1、第十二章选修 2第十二章 概率与统计综合能力测试()本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.(2009成都市高中毕业班第一次诊断性检测题)某学校有教职工 100 人，其中教师 80 人，职员 20 人.现从中随机抽取 10 人组成一个考察团外出学习考察，则这 10 人中恰有 8 名教师的概率为()A.A280A820A10100 B.A880A220A10100C.C880C220C1010
2、0D.C280C820C10100答案：C解析：依题意得从 100 名教职工中随机抽取 10 人的选法种数是 C10100种，其中所选的 10人中恰有 8 名教师的选法种数是 C880C220种，因此所求的概率等于C880C220C10100，选 C.2.新华中学高一年级有 540 人，高二年级有 440 人，高三年级有 420 人，用分层抽样的方法，抽取容量为 70 的样本，则高一、高二、高三三个年级应分别抽取()A.28 人，24 人，18 人 B.27 人，22 人，21 人C.26 人，24 人，20 人D.25 人，24 人，21 人答案：B解析：高一、高二、高三三个年级人数比为，按
3、分层抽样的要求，抽取的样本中三个年级人数比应保持不变，又知样本容量为 70，故三个年级分别应抽取 27 人、22 人、21 人.3.已知样本：10 8 6 10 13 8 10 12 11 78 9 11 9 12 9 10 11 12 12那么频率为 0.25 的范围是()A.5.57.5B.7.59.5C.9.511.5D.11.513.5答案：D解析：统计结果为：5.57.5,2 个数据；7.59.5,6 个数据；9.511.5,7 个数据；11.513.5,5 个数据.因此频率为 0.25 的范围是 D.4.在样本的频率分布直方图中，一共有 m(m3)个小矩形，第 3 个小矩形的面积等
4、于其余 m1 个小矩形面积和的14，且样本容量为 100，则第 3 组的频数是()A.0.2B.25C.20D.以上都不正确答案：C解析：第 3 组的频率是15，样本容量为 100，故第 3 组的频数是 1001520.选 C.5.(2009南昌市高三年级调研测试卷)为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中 100株树木的底部周长(单位：cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，那么在这 100株树木中，底部周长小于 110cm 的株数是()A.30B.60C.70D.80答案：C解析：依题意得在这 100 株树木中，底部周长小于 110cm 的株数是 100(0.010.020
5、.04)1070，选 C.总结评述：有关统计图表的考查，主要要求考生能够准确地识图.6.老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班 40 名同学(其中男同学 28 名，女同学 12 名)采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为 10 的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为()A.150B.110C.15D.14答案：D解析：因为在分层抽样中，任何个体被抽取的概率均相等，所以某女同学甲被抽到的概率 P104014，故应选 D.7.设随机变量 N(，2)，且 P(1)12，P(2)p，则 P(01)等于()A.12pB.1pC.12pD.12p答案：D解析：由题意 P(1)12，1.又 P(01
6、)P(12)P(2)P(1)1p1212p.8.已知某一随机变量 的概率分布列如下，且 E6.3，则 a 的值为()4a9P0.50.1bA.5B.6C.7D.8答案：C解析：由题意得 0.50.1b1,40.5a0.19b6.3，求得 a 的值为 7，故选 C.9.某学校有老师 200 人，男学生 1200 人，女学生 1000 人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为 n 的样本，已知女学生一共抽取了 80 人，则 n 的值是()A.193B.192C.191D.190答案：B解析：由n20012001000 80100，得 n192，故选 B.10.(2009昆明质检)设随机变量
7、 服从正态分布 N(2，2)，若 P(c)a，则 P(4c)等于()A.aB.1aC.2aD.12a答案：B解析：P(c)1F(c)1(c2)a，(c2)1a，则 P(4c)1F(4c)1(2c)(c2)1a，故选 B.11.(2009上海)在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”.根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是()A.甲地：总体均为 3，中位数为 4B.乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0C.丙地：中位数为 2，众数为 3D.丁地：总体均值为 2，总体
8、方差为 3答案：D解析：逐项验证中，由 0,0,0,2,4,4,4,4,4,8 可知，A 错；由 0,0,0,0,0,0,0,0,2,8 可知，B 错；由 0,0,1,1,2,2,3,3,3,8 可知，C 错.D 中 x 2.则(x12)2(x22)2(x102)2103.即(x12)2(x22)2(x102)230.显然(xi2)230(i1,2，10)，即 xi7.故选D.12.(2010湖南衡阳模拟)已知随机变量 服从正态分布 N(2，2)，P(4)0.84，则 P(0)等于()A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84答案：A解析：P(4)F(4)(42)(2)0.84，P(0)
9、F(0)(02)(2)1(2)10.840.16二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在题中的横线上。)第卷(非选择题 共 90 分)13.某学校共有 6 个年级，现在采用分层抽样的方法从全校 3000 名学生中抽取一个容量为 150 的样本进行一项调查.若该学校高中三年级共有 600 名学生，则从高中三年级抽取的学生人数应该为_.答案：30解析：600300015030.14.作为首批“中国最佳旅游城市”的成都，市民们喜欢节假日到近郊休闲和旅游.去年，相关部门对城东“五朵金花”之一的某景区在“五一”黄金周中每天的游客人数作了统计，其频率分布如下表所示：时间5
10、 月 1 日5 月 2 日5 月 3 日5 月 4 日5 月 5 日5 月 6 日5 月 7 日频率0.050.080.090.130.300.150.20已知 5 月 1 日这天该景区的营业额约为 8 万元，假定这七天每天游客人均消费相同，则这个黄金周该景区游客人数最多的那一天的营业额约为_万元.答案：48解析：客人数量多的一天为 5 月 5 日，营业额为0.300.0586848(万元).15.(2009辽宁师大附中 4 月)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数 0，两个面上标以数 1，一个面上标以数 2，将这个小正方体抛掷 2 次；则向上的数之积的数学期望是_.答案：49解析：向上
11、的数之积为 4、2、1、0 的概率分别为 136、19、19、34，则所求的数学期望是49，故填49.16.(2009江苏一测)若 x1，x2，x3，x2008，x2009 的方差为 3，则 3(x12),3(x22)，3(x20082),3(x20092)的方差为_.答案：27解析：由公式 D(ab)a2D 得 3(x12),3(x22)，3(x20082),3(20092)的方差为27，故填 27.三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)17.(本小题满分 10 分)为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为 40 的样本，检测结果为一等品 8
12、 件，二等品 18 件，三等品 12 件，次品 2 件.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出表示样本频率分布的条形图；(3)根据上述结果，估计此种新产品为二等品或三等品的概率是多少？解析：(1)样本的频率分布表为：样本频数频率一等品80.2二等品180.45三等品120.3次品20.05(2)样本频率分布的条形图如下图.(3)根据频率分布表，该产品二等品或三等品的频率为 0.450.30.75.根据上述结果可以估计，此种新产品为二等品或三等品的概率为 0.75.18.(2009江西)(本小题满分 12 分)某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审.
13、假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率是12.若某人获得两个“支持”，则给予 10 万元的创业资助，若只获得一个“支持”，则给予 5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令 表示该公司的资助总额.(1)写出 的分布列；(2)求数学期望 E.解析：(1)的所有取值为 0,5,10,15,20,25,30.P(0)164，P(5)332，P(10)1564，P(15)516，P(20)1564，P(25)332，P(30)164.则 的分布列为：051015202530P16433215645161564332164(2)E5 33210156415 51620156425 33230 16
14、415.19.(本小题满分 12 分)袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n1,2,3,4).现从袋中任取一球，表示所取球的标号.(1)求 的分布列、期望和方差；(2)若 ab，E1，D11，试求 a，b 的值.解析：(1)的分布列为：01234P1212011032015E0121 1202 1103 3204151.5.D(01.5)212(11.5)2 120(21.5)2 110(31.5)2 320(41.5)2152.75.(2)由 Da2D，得 a22.7511，即 a2.又 EaEb，所以当 a2 时，由 121.5b，得 b
15、2.当 a2 时，由 121.5b，得 b4.a2，b2 或a2，b4即为所求.总结评述：本题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念以及基本的运算能力.20.(本小题满分 12 分)某篮球队与其他 6 支篮球队依次进行 6 场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在 6 场比赛中恰好胜了 3 场的概率；(3)求这支篮球队在 6 场比赛中胜场数的期望和方差.解析：(1)P(113)213 427.(2)6 场胜 3 场的情况有 C36种.PC36(13)3(113)3
16、20 127 827160729.(3)由于 服从二项分布，即 B(6，13)，E6132，D613(113)43.答：(1)这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为 427；(2)这支篮球队在 6 场比赛中恰胜 3 场的概率为160729；(3)在 6 场比赛中这支篮球队胜场的期望为 2，方差为43.21.(2009宁夏、海南)(本小题满分 12 分)某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人)，另外 750 名工人参加过长期培训(称为 B 类工人).现用分层抽样方法(按 A 类、B 类分两层)从该工厂的工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力(此处
17、生产能力指一天加工的零件数).(1)求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为 A 类工人，乙为 B 类工人；(2)从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2.表 1：生产能力分组100，110)110，120)120，130)130，140)140，150人数48x53表 2：生产能力分组100,120)120,130)130,140)140,150)人数6y3618(1)先确定 x、y，再完成下列频率分布直方图，就生产能力而言，A 类工人中个体间差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)(2)分别估计 A 类
18、工人和 B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).解析：(1)甲、乙被抽到的概率均为 110，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为 P 110 110 1100.(2)由题意知 A 类工人中应抽查 25 名，B 类工人中应抽查 75 名.故 48x5325，得 x5，6y361875，得 y15.频率分布直方图如下：从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小.x A 425105 825115 525125 525135 325145123，x B 6751151575125
19、36751351875145133.8，x 25100123 75100133.8131.1.A 类工人生产能力的平均数、B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为 123,133.8 和 131.1.22.(本小题满分 12 分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 N(70,100).已知成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 12 名.(1)试问此次参赛的学生总数约为多少人？(2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的(部分)标准正态分布表(x0)P(xx0)x001234567891
20、.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98120.88690.90490.92970.97190.97780.98260.88880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080
21、.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857 解析：(1)设参赛学生的分数为.因为 N(70,100)，由条件知，P(90)1P(90)1F(90)1(907010)1(2)10.97720.0228.这说明成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生人数约占全体参赛人数的 2.28%.因此，参赛总人数约为120.0228526(人).(2)假定设奖的分数线为 x 分，则 P(x)1P(x)1F(x)1(x7010)505260.0951.即(x7010)0.9049，查表得x7010 1.31，解得 x83.1.故设奖的分数线约为 83 分.
