1、第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件考纲解读1.搞清四种命题的判断及其关系，掌握命题的否定与否命题的区别(重点)2.熟练掌握充要条件的判断，并能根据充要条件确定参数的取值范围(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点预测2020年高考对命题及充要条件的判断为必考内容，考查知识面比较广泛，以数列、向量、三角函数、立体几何、解析几何等基本概念为命题方向试题难度以中、低档题型为主，且以客观题的形式进行考查.1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种
2、命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为Bp是q的充分不必要条件pq且qpA是B的真子集p是q的必要不充分条件pq且qpB是A的真子集p是q的充要条件pqABp是q的既不充分也不必要条件pq且qpA，B互不包含1概念辨析(1)“x30”是命题()(2)一个命题非真即假()(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(
3、1)命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是()A若xy，则x2y，则x2y2 D若xy，则x2y2答案B解析“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若xy，则x2y2”(2)对于任意两个集合A，B，“xAB”是“xA”的()A充分条件 B必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析(AB)A，xABxA，“xAB”是“xA”的充分条件(3)“若ab，则ac2bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析原命题是真命题逆命题：“若ac2bc2，则ab”是假命题否命题：“若ab，则ac2bc2”是假命题逆否命题：“若ac2bc2，则ab”
4、是真命题所以四个命题中真命题有2个(4)“sin0”是“是第一象限角”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析sin10，但不是第一象限角，所以sin0 是第一象限角，是第一象限角sin0，所以“sin0”是“是第一象限角”的必要不充分条件题型 四种命题及其关系1命题“已知a1，若x0，则ax1”的否命题为()A已知0a0，则ax1B已知a1，若x0，则ax1C已知a1，若x0，则ax1D已知0a1，若x0，则ax1”2(2018黄冈调研)给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图象不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，
5、真命题的个数是()A3 B2 C1 D0答案C解析因为原命题为真命题，所以它的逆否命题也是真命题它的逆命题是“若函数yf(x)的图象不过第四象限，则函数yf(x)是幂函数”，是假命题；所以原命题的否命题也是假命题所以这三个命题中，真命题有1个3设原命题：若ab2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A原命题真，逆命题假B原命题假，逆命题真C原命题与逆命题均为真命题D原命题与逆命题均为假命题答案A解析原命题的逆否命题是“若a，b都小于1，则ab2”，此命题是真命题，故原命题是真命题；原命题的逆命题是“若a，b中至少有一个不小于1，则ab2”是假命题，如a10，b2，但
6、ab81”是大前提(3)注意一些常见词语及其否定表示：词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于如举例说明3中“a，b中至少有一个不小于1”的否定是“a，b都小于1”2判断命题真假的两种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假 1(2018河北承德模拟)已知命题：如果x3，那么x5；命题：如果x3，那么x5；命题：如果x5，那么x3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是()命
7、题是命题的否命题，且命题是命题的逆命题；命题是命题的逆命题，且命题是命题的否命题；命题是命题的否命题，且命题是命题的逆否命题A B C D答案A解析由题意得，命题与命题互为否命题，命题与命题互为逆否命题命题与命题互为逆命题故正确，错误2原命题为“若an，nN*，则an为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真、真、真 B假、假、真C真、真、假 D假、假、假答案A解析若an，则an1an，nN*，则an为递减数列，由此可知原命题为真命题；原命题的否命题为“若an，nN*，则an不是递减数列”，若an，则an1an，则an不是递减数列，所以原命题的否命题是真
8、命题因为原命题与逆否命题同真同假，否命题与逆命题同真同假，所以原命题的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题题型 充分、必要条件的判断角度1定义法判断充分、必要条件1(2018北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a3b|3ab|”是“ab”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析|a3b|3ab|等价于|a3b|2|3ab|2，即(a3b)2(3ab)2，等价于a29b26ab9a2b26ab，又因为a，b为单位向量，所以a21，b21，所以196ab916ab，即ab0，等价于ab.所以“|a3b|3ab|”是“ab”的充分必要条件角度2集合
9、法判断充分、必要条件2(2018天津高考)设xR，则“”是“x31”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析解得x，即0x1；解x31得x1，因为(0,1)(，1)，所以“”是“x31或xx2，则綈p是綈q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由5x6x2得x25x60，解得2x3.记Ax|2x1或x3，则AB，所以q是p的充分不必要条件，所以綈p是綈q的充分不必要条件判断充分、必要条件的三种方法方法解读适合题型定义法第一步，分清条件和结论：分清谁是条件，谁是结论；第二步，找推式：判断“pq”及“qp
10、”的真假；第三步，下结论：根据推式及定义下结论定义法是判断充分、必要条件最根本、最适用的方法如举例说明1等价法利用pq与綈q綈p；qp与綈p綈q；pq与綈q綈p的等价关系适用于“直接正面判断不方便”的情况，可将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题，再去判断常用的是逆否等价法如举例说明3集合法记条件p，q对应的集合分别为A，B.若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若AB，则p是q的充要条件适用于“当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关，或所描述的对象可以用集合表示时”的情况如举例说明2 1对于直线m，n和平面，m成立的一个充分条件是()Amn，
11、n Bm，Cm，n，n Dmn，n，答案C解析对于选项C，因为m，n，所以mn，又n，所以m，故选C.2已知条件p：xy2，条件q：x，y不都是1，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析因为p：xy2，q：x1或y1，所以綈p：xy2，綈q：x1且y1.因为綈q綈p，但綈p 綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，所以p是q的充分不必要条件3(2017天津高考)设R，则“”是“sin”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析，即0.显然0时，sin成立但sin时，由周期函数的性质知0不一定成立故
12、0是sin的充分而不必要条件故选A.题型 知充分、必要条件求参数的取值范围1已知集合A，Bx|(xb)2a，若“a1”是“AB”的充分条件，则b的取值范围是_答案(2,2)解析由Ax|(x1)(x1)0，得1x1，当a1时，Bx|(xb)21x|b1xb1，因为AB，所以解得2b2.2已知条件p：1，条件q：x2xa2a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是_答案解析綈q的一个充分不必要条件是綈p，即綈p是綈q的充分不必要条件，p是q的必要不充分条件由p：1得10，0，解得3x1，记Ax|3x1由q：x2xa2a得(xa)x(1a)，a(1a)，故解得axa1，记Bx|axa1由
13、p是q的必要不充分条件可得BA，解得a2.条件探究1举例说明2中的“充分不必要”改为“必要不充分”，其余不变，该如何求解？解綈q的一个必要不充分条件是綈p，即綈p是綈q的必要不充分条件，p是q的充分不必要条件p对应集合Ax|3x1，q对应集合Bx|ax，AB，解得a3.条件探究2举例说明2中“1”改为“1”，“綈p”改为“p”，其余不变，该如何求解？解由题意得，p是綈q的充分不必要条件由1得0，解得6x10.p对应集合Cx|6x10又q对应集合Bx|ax，CRB，或解得0，q：xa22a2，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A1，) B3，)C(，13，) D1,3答案C解
14、析由p：(x3)(x1)0，解得x1，要使得綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，即qp，p q所以a22a21，解得a1或a3，故选C.2(2018河北保定模拟)已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要条件，则m的取值范围为_答案0,3解析由x28x200得2x10，所以Px|2x10由xP是xS的必要条件，知SP.则解得0m3.所以当0m3时，xP是xS的必要条件，即所求m的取值范围是0,3思想方法等价转化思想在充要条件中的应用典例已知p：2，q：x22x1m20(m0)，綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为_答案9，)解析綈p是綈q的必要不充分条件，q是p的必要不充分条件即p是q的充分不必要条件，由x22x1m20(m0)，得1mx1m(m0)q对应的集合为x|1mx1m，m0设Mx|1mx1m，m0又由2，得2x10，p对应的集合为x|2x10设Nx|2x10由p是q的充分不必要条件知，NM，或解得m9.实数m的取值范围为9，)思想方法等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题.典例中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化.
