择_同学(填“甲”或“乙”)【解析】甲80，乙80，而s(7880)2(7680)2(7480)2(9080)2(8280)232.s(9080)2(7080)2(7580)2(8580)2(8080)250.甲乙，ss，从统计学的角度考虑，选甲参加更合适【答案】甲探究共研型平均数、方差的性质探究1方差与原始数据的单位相同吗？为什么？标准差的取值范围如何？s0表示怎样的意义？【提示】由于方差进行了平方运算，故方差的单位是原始数据单位的平方，从而标准差的单位
7、与原始数据的单位相同由标准差的定义知s0，当s0时，表示所有的样本数据都相同探究2所有样本数据均加上一个常数，其平均数、方差改变吗？若所有样本数据均乘以一个非零常数时，结果又会怎样？【提示】设样本x1，x2，xn的平均数为，方差为s2，则样本x1b，x2b，xnb的平均数为b，方差为s2；样本ax1，ax2，axn的平均数为a，方差为a2s2.从某班抽取5名学生测量身高(单位：cm)数据如下：161,163,162,165,164.求这5名学生身高的平均数及标准差【精彩点拨】本题可用两种解法方法一是直接套公式计算方法二把原数据统一减去一个常数160，通过新数据的平均数、方差求解【自主解答】法一
8、：身高的平均数163(cm)，标准差s(cm)法二：将原数据都减去160之后得到一组新数据为1,3,2,5,4，新数据的平均数(13254)3，新数据的方差s2(13)2(33)2(23)2(53)2(43)22，由平均数及方差的性质得原数据的平均数1603163(cm)，原数据的标准差s(cm)1平均数、方差具有以下性质(1)数据x1，x2，xn与数据x1x1a，x2x2a，xnxna的方差相等，即数据经过平移后方差不变(2)若x1，x2，xn的平均数为，方差为s2，那么mx1a，mx2a，mxna的平均数为ma，方差为m2s2.2利用以上性质可使平均数，方差的计算变得简单再练一题3已知k1
9、，k2，kn的方差为5，则3(k14)，3(k24)，3(kn4)的方差为_. 【导学号：11032049】【解析】设k1，k2，kn的平均数为，则3(k14)，3(k24)，3(kn4)的平均数为3(4)，s23(ki4)3(4)23(ki)29(ki)29545.【答案】451下列叙述不正确的是_(填序号)样本的平均数可以近似地描述总体的平均水平；极差描述了一组数据变化的幅度；样本的方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；一个班级的数学成绩的方差越大说明成绩越稳定【解析】选项都是对三个基本概念的正确描述，方差越大说明一组数据围绕平均数的波动越大，所以，一个班级的数学成绩的方差越大，说明成绩
10、越不稳定，因此选项是不正确的故选.【答案】2甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差见表：甲乙丙丁平均数8.58.88.88方差s23.53.52.18.7则参加奥运会的最佳人选应为_【解析】由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定【答案】丙3若1,2,3，x的平均数是5，而1,3,3，x，y的平均数是6，则1,2,3，x，y的方差是_【解析】由5得x14.同理y9.由s2(12223214292)5.8224.56.【答案】24.564已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy_. 【导学号：11032050】【解析】由题意得：整理得2得2xy182，xy91.【答案】915假定下述数据是甲、乙两个供货商的交货天数，甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10；乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.根据两个供货商的交货情况并计算哪个供货商交货时间短一些，哪个供货商交货时间较具一致性与可靠性？【解】甲(10910)10.1，s(10292102)10.120.49，乙(81012)10.5，s(82122)10.526.05.ss.从交货天数的平均值来看，甲供货商的供货天数短一些，从方差来看，甲供货商的交货天数较稳定，因此甲是较具一致性与可靠性的厂商