1、2014-2015学年上海市宝山区高三（上）期末数学模拟试卷试题解析一.（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对3分，否则一律得0分1（3分）函数y=3tanx的周期是考点： 三角函数的周期性及其求法专题： 三角函数的图像与性质分析： 由条件根据y=Atan（x+）的周期等于 T=，可得结论解答： 解：函数y=3tanx的周期为=，故答案为：点评： 本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Atan（x+）的周期等于 T=，属于基础题2（3分）计算=2考点： 二阶矩阵专题： 计算题；矩阵和变换分析： 利用行列式的运算得，=2314=2解答： 解：=2314=2，故
2、答案为：2点评： 本题考查了矩阵的运算，属于基础题3（3分）（2014嘉定区三模）=考点： 极限及其运算专题： 导数的概念及应用；等差数列与等比数列分析： 利用等差数列的求和公式可得1+2+3+n=，然后即可求出其极限值解答： 解：=（+）=，故答案为：点评： 本题主要考察极限及其运算解题的关键是要掌握极限的实则运算法则和常用求极限的技巧！4（3分）二项式（x+1）10展开式中，x8的系数为45考点： 二项式系数的性质专题： 二项式定理分析： 根据二项式（x+1）10展开式的通项公式，求出x8的系数是什么解答： 解：二项式（x+1）10展开式中，通项为Tr+1=x10r1r=x10r，令10r
3、=8，解得r=2，=45； 即x8的系数是45故答案为：45点评： 本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应根据二项式展开式的通项公式进行计算，是基础题5（3分）设矩阵A=，B=，若BA=，则x=2考点： 矩阵与向量乘法的意义专题： 计算题；矩阵和变换分析： 由题意，根据矩阵运算求解解答： 解：A=，B=，BA=，422x=4；解得，x=2；故答案为：2点评： 本题考查了矩阵的运算，属于基础题6（3分）现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有240种考点： 计数原理的应用专题： 排列组合分析： 利用捆绑法，把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，问题得以解决解
4、答： 解：先把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，故有=240种，故答案为：240点评： 本题主要考查了排列问题的中的相邻问题，利用捆绑法是关键，属于基础题7（3分）若cos（+）=，2，则sin=考点： 运用诱导公式化简求值专题： 三角函数的求值分析： 利用诱导公式可知cos=，又2，利用同角三角函数间的关系式（平方关系）即可求得sin的值解答： 解：cos（+）=cos=，cos=，又2，sin=故答案为：点评： 本题考查诱导公式与同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题8（3分）（2008天津）若一个球的体积为，则它的表面积为12考点： 球的体积和表面积专题： 计
5、算题分析： 有球的体积，就可以利用公式得到半径，再求解其面积即可解答： 解：由得，所以S=4R2=12点评： 本题考查学生对公式的利用，是基础题9（3分）函数y=sin（2x+）（0）是R上的偶函数，则的值是考点： 由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题： 计算题分析： 根据函数y=sin（2x+）的图象特征，若它是偶函数，只需要x=0时，函数能取得最值解答： 解：函数y=sin（2x+）是R上的偶函数，就是x=0时函数取得最值，所以f（0）=1即sin=1所以=k+（kZ），当且仅当取 k=0时，得=，符合0 故答案为：点评： 本题考查了正弦型函数的奇偶性，正弦函数的最值，是基础题
6、10（3分）正四棱锥PABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于考点： 异面直线及其所成的角专题： 空间角分析： 根据异面直线所成角的定义先找出对应的平面角即可得到结论解答： 解：连结AC，BD相交于O，则O为AC的中点，E是PC的中点，OE是PAC的中位线，则OE，则OE与BE所成的角即可异面直线BE与PA所成的角，设四棱锥的棱长为1，则OE=，OB=，BE=，则cos=，故答案为：点评： 本题考查异面直线所成的角，作出角并能由三角形的知识求解是解决问题的关键，属中档题11（3分）（2004福建）直线x+2y=0被曲线x2+y26x2y15=0所截得
7、的弦长等于4考点： 直线与圆的位置关系专题： 综合题；数形结合分析： 根据圆的方程找出圆心坐标和半径，过点A作AC弦BD，可得C为BD的中点，根据勾股定理求出BC，即可求出弦长BD的长解答： 解：过点A作AC弦BD，垂足为C，连接AB，可得C为BD的中点由x2+y26x2y15=0，得（x3）2+（y1）2=25知圆心A为（3，1），r=5由点A（3，1）到直线x+2y=0的距离AC=在直角三角形ABC中，AB=5，AC=，根据勾股定理可得BC=2，则弦长BD=2BC=4故答案为：4点评： 本题考查学生灵活运用垂径定理解决实际问题的能力，灵活运用点到直线的距离公式及勾股定理化简求值，会利用数形
8、结合的数学思想解决数学问题，是一道综合题12（3分）已知函数f（x）=Asin（x+），（A0，0，0）的部分图象如图所示，则y=f（x）的解析式是f（x）=2sin（2x+）考点： 由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题： 三角函数的图像与性质分析： 首先，根据所给函数的部分图象，得到振幅A=2，然后，根据周期得到的值，再将图象上的一个点代人，从而确定其解析式解答： 解：根据图象，得A=2，又T=，T=，=2，将点（，0）代人，得2sin（2x+）=0，0，=，f（x）=2sin（2x+），故答案为：2sin（2x+）点评： 本题重点考查了三角函数的图象与性质、特殊角的三角函数等知
9、识，属于中档题解题关键是熟悉所给函数的部分图象进行分析和求解二选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的考生必须把正确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分13（3分）已知点P（tan，cos）在第三象限，则角的终边在第几象限（） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限考点： 任意角的三角函数的定义专题： 计算题分析： 由题意，推导出，确定的象限，然后取得结果解答： 解：P（tan，cos）在第三象限，由tan0，得在第二、四象限，由cos0，得在第二、三象限在第二象限故选B点评： 本题考查任意角的三角函数的定义
10、，考查计算能力，是基础题14（3分）已知函数y=xa+b，x（0，+）是增函数，则（） A a0，b是任意实数 B a0，b是任意实数 C b0，a是任意实数 D b0，a是任意实数考点： 指数函数的单调性与特殊点专题： 计算题；函数的性质及应用分析： 由幂函数的性质可知，a0，b是任意实数解答： 解：函数y=xa+b，x（0，+）是增函数，a0，b是任意实数，故选A点评： 本题考查了幂函数的单调性的判断，属于基础题15（3分）在ABC中，若b=2asinB，则这个三角形中角A的值是（） A 30或60 B 45或60 C 30或120 D 30或150考点： 正弦定理专题： 解三角形分析：
11、在ABC中，利用正弦定理解得sinA=，从而求得 A的值解答： 解：在ABC中，若b=2asinB，则由正弦定理可得 sinB=2sinAsinB，解得sinA=，A=30或150故选D点评： 本题主要考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题16（3分）若loga3logb30，则（） A 0ab1 B 0ba1 C ab1 D ba1考点： 对数函数的单调区间专题： 计算题；函数的性质及应用分析： 化loga3logb30为log3blog3a0，利用函数的单调性求解解答： 解：loga3logb30，0，即log3blog3a0，故0ba1，故选B点评： 本题考查了对数的运算及
12、对数函数单调性的利用，属于基础题17（3分）双曲线=1的焦点到渐近线的距离为（） A 2 B 2 C D 1考点： 双曲线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 先根据双曲线方程求得焦点坐标和渐近线方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到渐近线的距离解答： 解：双曲线=1的焦点为（4，0）或（4，0）渐近线方程为y=x或y=x由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d=2故选A点评： 本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质和点到直线的距离公式考查了考生对双曲线标准方程的理解和灵活应用，属基础题18（3分）用数学归纳法证明等式1+3+5+（2n1）=n2（nN*
13、）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（） A 1+3+5+（2k+1）=k2 B 1+3+5+（2k+1）=（k+1）2 C 1+3+5+（2k+1）=（k+2）2 D 1+3+5+（2k+1）=（k+3）2考点： 数学归纳法专题： 阅读型分析： 首先由题目假设n=k时等式成立，代入得到等式1+3+5+（2k1）=k2当n=k+1时等式左边=1+3+5+（2k1）+（2k+1）由已知化简即可得到结果解答： 解：因为假设n=k时等式成立，即1+3+5+（2k1）=k2当n=k+1时，等式左边=1+3+5+（2k1）+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2故选B点
14、评： 此题主要考查数学归纳法的概念问题，涵盖知识点少，属于基础性题目需要同学们对概念理解记忆19（3分）设z=1+i（i是虚数单位），则复数+z2在复平面上对应的点位于（） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数代数形式的乘除运算化简求得对应点的坐标，则答案可求解答： 解：z=1+i，则复数+z2=，复数+z2在复平面上对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限故选：A点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的等式表示法及其几何意义，是基础题20（3分）（2004陕西）圆x2+y24x=0在点P（1
15、，）处的切线方程为（） A x+y2=0 B x+y4=0 C xy+4=0 D xy+2=0考点： 圆的切线方程专题： 计算题分析： 本题考查的知识点为圆的切线方程（1）我们可设出直线的点斜式方程，联立直线和圆的方程，根据一元二次方程根与图象交点间的关系，得到对应的方程有且只有一个实根，即=0，求出k值后，进而求出直线方程（2）由于点在圆上，我们也可以切线的性质定理，即此时切线与过切点的半径垂直，进行求出切线的方程解答： 解：法一：x2+y24x=0y=kxk+x24x+（kxk+）2=0该二次方程应有两相等实根，即=0，解得k=y=（x1），即xy+2=0法二：点（1，）在圆x2+y24x
16、=0上，点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直又圆心为（2，0），k=1解得k=，切线方程为xy+2=0故选D点评： 求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上若在圆上，则该点为切点，若点P（x0，y0）在圆（xa）2+（yb）2=r2（r0）上，则 过点P的切线方程为（xa）（x0a）+（yb）（y0b）=r2（r0）；若在圆外，切线应有两条一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线21（3分）“tanx=1”是“x=+2k（kZ）”的（） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要
17、条件考点： 函数奇偶性的性质专题： 简易逻辑分析： 得出tan（=+2k）=1，“x=+2k”是“tanx=1”成立的充分条件；举反例tan=1，推出“x=+2k（kZ）”是“tanx=1”成立的不必要条件解答： 解：tan（+2k）=tan （）=1，所以充分；但反之不成立，如tan =1故选：B点评： 本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断充分条件与必要条件是中学数学最重要的数学概念之一，要理解好其中的概念22（3分）（2013福建）在四边形ABCD中，=（1，2），=（4，2），则该四边形的面积为（） A B C 5 D 10考点： 向量在几何中的应用；三角形的面积公式；数量积
18、判断两个平面向量的垂直关系专题： 计算题；平面向量及应用分析： 通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可解答： 解：因为在四边形ABCD中，=0，所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，该四边形的面积：=5故选C点评： 本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力23（3分）（2006天津）函数的反函数是（） A B C D 考点： 反函数分析： 本题需要解决两个问题：一是如何解出x，二是如何获取反函数的定义域，求解x时，要注意x0的条件，因为涉及2个解解答： 解：由解得，又原函数的值域是：y2原函数的反函数是，故选D点评：
19、 该题的求解有2个难点，一是解出x有两个，要根据x0确定负值的一个，二是反函数的定义域要用原函数的值域确定，不是根据反函数的解析式去求24（3分）曲线y2=|x|+1的部分图象是（） A B C D 考点： 曲线与方程专题： 函数的性质及应用分析： 分类讨论，去掉绝对值，化简函数的解析式，可得它的图象特征，结合所给的选项，得出结论解答： 解：当x0时，y2=x+1表示以（1，0）为顶点的开口向右的抛物线当x0时，y2=（x1）表示以（1，0）为顶点的开口向左的抛物线，故选：C点评： 本题主要考查函数的图象特征，属于基础题三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步
20、骤25（8分）解不等式组：考点： 其他不等式的解法专题： 不等式的解法及应用分析： 根据不等式的解法即可得到结论解答： 解：由|x1|3解得2x4，由1得1=0，解得3x5，所以，不等式解集为（3，4）点评： 本题主要考查不等式组的求解，比较基础26（8分）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长AB=2，若异面直线A1A与B1C所成角的大小为arctan，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积专题： 空间位置关系与距离分析： 由已知得AA1BB1，从而tanCB1B=，进而BB1=4，由此能求出正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积解答： 解：正四棱柱
21、ABCDA1B1C1D1的底面边长AB=2，异面直线A1A与B1C所成角的大小为arctan，AA1BB1，CB1B为AA1、B1C所成的角，且tanCB1B=，（4分）BC=AB=2，BB1=4，（6分）正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V=Sh=224=16（8分）点评： 本题考查正四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养27（10分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m0），点D为准线l与x轴的交点（）求直线PF的方程；（）求DAB的面积S范围；（）设，求证+为定值考点： 直线
22、的一般式方程；抛物线的应用专题： 计算题分析： （）由题知点P，F的坐标分别为（1，m），（1，0），求出斜率用点斜式写出直线方程（）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），用弦长公式求出线段AB的长，再由点到直线的距离公式求点D到直线AB的距离，用三角形面积公式表示出面积关于参数m的表达式，再根据m的取值范围求出面积的范围（），变化为坐标表示式，从中求出参数，用两点A，B的坐标表示的表达式，即可证明出两者之和为定值解答： 解：（）由题知点P，F的坐标分别为（1，m），（1，0），于是直线PF的斜率为，所以直线PF的方程为，即为mx+2ym=0（3分）（）设A，B两点的坐标分别
23、为（x1，y1），（x2，y2），由得m2x2（2m2+16）x+m2=0，所以，x1x2=1于是点D到直线mx+2ym=0的距离，所以因为mR且m0，于是S4，所以DAB的面积S范围是（4，+）（9分）（）由（）及，得（1x1，y1）=（x21，y2），（1x1，my1）=（x2+1，y2m），于是，（x21）所以所以+为定值0（14分）点评： 考查求直线方程、抛物线在的焦点弦弦长公式、点到直线的距离公式及向量中数乘向量的意义，涉及知识较多，综合性较强28（10分）已知函数f（x）=（xR）（1）写出函数y=f（x）的奇偶性；（2）当x0时，是否存实数a，使v=f（x）的图象在函数g（x）=
24、图象的下方，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由考点： 函数恒成立问题；函数奇偶性的判断专题： 函数的性质及应用分析： （1）当a=0时，f（x）=是奇函数； 当a0时，函数f（x）=（xR），是非奇非偶函数 （2）若y=f（x）的图象在函数g（x）=图象的下方，则，化简得a+x恒成立，在求函数的最值解答： 解：（1）因为y=f（x）的定义域为R，所以：当a=0时，f（x）=是奇函数； 当a0时，函数f（x）=（xR）是非奇非偶函数 （2）当x0时，若y=f（x）的图象在函数g（x）=图象的下方，则，化简得a+x恒成立，因为x0，即，所以，当a4时，y=f（x）的图象都在函数g（x）=图象
25、的下方点评： 本题主要考查函数的奇偶性，同时考查函数恒成立的问题，主要进行函数式子的恒等转化29（12分）已知抛物线x2=4y，过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点P1，又过点P1作斜率为的直线交抛物线于点P2，再过P2作斜率为的直线交抛物线于点P3，2x4，如此继续一般地，过点3x5作斜率为的直线交抛物线于点Pn+1，设点Pn（xn，yn）（1）求x3x1的值；（2）令bn=x2n+1x2n1，求证：数列bn是等比数列；（3）记P奇（x奇，y奇）为点列P1，P3，P2n1，的极限点，求点P奇的坐标考点： 数列与解析几何的综合专题： 计算题；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与
26、方程分析： （1）求出直线方程，联立抛物线方程，求出交点，即可得到；（2）设出两点点Pn（xn，）Pn+1（xn+1，），由直线的斜率公式，再由条件，运用等比数列的定义，即可得证；（3）运用累加法，求得x2n+1=+，再由数列极限的概念，即可得到点P奇的坐标解答： （1）解：直线OP1的方程为y=x，由解得P1（4，4），直线P2P1的方程为y4=（x4），即y=x+2，由得P2（2，1），直线P2P3的方程为y1=（x+2），即y=x+，由解得，P3（3，），所以x3x1=34=1 （2）证明：因为设点Pn（xn，）Pn+1（xn+1，），由抛物线的方程和斜率公式得到，所以xn+xn1=，两
27、式相减得xn+1xn1=，用2n代换n得bn=x2n+1x2n1=，由（1）知，当n=1时，上式成立，所以bn是等比数列，通项公式为bn=；（3）解：由得，以上各式相加得x2n+1=+，所以x奇=，y奇=x奇2=，即点P奇的坐标为（，）点评： 本题考查联立直线方程和抛物线方程求交点，考查等比数列的定义和通项公式的求法，考查累加法求数列通项，及数列极限的运算，属于中档题四、附加题（本大题满分30分）本大题共有3题，解答下列各题必须写出必要的步骤30（8分）有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1：2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不
28、计）专题： 函数的性质及应用分析： 求出窗框的高为3x，宽为推出窗框的面积，利用二次函数的最值，求解即可解答： 解：如图设x，则竖木料总长=3x+4x=7x，三根横木料总长=67x，窗框的高为3x，宽为（2分）即窗框的面积 y=3x=7x2+6x（ 0x） （5分）配方：y=7（x）2+（ 0x2 ） （7分）当x=米时，即上框架高为米、下框架为米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大（8分）点评： 本题考查二次函数的解析式的应用，考查分析问题解决问题的能力31（10分）（2008辽宁）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C（）写出C的方程；（）设直线y=kx+1
29、与C交于A，B两点k为何值时？此时的值是多少？考点： 直线与圆锥曲线的综合问题专题： 综合题；压轴题；转化思想分析： （）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是椭圆从而写出其方程即可；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系及向量垂直的条件，求出k值即可，最后通牒利用弦长公式即可求得此时的值，从而解决问题解答： 解：（）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴，故曲线C的方程为（4分）（）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足消去y并整理得（
30、k2+4）x2+2kx3=0，故（6分），即x1x2+y1y2=0而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，于是所以时，x1x2+y1y2=0，故（8分）当时，而（x2x1）2=（x2+x1）24x1x2=，所以（12分）点评： 本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力设数列an的首项a1为常数，且an+1=3n2an（nN+）（1）证明：an是等比数列；（2）若a1=，an中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由（3）若an是递增数列，求a1的取值范围考点： 等比关系的确定；数列的函数特
31、性；等差数列的通项公式专题： 计算题；证明题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析： （1）根据等比数列的定义，结合条件，即可得证；（2）由（1）求出数列an的通项公式，再由等差数列的性质，得到方程，求出n，即可判断；（3）运用数列an的通项公式，作差，再由n为偶数和奇数，通过数列的单调性，即可得到范围解答： （1）证明：因为=2，所以数列an是等比数列；（2）解：an是公比为2，首项为a1=的等比数列通项公式为an=+（a1）（2）n1=+若an中存在连续三项成等差数列，则必有2an+1=an+an+2，即解得n=4，即a4，a5，a6成等差数列 （3）解：如果an+1an成立，即+（a1）（2）n1对任意自然数均成立化简得，当n为偶数时，因为是递减数列，所以p（n）max=p（2）=0，即a10； 当n为奇数时，因为是递增数列，所以q（n）min=q（1）=1，即a11；故a1的取值范围为（0，1）点评： 本题考查数列的通项公式及等比数列的证明，考查等差数列的性质和已知数列的单调性，求参数的范围，考查运算能力，属于中档题和易错题
