1、第2讲选修45：不等式选讲JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略明方向考情分析主要考查绝对值不等式的解法求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点真题分布(理科)年份卷别题号考查角度分值2020卷23分段函数的图象，以及利用图象解不等式10卷23绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题10卷23不等式的基本性质以及基本不等式的应用102019卷23重要不等式、基本不等式、证明10卷23绝对值不等式的解法、分类讨论10卷23柯西
2、不等式求最值102018卷23含绝对值的不等式的求解、利用不等式恒成立求参数范围10卷23含绝对值不等式的求解、利用不等式恒成立求参数的取值范围10卷23含绝对值的函数的图象，利用不等式恒成立求两参数和的最值10(文科)年份卷别题号考查角度分值2020卷23分段函数的图象，以及利用图象解不等式10卷23绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题10卷23不等式的基本性质以及基本不等式的应用102019卷23重要不等式、基本不等式、证明10卷23绝对值不等式的解法、分类讨论10卷23柯西不等式求最值102018卷23含绝对值的不等式的求解、利用不等式恒成立求参数范围10卷23含绝对值
3、不等式的求解、利用不等式恒成立求参数的取值范围10卷23含绝对值的函数的图象，利用不等式恒成立求两参数和的最值10KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类析重点考点一绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a；(2)|f(x)|a(a0)af(x)a；(3)对形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解典例1(2020沙坪坝区校级模拟)设函数f(x)|x1|2xa|.(1)若a2，求f(x)8的解集；(2)若f(x)3|x1|，xR，求a的取值范围【解析】(1)当a2时，f(x)|
4、x1|2x2|，f(x)8，当x1时，x12x28，解得x，1x，当1x1时，1x2x28，解得x5，1x1，当x1时，1x2x28，解得3x，3x1，综上，不等式的解集为.(2)由f(x)3|x1|，得|2xa|2x2|3，又g(x)|2xa|2x2|(2xa)(2x2)|a2|，g(x)min|a2|3，a23或a23，a5或a1，a的取值范围是(，51，)1用零点区间法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值2用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗
5、易懂，又简洁直观，是一种较好的方法1(2020未央区校级模拟)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)求不等式g(x)3的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求实数a的取值范围【解析】(1)g(x)|x1|x1|.g(x)3，或1x1或，1x或1x1或x1，x，不等式的解集为.(2)当x1,1时，g(x)2，若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，则当x1,1时，f(x)2，又f(x)在1,1的最小值为minf(1)，f(1)，只需f(1)2 且 f(1)2，1a1，a的取值范围为1,1考点二绝对值不等式恒(能)成立问题定理1：如果a，b是实数，则|ab|
6、a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立典例2(2020运城模拟)已知函数f(x)|2xa|x1|，aR.(1)若不等式f(x)2|x1|无解，求实数a的取值范围；(2)当a2时，函数f(x)的最小值为2，求实数a的值【解析】(1)f(x)|2xa|x1|，由f(x)2|x1|，得|2xa|2x2|2，不等式f(x)2|x1|无解，(|2xa|2x2|)min2，又|2xa|2x2|(2xa)(2x2)|a2|，|a2|2，a4或a0，实数a的取值范围是(，0)(4，)(2)a2，g(x)；(2)若存在实
7、数x，使不等式mg(x)f(x)x(mR)能成立，求实数m的最小值【解析】(1)由题意不等式f(x)g(x)可化为|x2|x|x1|，当x(x1)，解得x3，即3xx1，解得x1，即1x2时，x2xx1，解得x3，即x3，综上所述，不等式f(x)g(x)的解集为x|3x3(2)由不等式mg(x)f(x)x(mR)，可得m|x2|x1|，所以m(|x2|x1|)min，因为|x2|x1|x2(x1)|3，所以m3，故实数m的最小值是3考点三不等式的证明1含有绝对值的不等式的性质|a|b|ab|a|b|.2算术几何平均不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果
8、a、b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a、b、c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立典例3(2020乌鲁木齐三模)设a，b均为正数，且a2b22，证明：(1)(ab)(a3b3)4；(2)2【证明】(1)a2b22，要证(ab)(a3b3)4，只需要证明a4b4ab3ba3(a2b2)2，也就是要证明a4b4ab3ba3a4b42a2b20，即证ab(ab)20，a，b均为正数，ab(ab)20，(ab)(a3b3)4(2)a，b均为正数，ab2，2(ab)()2，又a
9、2b22，2证明不等式的常用方法不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等(1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法(2)利用放缩法证明不等式，就是舍掉式中的一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，还可把和式中各项或某项换为较大或较小的数或式子，从而达到证明不等式的目的(3)含绝对值不等式的证明主要分两类：一类是比较简单的不等式可通过平方法或换元法等转化为常见不等式证明；另一类利用绝对值三角不等式，通过添项，拆项证明或利用放缩法，分析综合法证明3(2020沙坪坝区校级模拟)已知对于任意x1，不等式(1x)313x成立(1)求证：对于任意x1，(1x)414
10、x；(2)若a0，b0，求证：(ab)4a44a3b.【解析】证明：(1)x1，x10又对于任意x1，不等式(1x)313x成立，(1x)4(1x)3(1x)(13x)(1x)14x3x214x，即(1x)414x.(2)欲证(ab)4a44a3b，只需41，即证414a，b0，01，由(1)知取x时上式成立，从而原不等式得证ZHEN TI HUI FANG WU GAO KAO真题回放悟高考1(2020全国卷卷)已知函数f(x)|3x1|2|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)求不等式f(x)f(x1)的解集【解析】(1)因为f ，作出图象，如图所示：(2)将函数f的图象向左平移1个单
11、位，可得函数f的图象，如图所示：由x351，解得x.所以不等式f(x)f(x1)的解集为.2(2020全国卷卷)已知函数f(x)|x2a1|.(1)当a2时，求不等式f(x)4的解集；(2)若f(x)4，求a的取值范围【解析】(1)当a2时，f.当x3时，f4x3x72x4，解得：x；当3x4时，f4xx314，无解；当x4时，fx4x32x74，解得：x；综上所述：f4的解集为 或 .(2)f2(当且仅当2a1xa2时取等号)，24，解得：a1或a3，a的取值范围为.3(2020全国卷卷)设a，b，cR，abc0，abc1(1)证明：abbcca0，abbcca0，b0，c0，abc，a，a
12、3a2a4当且仅当bc时，取等号，a，即maxa，b，c.4(2019全国卷)已知f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若x(，1)时，f(x)0，求a的取值范围【解析】(1)当a1时，f(x)|x1|x|x2|(x1)当x1时，f(x)2(x1)20；当x1时，f(x)0，所以，不等式f(x)0的解集为(，1)(2)因为f(a)0，所以a1当a1，x(，1)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0所以，a的取值范围是1，)5(2019全国卷)已知a、b、c为正数，且满足abc1证明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(
13、ca)324【证明】(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.当且仅当abc1时，等号成立所以a2b2c2(2)因为a、b、c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ac)3(2)(2)(2)24当且仅当abc1时，等号成立所以(ab)3(bc)3(ca)3246(2019全国卷)设x，y，zR，且xyz1(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，证明：a3或a1【解析】(1)因为(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，所以由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，当且仅当x，y，z时等号成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值为.(2)证明：因为(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，所以由已知得(x2)2(y1)2(za)2，当且仅当x，y，z时等号成立所以(x2)2(y1)2(za)2的最小值为.由题设知，解得a3或a1
