1、2016-2017学年山东省实验中学高三（上）第二次诊断数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|0log4x1，B=x|x2，则AB=（）A（0，1）B（0，2C（1，2）D（1，22命题“对任意xR，都有x20”的否定为（）A对任意xR，都有x20B不存在xR，都有x20C存在x0R，使得x020D存在x0R，使得x0203函数y=ln（1x）的定义域为（）A（0，1）B0，1）C（0，1D0，14已知角是第二象限角，且，则cos=（）ABCD5已知函数f（x）为奇函数，且当x0时，则f（1）
2、=（）A2B0C1D26已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）AxR，f（x）=0B函数y=f（x）的图象是中心对称图形C若x是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（，x）单调递减D若x是f（x）的极值点，则f（x）=07“=”是“曲线y=sin（2x+）过坐标原点”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x24x+5的图象的交点个数为（）A3B2C1D09已知函数f（x）=，若|f（x）|ax，则a的取值范围是（）A（，0B（，1C2，1D2，010设S，T是R的两个非空子集，如果存
3、在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T=f（x）|xS；（ii）对任意x1，x2S，当x1x2时，恒有f（x1）f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）AA=N*，B=NBA=x|1x3，B=x|x=8或0x10CA=x|0x1，B=RDA=Z，B=Q二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11设函数f（x）在（0，+）内可导，且f（ex）=x+ex，则f（1）=12函数f（x）=Asin（x+），（A，是常数，A0，0）的部分图象如图所示，则f（0）=13设a0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=14函数y
4、=cos（2x+）（）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，则=15设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1上，f（x）=其中a，bR若=，则a+3b的值为三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求ABC的面积17已知函数f（x）=x3+x16（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标18已知函数f（x）=4cos
5、xsin（x+）（0）的最小正周期为（1）求的值；（2）讨论f（x）在区间0，上的单调性19已知函数f（x）=cos（x），xR（）求f（）的值； （）若cos=，（，2），求f（2+）20设f（x）=x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+）上存在单调递增区间，求a的取值范围（2）当0a2时，f（x）在1，4的最小值为，求f（x）在该区间上的最大值21若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点已知a，b是实数，1和1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g（x）=f（x）+2，求g（x）的极值
6、点；（3）设h（x）=f（f（x）c，其中c2，2，求函数y=h（x）的零点个数2016-2017学年山东省实验中学高三（上）第二次诊断数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|0log4x1，B=x|x2，则AB=（）A（0，1）B（0，2C（1，2）D（1，2【考点】交集及其运算；其他不等式的解法【分析】求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集【解答】解：由A中的不等式变形得：log41log4xlog44，解得：1x4，即A=（1，4），B=
7、（，2，AB=（1，2故选D2命题“对任意xR，都有x20”的否定为（）A对任意xR，都有x20B不存在xR，都有x20C存在x0R，使得x020D存在x0R，使得x020【考点】命题的否定；全称命题【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意xR，都有x20”的否定为存在x0R，使得x020故选D3函数y=ln（1x）的定义域为（）A（0，1）B0，1）C（0，1D0，1【考点】函数的定义域及其求法【分析】由函数的解析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项【解答】解：由题意，自变量满足，
8、解得0x1，即函数y=的定义域为0，1）故选B4已知角是第二象限角，且，则cos=（）ABCD【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由角的范围和同角三角函数基本关系可得cos=，代值计算可得【解答】解：角是第二象限角，且，cos=，故选：A5已知函数f（x）为奇函数，且当x0时，则f（1）=（）A2B0C1D2【考点】函数的值【分析】利用奇函数的性质，f（1）=f（1），即可求得答案【解答】解：函数f（x）为奇函数，x0时，f（x）=x2+，f（1）=f（1）=2，故选A6已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）AxR，f（x）=0B函数y=f（x）的图象是中心对称
9、图形C若x是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（，x）单调递减D若x是f（x）的极值点，则f（x）=0【考点】函数在某点取得极值的条件；命题的真假判断与应用【分析】利用导数的运算法则得出f（x），分0与0讨论，列出表格，即可得出【解答】解：f（x）=3x2+2ax+b（1）当=4a212b0时，f（x）=0有两解，不妨设为x1x2，列表如下 x（，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）f（x）+00+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（，x2）不具有单调性，故C不正确+f（x）=+x3+ax2+bx+c=+2c，=，+f
10、（x）=，点P为对称中心，故B正确由表格可知x1，x2分别为极值点，则，故D正确x时，f（x）；x+，f（x）+，函数f（x）必然穿过x轴，即xR，f（x）=0，故A正确（2）当0时，故f（x）在R上单调递增，此时不存在极值点，故D正确，C不正确；B同（1）中正确；x时，f（x）；x+，f（x）+，函数f（x）必然穿过x轴，即xR，f（x）=0，故A正确综上可知：错误的结论是C由于该题选择错误的，故选：C7“=”是“曲线y=sin（2x+）过坐标原点”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】按照充要条件的定
11、义从两个方面去求曲线y=sin（2x+）过坐标原点，求出的值，=时，曲线y=sin（2x+）过坐标原点【解答】解：=时，曲线y=sin（2x+）=sin2x，过坐标原点但是，曲线y=sin（2x+）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，将（0，0）代入解析式整理即得sin=0，=k，kZ，不一定有=故“=”是“曲线y=sin（2x+）过坐标原点”的充分而不必要条件故选A8函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x24x+5的图象的交点个数为（）A3B2C1D0【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x24x+5
12、的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x24x+5的图象如图：由图可知，两个函数图象共有2个交点故选B9已知函数f（x）=，若|f（x）|ax，则a的取值范围是（）A（，0B（，1C2，1D2，0【考点】其他不等式的解法【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直
13、线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x22x，求其导数可得y=2x2，因为x0，故y2，故直线l的斜率为2，故只需直线y=ax的斜率a介于2与0之间即可，即a2，0故选：D10设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T=f（x）|xS；（ii）对任意x1，x2S，当x1x2时，恒有f（x1）f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）AA=N*，B=NBA=x|1x3，B=x|x=8或0x10CA=x|0x1，B=RDA=Z，B=Q【考点】函数单调性的
14、判断与证明【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B是函数的值域，且函数为定义域上的增函数排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案【解答】解：对于A=N*，B=N，存在函数f（x）=x1，xN*，满足：（i）B=f（x）|xA；（ii）对任意x1，x2A，当x1x2时，恒有f（x1）f（x2），所以选项A是“保序同构”；对于A=x|1x3，B=x|x=8或0x10，存在函数，满足：（i）B=f（x）|xA；（ii）对任意x1，x2A，当x1x2时，恒有f（x1）f（x2），所以选项B是“保序同构”
15、；对于A=x|0x1，B=R，存在函数f（x）=tan（），满足：（i）B=f（x）|xA；（ii）对任意x1，x2A，当x1x2时，恒有f（x1）f（x2），所以选项C是“保序同构”；前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D故选D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11设函数f（x）在（0，+）内可导，且f（ex）=x+ex，则f（1）=2【考点】导数的运算；函数的值【分析】由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f（1）【解答】解：函数f（x）在（0，+）内可导，且f（ex）=x+ex，令ex=t，则x=lnt，
16、故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，f（x）=+1，故f（1）=1+1=2故答案为：212函数f（x）=Asin（x+），（A，是常数，A0，0）的部分图象如图所示，则f（0）=【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而求得f（0）的值【解答】解：由函数的图象可得A=， T=，求得=2再根据五点法作图可得2+=，=，故f（x）=sin（2x+），f（0）=sin=，故答案为：13设a0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=【考点】定积分在求面积中的应
17、用【分析】利用定积分表示图形的面积，从而可建立方程，由此可求a的值【解答】解：由题意，曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为=，=a2，a=故答案为：14函数y=cos（2x+）（）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，则=【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据函数图象平移的公式，可得平移后的图象为y=cos2（x）+的图象，即y=cos（2x+）的图象结合题意得函数y=sin（2x+）=的图象与y=cos（2x+）图象重合，由此结合三角函数的诱导公式即可算出的值【解答】解：函数y=cos（2x+）（）的图象向右平移个单位后，得平移后的图象的
18、函数解析式为y=cos2（x）+=cos（2x+），而函数y=sin（2x+）=，由函数y=cos（2x+）（）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，得2x+=，解得：=符合故答案为15设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1上，f（x）=其中a，bR若=，则a+3b的值为10【考点】函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法【分析】由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数，由f（x）的表达式可得f（）=f（）=1a=f（）=；再由f（1）=f（1）得2a+b=0，解关于a，b的方程组可得到a，b的值，从而得到答案【解答】解：f（x）是定义在R上且周期
19、为2的函数，f（x）=，f（）=f（）=1a，f（）=；又=，1a=又f（1）=f（1），2a+b=0，由解得a=2，b=4；a+3b=10故答案为：10三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式，化简解出sinA=，再由ABC是锐角三角形，即可算出角A的大小；（2）由余弦定理a2=b2+c22bccosA的式子，结合题意化简得b2+c2bc=
20、16，与联解b+c=8得到bc的值，再根据三角形的面积公式加以计算，可得ABC的面积【解答】解：（1）ABC中，根据正弦定理，得，锐角ABC中，sinB0，等式两边约去sinB，得sinA=A是锐角ABC的内角，A=；（2）a=4，A=，由余弦定理a2=b2+c22bccosA，得16=b2+c22bccos，化简得b2+c2bc=16，b+c=8，平方得b2+c2+2bc=64，两式相减，得3bc=48，可得bc=16因此，ABC的面积S=bcsinA=16sin=417已知函数f（x）=x3+x16（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且
21、经过原点，求直线l的方程及切点坐标【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=2时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求【解答】解：（1）由f（x）=x3+x16，得f（x）=3x2+1，f（2）=322+1=13，曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程为y6=13（x2），即13xy20=0；（2）设切点为（），切线方程为，切线经过原点，x0=2则f（2）=13，所求的切线方程为y=13x；切点为（2，26）18已知函数f（x）=4co
22、sxsin（x+）（0）的最小正周期为（1）求的值；（2）讨论f（x）在区间0，上的单调性【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性【分析】（1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数的值；（2）由于x是0，范围内的角，得到2x+的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f（x）在区间0，上的单调性【解答】解：（1）f（x）=4cosxsin（x+）=2sinxcosx+2cos2x=（sin2x+cos2x）+=2sin（2x+）+，所以 T=，=1（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）+，因为0x，所
23、以2x+，当2x+时，即0x时，f（x）是增函数，当2x+时，即x时，f（x）是减函数，所以f（x）在区间0，上单调增，在区间，上单调减19已知函数f（x）=cos（x），xR（）求f（）的值； （）若cos=，（，2），求f（2+）【考点】二倍角的正弦；两角和与差的余弦函数【分析】（1）把x=直接代入函数解析式求解（2）先由同角三角函数的基本关系求出sin的值以及sin2，然后将x=2+代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果【解答】解：（1）（2）因为，所以所以，所以=20设f（x）=x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+）上存在单调递增区间，求a的取值范围（2）当0a2时，f（x
24、）在1，4的最小值为，求f（x）在该区间上的最大值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0（2）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值【解答】解：（1）f（x）=x2+x+2af（x）在存在单调递增区间f（x）0在有解f（x）=x2+x+2a对称轴为递减f（x）f（）=+2a，由0+2a，解得a检验a=时，f（x）的增区间为（，），故不成立故a（2）当0a2时，0；f（x）=0得到两个根为；（舍）时，f（x）0；时，f（x）0
25、当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8af（1）当x=4时最小=解得a=1所以当x=时最大为21若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点已知a，b是实数，1和1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x）c，其中c2，2，求函数y=h（x）的零点个数【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的零点【分析】（1）求出 导函数，根据1和1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可（2）由（1）得f（x）=x33x，求出g（x
26、），令g（x）=0，求解讨论即可（3）先分|d|=2和|d|2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点【解答】解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx，得 f（x）=3x2+2ax+b1和1是函数f（x）的两个极值点，f（1）=32a+b=0，f（1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=3 （2）由（1）得，f（x）=x33x，g（x）=f（x）+2=x33x+2=（x1）2（x+2）=0，解得x1=x2=1，x3=2当x2时，g（x）0；当2x1时，g（x）0，2是g（x）的极值点当2x1或x1时，g（x）0，1不是g（x） 的极值点g（x）的极值点是2（3）令f（x
27、）=t，则h（x）=f（t）c 先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d2，2当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数，f（x）=2的两个不同的根为1和2当|d|2时，f（1）d=f（2）d=2d0，f（1）d=f（2）d=2d0，一2，1，1，2 都不是f（x）=d 的根由（1）知，f（x）=3（x+1）（x1）当x（2，+）时，f（x）0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）f（2）=2此时f（x）=d在（2，+）无实根当x（1，2）时，f（x）0，于是f（x）是单调增函数又f（1）d0，f（2）d0，y=f（x）d的图象不间断，f（
28、x）=d在（1，2 ）内有唯一实根同理，在（一2，一1）内有唯一实根当x（1，1）时，f（x）0，于是f（x）是单调减函数又f（1）d0，f（1）d0，y=f（x）d的图象不间断，f（x）=d在（一1，1 ）内有唯一实根因此，当|d|=2 时，f（x）=d 有两个不同的根 x1，x2，满足|x1|=1，|x2|=2；当|d|2时，f（x）=d 有三个不同的根x3，x4，x5，满足|xi|2，i=3，4，5现考虑函数y=h（x）的零点：（ i ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5 个零点（ i i ）当|c|2时，f（t）=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足|ti|2，i=3，4，5而f（x）=ti有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|2时，函数y=h（x）有9 个零点2017年1月18日