1、23 函数的应用()1了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用2能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题(重点、难点)基础初探教材整理 几类函数模型阅读教材 P65P68“探索与研究”以上部分，完成下列问题常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b 为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0)分段函数模型f(x)f1x，xD1f2x，xD2fnx，xDn1判断(正确的打“”，错误的打“”)甲、乙两人在一次赛跑中，路程 s 与时间 t 的函数关系如图 2-3-1所示，判断下列说
2、法的对错图 2-3-1(1)甲比乙先出发()(2)乙比甲跑的路程多()(3)甲、乙两人的速度相同()(4)甲先到达终点()【答案】(1)(2)(3)(4)2某生产厂家的生产总成本 y(万元)与产量 x(件)之间的关系式为 yx280 x，若每件产品的售价为 25 万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为()A52 B52.5C53 D52 或 53【解析】因为利润收入成本，当产量为 x 件时(xN)，利润f(x)25x(x280 x)，所以 f(x)105xx2x1052210524，所以 x52 或 x53 时，f(x)有最大值【答案】D小组合作型一次函数模型的应用(1)某厂日生产文具盒
3、的总成本 y(元)与日产量 x(套)之间的关系为 y6x30 000.而出厂价格为每套 12 元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒()A2 000 套 B3 000 套C4 000 套D5 000 套(2)如图 2-3-2 所示，这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函数关系图象根据图象填空：图 2-3-2通话 2 分钟，需要付电话费_元；通话 5 分钟，需要付电话费_元；如果 t3，则电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函数关系式为_【解析】(1)因利润 z12x(6x30 000)，所以 z6x30 000，由 z0，解得 x5 000，
4、故至少日生产文具盒 5 000 套(2)由图象可知，当 t3 时，电话费都是 3.6 元由图象可知，当 t5 时，y6，需付电话费 6 元易知当 t3 时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，利用待定系数法求得 y1.2t(t3)【答案】(1)D(2)3.6 6 y1.2t(t3)1一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则2一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式 axb0(或0)，解答时，注意系数 a 的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值再练一题1某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份 0.35 元，卖出的价格是每份 0.50 元
5、，卖不掉的报纸还可以每份 0.08 元的价格退回报社在一个月(30 天)里，有 20 天每天可以卖出 400 份，其余 10 天每天只能卖出 250 份，设每天从报社买进的报纸数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？该销售点一个月最多可赚得多少元？【导学号：60210056】【解】设每天从报社买进 x 份报纸，易知 250 x400，设每月赚 y 元，则y0.5x200.525010(x250)0.08100.35x300.3x1 050，x250,400因为 y0.3x1 050 是定义域上的增函数，所以当 x400 时，ymax1201 0501 170(元)故每天
6、从报社买 400 份报纸时，所获的利润最大，每月可赚 1 170元.二次函数模型的应用 商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件 300 元现在这种羊毛衫的成本价是 100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的 75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？【精彩点拨】(1)先设购买人数为 n 人，羊毛衫的标价为每件 x 元，利润为 y 元，列出函数 y 的解析式，最
7、后利用二次函数的最值即可求得商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元即可；(2)由题意得出关于 x 的方程式，解得 x 值，从而即可解决商场要获取最大利润的 75%，每件标价为多少元【自主解答】(1)设购买人数为 n 人，羊毛衫的标价为每件 x 元，利润为 y 元，则 x(100,300，nkxb(k0)，0300kb，即 b300k，nk(x300)，y(x100)k(x300)k(x200)210 000k(x(100,300)，k0，x200 时，ymax10 000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件 200 元(2)由题意得，k(x100)(x300)10 000
8、k75%，即 x2400 x37 5000，解得 x250 或 x150，所以，商场要获取最大利润的 75%，每件标价为 250 元或 150 元在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.再练一题2某水厂的蓄水池中有 400 吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时 60 吨的速度向池中注水，若 t 小时内向居民供水总量为 100 6t(0t24)，求供水开始几小时后，水池中的存水量最少【解】设 t 小时后，蓄水池中的存水量为 y 吨，
9、则 y40060t100 6t(0t24)，设 u t，则 u0，2 6，y60u2100 6u40060u5 662150，当 u5 66 即 t256 时，蓄水池中的存水量最少探究共研型分段函数模型的应用探究 1 分段函数 f(x)f1x，xD1，f2x，xD2，fnx，xDn的定义域和值域分别是什么？如何求分段函数的最大值和最小值？【提示】分段函数 f(x)是各段自变量取值范围的并集，即 D1D2Dn，分段函数的值域是各段值域的并集先求出各段在其自变量取值范围内的最大值和最小值，然后分别比较各段最大值和最小值，各段最大值的最大者就是分段函数的最大值，各段最小值的最小者就是分段函数的最小值
10、探究 2 解实际应用问题时，如何确定所要应用的函数模型是否为分段函数？【提示】根据题意，判断题设中的自变量变化是否遵循不同的规律，若是，则所要应用的函数模型为分段函数，反之则不是 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与价格(元)均为时间 t(天)的函数，且销售量近似满足 g(t)802t(件)，价格近似满足于 f(t)1512t，0t10，2512t，10t20(元)(1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0t20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值【精彩点拨】(1)由已知，由价格乘以销售量可得该种商品的日销售额 y 与时间 t
11、(0t20)的函数表达式；(2)由(1)分段求出函数的最大值与最小值，从而可得该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值【自主解答】(1)由已知，由价格乘以销售量可得：y1512t 802t，0t102512t 802t，10t20t3040t，0t1050t40t，10t20t210t1 200，0t10t290t2 000，10t20(2)由(1)知当 0t10 时，yt210t1 200(t5)21 225，函数图象开口向下，对称轴为 t5，该函数在 t0,5)递增，在 t(5,10递减，ymax1 225(当 t5 时取得)，ymin1 200(当 t0 或 10 时取得)当 10t20
12、 时，yt290t2 000(t45)225，图象开口向上，对称轴为 t45，该函数在 t(10,20递减，ymax1 200(t10 时取得)，ymin600(当 t20 时取得)，由知 ymax1 225(当 t5 时取得)，ymin600(当 t20 时取得)1建立分段函数模型的关键是确定分段的各界点，即明确自变量的取值区间2分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别求出来，再将其合到一起再练一题3国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在 30 人或 30 人以下，每人需交费用为 900 元；若旅行团人数多于 30 人，则给予优
13、惠：每多 1 人，人均费用减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止旅行社需支付各种费用共计 15 000 元(1)写出每人需交费用 y 关于人数 x 的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？【解】(1)当 0 x30 时，y900；当 30 x75，y90010(x30)1 20010 x；即 y900，0 x30，1 20010 x，30 x75.(2)设旅行社所获利润为 S 元，则当 0 x30 时，S900 x15 000；当 30 x75，Sx(1 20010 x)15 00010 x21 200 x15 000；即 S900 x15 000，0 x30，10 x
14、21 200 x15 000，30 x75.因为当 0 x30 时，S900 x15 000 为增函数，所以 x30 时，Smax12 000；当 30 x75 时，S10 x21 200 x15 00010(x60)221 000，即 x60 时，Smax21 00012 000.所以当旅行社人数为 60 时，旅行社可获得最大利润1一等腰三角形的周长为 20，底边 y 是关于腰长 x 的函数，则它的解析式为()Ay202x(x10)By202x(x10)Cy202x(5x10)Dy202x(5x0，202x0，xy，2x202x，x5，5x10.【答案】D2某工厂生产某种产品固定成本为 2
15、000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万元又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数，K(Q)40Q 120Q2，则总利润 L(Q)的最大值是_万元【解析】L(Q)40Q 120Q210Q2 000 120Q230Q2 000 120(Q300)22 500，当 Q300 时，L(Q)的最大值为 2 500 万元【答案】2 5003某商人将彩电先按原价提高 40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了 270 元，则每台彩电的原价为_元【解析】设彩电的原价为 a，a(10.4)80%a270，0.12a270，解得 a2 250.每台彩电的原价为 2 25
16、0 元【答案】2 2504某商店进货单价为 45 元，若按 50 元一个销售，能卖出 50 个；若销售单价每涨 1 元，其销售量就减少 2 个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_元.【导学号：60210057】【解析】设涨价 x 元，销售的利润为 y 元，则 y(50 x45)(502x)2x240 x2502(x10)2450，所以当 x10，即销售价为 60 元时，y 取得最大值【答案】605某游乐场每天的盈利额 y(元)与售出的门票数 x(张)之间的关系如图 2-3-3 所示，试问盈利额为 750 元时，当天售出的门票数为多少？图 2-3-3【解】根据题意，得每天的盈利额 y(元)与售出的门票数 x(张)之间的函数关系式是：y3.75x0 x4001.25x1 000400 x600.当 0 x400 时，由 3.75x750，得 x200.当 400 x600 时，由 1.25x1 000750，得 x200(舍去)综合和，盈利额为 750 元时，当天售出的门票数为 200 张
