1、山东省威海荣成市2020届高三数学上学期期中试题（含解析）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分考试时间120分钟，共150分第卷（选择题 共52分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分在每小题给出的四个选项中，第110题只有一项是符合题目要求，第1113题有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分1. 已知集合，则的子集共有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】【分析】先由已知条件求出集合，再求的子
2、集即可知子集个数.【详解】因为或且，所以所以的子集共有个.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算以及集合子集的个数，涉及求函数的定义域，属于基础题.2. 已知命题：，若为假命题，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先以命题为真命题求得实数的取值范围，再根据题意求补集即可得答案.【详解】解：当命题为真命题时，等价于 所以有 所以当为假命题时，实数的取值范围是：故选：A.【点睛】本题考查根据命题的真假求参数范围，是基础题.3. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据已知条件计算，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案.【
3、详解】解：根据题意得：，所以，解得.故选：B.【点睛】本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题.4. 点从出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点，则点的坐标（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】单位圆的周长为，由题意，可得到的大小，然后求出点的坐标，得到结果.【详解】如图设,点从出发，沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达点， 由单位圆的周长为，所以.由单位圆的半径为1，所以，即即，所以Q点坐标为故选：C. 【点睛】该题考查的是有关单位圆上点的坐标的求解问题，涉及到的知识点有弧长公式，注意转动的方向，明确角的大小之后，点的坐标显而易见，属于基础题目.5.
4、 已知函数对任意，都有，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，由赋值法，先求出；，；记，得到数列是以为首项，以为公比的等比数列，求出通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.【详解】因为函数对任意，都有，且，令，则，所以；令，则，所以，；记，则，即数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，；所以.故选：D.【点睛】本题主要考查求等比数列的前项和，涉及赋值法求函数值，属于跨章节综合题.6. 设为第二象限角，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将展开可得的值，再由同角三角函数基本关系结合为第二象限角，可的值，即可得答案.【详解】,即可得
5、：，解得：由可得：所以.故选：A【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，以及同角三角函数基本关系，属于基础题7. 已知函数，若正实数满足，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数，知是奇函数，又因为正实数，满足，所以，利用基本不等式求得结果【详解】解：由函数，设，知，所以是奇函数，则，又因为正实数，满足，所以，当且仅当，时取到等号故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性，基本不等式应用，属于简单题8. 物理学规定音量大小的单位是分贝（），对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：(其中是人耳能听到声音的最低声波强度).我们人类生活在一个充满声音的世界中
6、，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于与之间，则声音的声波强度是声音的声波强度的（ ）A. 倍B. 倍C. 倍D. 倍【答案】C【解析】【分析】先根据得，再将和代入得计算即可得答案.【详解】解：因为音量大小与强度为的声波的关系为，所以，所以，所以，故选：C.【点睛】本题以物理知识为背景，考查指对数的互化，运算等，是中档题.9. 已知函数，若恰有个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】恰有个零点，即函数的 图像与的图像有三个交点，先求出与函数相切时的值，然后数形结合得出答案.【详解】由恰有个零点，即方程恰有个实数根.即函数的 图像与的图像
7、有三个交点，如图.与函数的 图像恒有一个交点，即函数与有两个交点.设与函数相切于点，由所以，得，所以切点为，此时，切线方程为将向下平移可得与恒有两个交点，所以故选：D【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数范围，考查数形结合的思想应用，属于中档题.10. 已知函数定义域为，且满足下列三个条件：任意，都有；为偶函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】由可得在单调递增，由可得周期为，由可得函数对称轴是，结合以上性质既可以比较的大小关系.【详解】由对任意，都有，可得单调递增，由，可得，所以即函数周期为由为偶函数，可得函数对称轴是，所以，因为在单调递增，且，所以故选：B【点睛】本题
8、主要考查了抽象函数的应用，涉及函数的单调性，周期性和对称性，属于中档题.11. 下列命题正确的是（ ）A. 若角（），则B. 任意的向量，若，则C. 已知数列的前项和（为常数），则为等差数列的充要条件是D. 函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图像关于直线对称【答案】BC【解析】【分析】对于A选项：当时，当时，代入可判断A；对于B选项：设的夹角为，则，由向量的数量积的定义可判断B；对于C：验证必要性和充分性两个方面，可判断C；对于D选项：取函数，满足，求得函数的对称轴，可判断D.【详解】对于A选项：当时，当时，不满足，故A不正确；对于B选项：设的夹角为，则，所以，所以或，所以，故B正确；对
9、于C：验证必要性：当n=1时，；当n2时，；由于，所以当n2时，是公差为2a等差数列.要使是等差数列，则，解得c= 0.即an 是等差数列的必要条件是：c= 0.验证充分性：当c=0时，.当n=1时，；当n2时，显然当n=1时也满足上式，所以，进而可得，所以是等差数列.所以为等差数列的充要条件是成立，故C正确；对于D选项：设函数，满足其定义域为，且对任意，都有，满足，而，则函数的图像关于直线对称，故D不正确，故选：BC.【点睛】本题综合考查正弦函数与余弦函数的性质，向量的数量积的定义，等差数列的定义，抽象函数的对称性，属于中档题.12. 设是各项均为正数的数列，以，为直角边长的直角三角形面积记
10、为，则为等比数列的充分条件是（ ）A. 是等比数列B. ， ，或 ， ，是等比数列C. ， ，和 ，均是等比数列D. ， ，和 ， ，均是等比数列，且公比相同【答案】AD【解析】【分析】根据为等比数列等价于为常数，从而可得正确的选项.【详解】为等比数列等价于为常数，也就是等价于即为常数.对于A，因为是等比数列，故（为的公比）为常数，故A满足；对于B，取，此时满足， ，是等比数列， ，不是等比数列，不是常数，故B错.对于C，取，此时满足， ，是等比数列， ，是等比数列，两者不相等，故C错.对于D，根据条件可得为常数.故选：AD.【点睛】本题考查等比数列的判断，此类问题应根据定义来处理，本题属于基
11、础题.13. 已知函数的最小正周期为，且其图像向左平移个单位得到函数的图像，则（ ）A. B. 在有且仅有个解C. 在 单调递增D. 在有且仅有个极值点【答案】ABD【解析】【分析】由周期可以求的值，由平移变换可以求的值，即得解析式，然后利用三角函数图象与性质逐一检验四个选项正误即可.【详解】因为的最小正周期为，所以 ，即，其图像向左平移个单位得所以，即,解得：，又，令，得 ，所以，对于选项A：显然正确；对于选项B：，展开得 ，所以 ，即 ，因为，所以 ，仅有个解，故选项B正确.对于选项C：因为，所以 ，显然在 不单调，故选项C错误.对于选项D：的极值点，即为取得对称轴的位置，令，可得：，因为
12、，所以 ，共有个极值点，显然正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质，属于中档题.第卷（非选择题 共98分）注意事项：请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第卷答题纸的指定位置在试题卷上答题无效二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分14. 在等差数列中，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据等差数列的性质可得的值.【详解】因为，故，故答案为：8.【点睛】本题考查等差数列的性质，关于等差数列的处理方法，一般有两类方法：（1）基本量法，即把问题归结为首项和公差的问题；（2）利用等差数列的性质来处理，本题属于基础题.15. 化简： _.【答案】1
13、【解析】原式)(.故答案为 【点睛】本题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.16. 已知函数在单调递增，则实数的取值范围_.【答案】【解析】【分析】把函数在单调递增，即在恒成立，进入得到在恒成立，令，结合换元法和导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数，则，因为函数在单调递增，即在恒成立，即在恒成立，令，令，则，可得，可得函数在上为单调递减函数，所以，所以，解得，即实数的取值范围.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解参数的取值范围问题，其中解答中因为函数在单调递增，转化为在恒成立，结合分离参数法，结合新函数的单调性与最值求解是解答的关
14、键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.17. 九章算术第九章“勾股”问题二十：今有邑方（正方形小城）不知大小，各中开门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何（小城的边长）.根据描述如图所示，其中点代表北门，处是木，点代表南门（，分别是所在边中点），则邑方边长为_步.【答案】【解析】【分析】正方形边长为，则由三角形相似可得，从而可求正方形的边长.【详解】由题设可知，设正方形边长，则，整理得到，解得或（舍），故答案为：250.【点睛】本题考查数学文化，注意读懂题意，弄清楚“见木”的意义（即共线），本题属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，共
15、82分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，在山脚测得山顶的仰角为，从处沿斜坡向上走米到达处，在处测得山顶的仰角为，且斜坡的倾斜角.求证：山高.【答案】证明见解析.【解析】【分析】已知仰角为，的倾斜角，在处测得山顶的仰角为，用正弦定理可计算出高度.【详解】由题意可知，分别在，中， 所以， 又， 在中，由正弦定理可得， 即， ，在中，. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，涉及正弦定理，锐角三角函数的定义，以及直角三角形的边角关系，属于中档题19. 已知各项均为正数的数列前项和为，且 .（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）由和题设条件
16、，化简得到，得到表示首项为1，公差为1的等差数列，求得，进而求得数列的通项公式；（）由（），化简得，结合“裂项法”，即可求得数列的前项和.【详解】（）因为且，所以， 即，又因为各项均为正数的数列前项和为，所以，所以，又由，所以，所以数列表示首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以，当时， 当时也满足， 综上可得，数列的通项公式为. （）由（）可得，所以数列的前项和.【点睛】本题主要考查了数列的通项公式与的关系求解数列的通项公式，以及数列的“裂项法”求和的应用，其中解答中熟练与的关系，以及合理利用裂项法求和是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20. 在中，角所对的边分别为，为钝角，且.（）求证
17、：；（）若，求边.【答案】（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（）根据正弦定理和两角和的正弦可把题设中的边角关系化简为，结合为钝角可证.（）根据正弦定理和可得，从该方程可求，结合余弦定理可得边的长.【详解】解：（）因为 ，由正弦定理得， . 因为，所以，代入式得，；化简得，因为，故， 又， 所以.因为为钝角，所以为锐角，所以为钝角因为在单调递减，所以，即. （）由正弦定理可知， ， 因为，得， 所以，整理得， ，为锐角，所以， 由余弦定理可知，.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦以及诱导公式，遇到三角形中的边角关系时，可根据正弦定理或余弦定理把边角关系转化为边的关系或角的关系，
18、另外三角形中有三角三边，注意知三求三，本题属于中档题.21. 某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成.已知圆的半径为千米，到的距离为千米.现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域为矩形，养殖区域为，且均在圆弧上，均在线段上，设.（）用分别表示矩形和的面积，并确定的范围；（）根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在内养殖鱼类，在内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为.求当为何值时，能使年总产值最大.【答案】（）矩形：；：，；（）.【解析】分析】（）利用解三角形可求出矩形的边长以及的底边边上的高，从而两者的面积，过
19、作交圆弧于点，连接，则可得.（）设鱼类与贝类单位面积的年产值分别为，根据（）中的结果集合三角变换可得，利用导数可得当时总产值最大.【详解】解：（）设矩形和的面积分别为，由题意可得，矩形的边长分别为， ，所以，等腰三角形的底与高分别为， 所以， 过作交圆弧于点，连接，设，易得 因为均在线段上，所以 ，所以，即.（）因为鱼类与贝类单位面积的年产值比为，所以设鱼类与贝类单位面积的年产值分别为，则年总产值为 设，且，得，因为，所以， 当，在单调递增；当，在单调递减. 所以，能使年总产值最大.【点睛】本题考查导数的实际应用，注意根据图形合理构建数学模型，根据函数的特征选择导数来研究目标函数的最值，本题属
20、于中档题.22. 将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表： 其中，且表中的第一列数构成等差数列，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数.表中每一行正中间的项构成的数列记为.（I）求的前项和；（II）记集合，若的元素个数为，求实数的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（1）先根据题意得第行的第项为，再用错位相减法求和即可得答案；（2）设，则，当时，再根据题意得，即.【详解】解：（）第一列构成的等差数列公差为，所以所以第行的第项为，由此可知第行的第项，又为第行的第项，所以每行的公比. 由题意可知，第行共有项，且为第行的中间项，所以为第行
21、的第项，得. 式各项乘以得， -式得， （） 设， 所以，当时， ，即，当时，因为集合的元素个数为，所以，即，.【点睛】本题考查等差等比数列的通项公式的求解，错位相减法求和，数列单调性求参数，考查分析问题解决问题的能力，考查运算能力，是中档题.23. 已知函数.（I）讨论的单调性；（II）若有两个零点、，且.证明：（i）；（ii）.【答案】（）答案见解析；（）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（I）求得函数的定义域和导数，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和单调递减区间；（II）（i）由函数由两个零点可求得，然后利用零点存在定理可证得
22、；（ii）利用分析法得出要证，即证，由，得，进而需证明，然后构造函数，利用导数证明出，由此可证得结论成立.【详解】（）函数的定义域为，且.当时，函数在上单调递减；当时，令，可得；令，可得.此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（）证明：（i）当时，函数单调递减，此时，函数至多一个零点，所以要使得函数有两个零点、，一定有且，即 ，解得，则，即，因为函数的单调递减区间为，单调递增区间为，且，则，又因为，所以；（ii）因为，则，要证，即证，因为函数在单调递减，即证，又，即证，因为，得， 所以，令，所以函数在单调递增，又，所以，即， 所以，综上可知，.【点睛】本题考查利用导数求解含参函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
