1、2016-2017学年山东省实验中学高三(上)第二次诊断数学试卷(理科)一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|0log4x1,B=x|x2,则AB=()A(0,1)B(0,2C(1,2)D(1,22命题“对任意xR,都有x20”的否定为()A对任意xR,都有x20B不存在xR,都有x20C存在x0R,使得x020D存在x0R,使得x0203函数y=ln(1x)的定义域为()A(0,1)B0,1)C(0,1D0,14已知角是第二象限角,且,则cos=()ABCD5已知函数f(x)为奇函数,且当x0时,则f(1)
2、=()A2B0C1D26已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是()AxR,f(x)=0B函数y=f(x)的图象是中心对称图形C若x是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(,x)单调递减D若x是f(x)的极值点,则f(x)=07“=”是“曲线y=sin(2x+)过坐标原点”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x24x+5的图象的交点个数为()A3B2C1D09已知函数f(x)=,若|f(x)|ax,则a的取值范围是()A(,0B(,1C2,1D2,010设S,T是R的两个非空子集,如果存
3、在一个从S到T的函数y=f(x)满足:(i)T=f(x)|xS;(ii)对任意x1,x2S,当x1x2时,恒有f(x1)f(x2),那么称这两个集合“保序同构”,以下集合对不是“保序同构”的是()AA=N*,B=NBA=x|1x3,B=x|x=8或0x10CA=x|0x1,B=RDA=Z,B=Q二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.)11设函数f(x)在(0,+)内可导,且f(ex)=x+ex,则f(1)=12函数f(x)=Asin(x+),(A,是常数,A0,0)的部分图象如图所示,则f(0)=13设a0,若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=14函数y
4、=cos(2x+)()的图象向右平移个单位后,与函数y=sin(2x+)的图象重合,则=15设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间1,1上,f(x)=其中a,bR若=,则a+3b的值为三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b(1)求角A的大小;(2)若a=4,b+c=8,求ABC的面积17已知函数f(x)=x3+x16(1)求曲线y=f(x)在点(2,6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标18已知函数f(x)=4cos
5、xsin(x+)(0)的最小正周期为(1)求的值;(2)讨论f(x)在区间0,上的单调性19已知函数f(x)=cos(x),xR()求f()的值; ()若cos=,(,2),求f(2+)20设f(x)=x3+x2+2ax(1)若f(x)在(,+)上存在单调递增区间,求a的取值范围(2)当0a2时,f(x)在1,4的最小值为,求f(x)在该区间上的最大值21若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点已知a,b是实数,1和1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点(1)求a和b的值;(2)设函数g(x)的导函数g(x)=f(x)+2,求g(x)的极值
6、点;(3)设h(x)=f(f(x)c,其中c2,2,求函数y=h(x)的零点个数2016-2017学年山东省实验中学高三(上)第二次诊断数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|0log4x1,B=x|x2,则AB=()A(0,1)B(0,2C(1,2)D(1,2【考点】交集及其运算;其他不等式的解法【分析】求出集合A中其他不等式的解集,确定出A,找出A与B的公共部分即可求出交集【解答】解:由A中的不等式变形得:log41log4xlog44,解得:1x4,即A=(1,4),B=
7、(,2,AB=(1,2故选D2命题“对任意xR,都有x20”的否定为()A对任意xR,都有x20B不存在xR,都有x20C存在x0R,使得x020D存在x0R,使得x020【考点】命题的否定;全称命题【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题,写出命题的否定命题即可【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“对任意xR,都有x20”的否定为存在x0R,使得x020故选D3函数y=ln(1x)的定义域为()A(0,1)B0,1)C(0,1D0,1【考点】函数的定义域及其求法【分析】由函数的解析式可直接得到不等式组,解出其解集即为所求的定义域,从而选出正确选项【解答】解:由题意,自变量满足,
8、解得0x1,即函数y=的定义域为0,1)故选B4已知角是第二象限角,且,则cos=()ABCD【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由角的范围和同角三角函数基本关系可得cos=,代值计算可得【解答】解:角是第二象限角,且,cos=,故选:A5已知函数f(x)为奇函数,且当x0时,则f(1)=()A2B0C1D2【考点】函数的值【分析】利用奇函数的性质,f(1)=f(1),即可求得答案【解答】解:函数f(x)为奇函数,x0时,f(x)=x2+,f(1)=f(1)=2,故选A6已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是()AxR,f(x)=0B函数y=f(x)的图象是中心对称
9、图形C若x是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(,x)单调递减D若x是f(x)的极值点,则f(x)=0【考点】函数在某点取得极值的条件;命题的真假判断与应用【分析】利用导数的运算法则得出f(x),分0与0讨论,列出表格,即可得出【解答】解:f(x)=3x2+2ax+b(1)当=4a212b0时,f(x)=0有两解,不妨设为x1x2,列表如下 x(,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)+00+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知:x2是函数f(x)的极小值点,但是f(x)在区间(,x2)不具有单调性,故C不正确+f(x)=+x3+ax2+bx+c=+2c,=,+f
10、(x)=,点P为对称中心,故B正确由表格可知x1,x2分别为极值点,则,故D正确x时,f(x);x+,f(x)+,函数f(x)必然穿过x轴,即xR,f(x)=0,故A正确(2)当0时,故f(x)在R上单调递增,此时不存在极值点,故D正确,C不正确;B同(1)中正确;x时,f(x);x+,f(x)+,函数f(x)必然穿过x轴,即xR,f(x)=0,故A正确综上可知:错误的结论是C由于该题选择错误的,故选:C7“=”是“曲线y=sin(2x+)过坐标原点”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】按照充要条件的定
11、义从两个方面去求曲线y=sin(2x+)过坐标原点,求出的值,=时,曲线y=sin(2x+)过坐标原点【解答】解:=时,曲线y=sin(2x+)=sin2x,过坐标原点但是,曲线y=sin(2x+)过坐标原点,即O(0,0)在图象上,将(0,0)代入解析式整理即得sin=0,=k,kZ,不一定有=故“=”是“曲线y=sin(2x+)过坐标原点”的充分而不必要条件故选A8函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x24x+5的图象的交点个数为()A3B2C1D0【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象,要求函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x24x+5
12、的图象的交点个数,我们画出函数的图象后,利用数形结合思想,易得到答案【解答】解:在同一坐标系下,画出函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x24x+5的图象如图:由图可知,两个函数图象共有2个交点故选B9已知函数f(x)=,若|f(x)|ax,则a的取值范围是()A(,0B(,1C2,1D2,0【考点】其他不等式的解法【分析】由函数图象的变换,结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,由导数求切线斜率可得l的斜率,进而数形结合可得a的范围【解答】解:由题意可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,由图象可知:函数y=ax的图象为过原点的直
13、线,当直线介于l和x轴之间符合题意,直线l为曲线的切线,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x22x,求其导数可得y=2x2,因为x0,故y2,故直线l的斜率为2,故只需直线y=ax的斜率a介于2与0之间即可,即a2,0故选:D10设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足:(i)T=f(x)|xS;(ii)对任意x1,x2S,当x1x2时,恒有f(x1)f(x2),那么称这两个集合“保序同构”,以下集合对不是“保序同构”的是()AA=N*,B=NBA=x|1x3,B=x|x=8或0x10CA=x|0x1,B=RDA=Z,B=Q【考点】函数单调性的
14、判断与证明【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念,对每一个选项中给出的两个集合,利用所学知识,找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数,即B是函数的值域,且函数为定义域上的增函数排除掉是“保序同构”的,即可得到要选择的答案【解答】解:对于A=N*,B=N,存在函数f(x)=x1,xN*,满足:(i)B=f(x)|xA;(ii)对任意x1,x2A,当x1x2时,恒有f(x1)f(x2),所以选项A是“保序同构”;对于A=x|1x3,B=x|x=8或0x10,存在函数,满足:(i)B=f(x)|xA;(ii)对任意x1,x2A,当x1x2时,恒有f(x1)f(x2),所以选项B是“保序同构”
15、;对于A=x|0x1,B=R,存在函数f(x)=tan(),满足:(i)B=f(x)|xA;(ii)对任意x1,x2A,当x1x2时,恒有f(x1)f(x2),所以选项C是“保序同构”;前三个选项中的集合对是“保序同构”,由排除法可知,不是“保序同构”的只有D故选D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.)11设函数f(x)在(0,+)内可导,且f(ex)=x+ex,则f(1)=2【考点】导数的运算;函数的值【分析】由题设知,可先用换元法求出f(x)的解析式,再求出它的导数,从而求出f(1)【解答】解:函数f(x)在(0,+)内可导,且f(ex)=x+ex,令ex=t,则x=lnt,
16、故有f(t)=lnt+t,即f(x)=lnx+x,f(x)=+1,故f(1)=1+1=2故答案为:212函数f(x)=Asin(x+),(A,是常数,A0,0)的部分图象如图所示,则f(0)=【考点】由y=Asin(x+)的部分图象确定其解析式【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,可得函数的解析式,从而求得f(0)的值【解答】解:由函数的图象可得A=, T=,求得=2再根据五点法作图可得2+=,=,故f(x)=sin(2x+),f(0)=sin=,故答案为:13设a0,若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=【考点】定积分在求面积中的应
17、用【分析】利用定积分表示图形的面积,从而可建立方程,由此可求a的值【解答】解:由题意,曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为=,=a2,a=故答案为:14函数y=cos(2x+)()的图象向右平移个单位后,与函数y=sin(2x+)的图象重合,则=【考点】函数y=Asin(x+)的图象变换【分析】根据函数图象平移的公式,可得平移后的图象为y=cos2(x)+的图象,即y=cos(2x+)的图象结合题意得函数y=sin(2x+)=的图象与y=cos(2x+)图象重合,由此结合三角函数的诱导公式即可算出的值【解答】解:函数y=cos(2x+)()的图象向右平移个单位后,得平移后的图象的
18、函数解析式为y=cos2(x)+=cos(2x+),而函数y=sin(2x+)=,由函数y=cos(2x+)()的图象向右平移个单位后,与函数y=sin(2x+)的图象重合,得2x+=,解得:=符合故答案为15设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间1,1上,f(x)=其中a,bR若=,则a+3b的值为10【考点】函数的周期性;分段函数的解析式求法及其图象的作法【分析】由于f(x)是定义在R上且周期为2的函数,由f(x)的表达式可得f()=f()=1a=f()=;再由f(1)=f(1)得2a+b=0,解关于a,b的方程组可得到a,b的值,从而得到答案【解答】解:f(x)是定义在R上且周期
19、为2的函数,f(x)=,f()=f()=1a,f()=;又=,1a=又f(1)=f(1),2a+b=0,由解得a=2,b=4;a+3b=10故答案为:10三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b(1)求角A的大小;(2)若a=4,b+c=8,求ABC的面积【考点】余弦定理;正弦定理【分析】(1)由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式,化简解出sinA=,再由ABC是锐角三角形,即可算出角A的大小;(2)由余弦定理a2=b2+c22bccosA的式子,结合题意化简得b2+c2bc=
20、16,与联解b+c=8得到bc的值,再根据三角形的面积公式加以计算,可得ABC的面积【解答】解:(1)ABC中,根据正弦定理,得,锐角ABC中,sinB0,等式两边约去sinB,得sinA=A是锐角ABC的内角,A=;(2)a=4,A=,由余弦定理a2=b2+c22bccosA,得16=b2+c22bccos,化简得b2+c2bc=16,b+c=8,平方得b2+c2+2bc=64,两式相减,得3bc=48,可得bc=16因此,ABC的面积S=bcsinA=16sin=417已知函数f(x)=x3+x16(1)求曲线y=f(x)在点(2,6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且
21、经过原点,求直线l的方程及切点坐标【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】(1)求出原函数的导函数,得到函数在x=2时的导数,即切线的斜率,然后由直线方程的点斜式得答案;(2)设出切点坐标,求出函数过切点的切线方程,由切线过原点求得切点横坐标,则直线方程与切点坐标可求【解答】解:(1)由f(x)=x3+x16,得f(x)=3x2+1,f(2)=322+1=13,曲线y=f(x)在点(2,6)处的切线方程为y6=13(x2),即13xy20=0;(2)设切点为(),切线方程为,切线经过原点,x0=2则f(2)=13,所求的切线方程为y=13x;切点为(2,26)18已知函数f(x)=4co
22、sxsin(x+)(0)的最小正周期为(1)求的值;(2)讨论f(x)在区间0,上的单调性【考点】两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性【分析】(1)先利用和角公式再通过二倍角公式,将次升角,化为一个角的一个三角函数的形式,通过函数的周期,求实数的值;(2)由于x是0,范围内的角,得到2x+的范围,然后通过正弦函数的单调性求出f(x)在区间0,上的单调性【解答】解:(1)f(x)=4cosxsin(x+)=2sinxcosx+2cos2x=(sin2x+cos2x)+=2sin(2x+)+,所以 T=,=1(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+)+,因为0x,所
23、以2x+,当2x+时,即0x时,f(x)是增函数,当2x+时,即x时,f(x)是减函数,所以f(x)在区间0,上单调增,在区间,上单调减19已知函数f(x)=cos(x),xR()求f()的值; ()若cos=,(,2),求f(2+)【考点】二倍角的正弦;两角和与差的余弦函数【分析】(1)把x=直接代入函数解析式求解(2)先由同角三角函数的基本关系求出sin的值以及sin2,然后将x=2+代入函数解析式,并利用两角和与差公式求得结果【解答】解:(1)(2)因为,所以所以,所以=20设f(x)=x3+x2+2ax(1)若f(x)在(,+)上存在单调递增区间,求a的取值范围(2)当0a2时,f(x
24、)在1,4的最小值为,求f(x)在该区间上的最大值【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值【分析】(1)利用函数递增,导函数大于0恒成立,求出导函数的最大值,使最大值大于0(2)求出导函数的根,判断出根左右两边的导函数的符号,求出端点值的大小,求出最小值,列出方程求出a,求出最大值【解答】解:(1)f(x)=x2+x+2af(x)在存在单调递增区间f(x)0在有解f(x)=x2+x+2a对称轴为递减f(x)f()=+2a,由0+2a,解得a检验a=时,f(x)的增区间为(,),故不成立故a(2)当0a2时,0;f(x)=0得到两个根为;(舍)时,f(x)0;时,f(x)0
25、当x=1时,f(1)=2a+;当x=4时,f(4)=8af(1)当x=4时最小=解得a=1所以当x=时最大为21若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点已知a,b是实数,1和1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点(1)求a和b的值;(2)设函数g(x)的导函数g(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点;(3)设h(x)=f(f(x)c,其中c2,2,求函数y=h(x)的零点个数【考点】函数在某点取得极值的条件;函数的零点【分析】(1)求出 导函数,根据1和1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可(2)由(1)得f(x)=x33x,求出g(x
26、),令g(x)=0,求解讨论即可(3)先分|d|=2和|d|2讨论关于的方程f(x)=d的情况;再考虑函数y=h(x)的零点【解答】解:(1)由 f(x)=x3+ax2+bx,得 f(x)=3x2+2ax+b1和1是函数f(x)的两个极值点,f(1)=32a+b=0,f(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=3 (2)由(1)得,f(x)=x33x,g(x)=f(x)+2=x33x+2=(x1)2(x+2)=0,解得x1=x2=1,x3=2当x2时,g(x)0;当2x1时,g(x)0,2是g(x)的极值点当2x1或x1时,g(x)0,1不是g(x) 的极值点g(x)的极值点是2(3)令f(x
27、)=t,则h(x)=f(t)c 先讨论关于x的方程f(x)=d根的情况,d2,2当|d|=2时,由(2 )可知,f(x)=2的两个不同的根为1和一2,注意到f(x)是奇函数,f(x)=2的两个不同的根为1和2当|d|2时,f(1)d=f(2)d=2d0,f(1)d=f(2)d=2d0,一2,1,1,2 都不是f(x)=d 的根由(1)知,f(x)=3(x+1)(x1)当x(2,+)时,f(x)0,于是f(x)是单调增函数,从而f(x)f(2)=2此时f(x)=d在(2,+)无实根当x(1,2)时,f(x)0,于是f(x)是单调增函数又f(1)d0,f(2)d0,y=f(x)d的图象不间断,f(
28、x)=d在(1,2 )内有唯一实根同理,在(一2,一1)内有唯一实根当x(1,1)时,f(x)0,于是f(x)是单调减函数又f(1)d0,f(1)d0,y=f(x)d的图象不间断,f(x)=d在(一1,1 )内有唯一实根因此,当|d|=2 时,f(x)=d 有两个不同的根 x1,x2,满足|x1|=1,|x2|=2;当|d|2时,f(x)=d 有三个不同的根x3,x4,x5,满足|xi|2,i=3,4,5现考虑函数y=h(x)的零点:( i )当|c|=2时,f(t)=c有两个根t1,t2,满足|t1|=1,|t2|=2而f(x)=t1有三个不同的根,f(x)=t2有两个不同的根,故y=h(x)有5 个零点( i i )当|c|2时,f(t)=c有三个不同的根t3,t4,t5,满足|ti|2,i=3,4,5而f(x)=ti有三个不同的根,故y=h(x)有9个零点综上所述,当|c|=2时,函数y=h(x)有5个零点;当|c|2时,函数y=h(x)有9 个零点2017年1月18日