1、第17讲 与圆有关的位置关系（一）知识要点梳理：一、 点与圆的位置关系及判定：设O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：点P在圆外dr 点P在圆上d=r 点P在圆内dr二、不在同一直线上的三个点确定一个圆 也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心三、直线与圆的位置关系及判定：设O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，直线L和O相交dr，如图（c）所示四、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线五、切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径 六、切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两
2、条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角经典例题：例1如图，PA，PB分别为O的切线，AC为直径，切点分别为A、B，P=70，则C= 例2如图，已知RtABC的斜边AB=8cm，AC=4cm （1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与C相切？为什么？（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？例3如图，AB为O的直径，C是O上一点，D在AB的延长线上，且DCB=A （1）CD与O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由（2）若CD与O相切，且D=30，BD=10，求O的半径例4.如图：是O的直径，是
3、弦，延长到点， 使得(1)求证：是O的切线；(2)若，求的长例5.如图，在中，是上一点，以为圆心，为半径的圆与交于点，与切于点D，AD=2，AE=1，求。(提示：设半径列方程)例6、如下图，A城气象台测得台风中心在城正西方向320千米的B处，并以每小时40千米的速度向北偏东60的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域(1)A城是否会受到这次台风的影响?为什么?(2)若A城受到这次台风的影响，试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长? 经典练习：一、选择题 1下列说法：三点确定一个圆；三角形有且只有一个外接圆；圆有且只有一个内接三角形；三角形的外心是各边垂直平分线的交点；三角形
4、的外心到三角形三边的距离相等；等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（ ） A1 B2 C3 D4 2如图，RtABC，C=90，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ）A2.5 B2.5cm C3cm D4cm3如图，ABC内接于O，AB是直径，BC=4，AC=3，CD平分ACB，则弦AD长为（ ） A B C D34如图，AB与O切于点C，OA=OB，若O的直径为8cm，AB=10cm，那么OA的长是（ ）A B5下列说法正确的是（ ） A与圆有公共点的直线是圆的切线 B和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线; C垂直于圆的半径的直线是圆的切线; D过圆的
5、半径的外端的直线是圆的切线6已知O分别与ABC的BC边，AB的延长线，AC的延长线相切，则BOC等于（ ） A（B+C） B90+A C90-A D180-A 7.平面直角坐标系中，点A（3，4），以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=x的位置关系是（ ） A相离 B相切 C相交 D以上都有可能8如图，已知PA切O于A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60到OD，则PD的长为（ ） A B C D2二、填空题1如图，AB为O直径，BD切O于B点，弦AC的延长线与BD交于D点，若AB=10，AC=8，则DC长为_2如图，P为O外一点，PA、PB为O的切线，A、B为切点，弦
6、AB与PO交于C，O半径为1，PO=2，则PA=_，PB=_，PC=_AC=_，BC=_AOB=_3如图，设I是ABC的内心，O是ABC的外心，A=80，则BIC=_，BOC=_4如图，M与x轴相交于点A（2，0），B（8，0），与y轴相切于点C，则圆心M的坐标是_三、解答题1如图，O是ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连结BD，并延长至E，连结AD，若AB=AC，ADE=65，试求BOC的度数2如图，以的直角边为直径的半圆，与斜边交于，是边上的中点，连结. （1）与半圆相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；（2）若、的长是方程的两个根，求直角边的长。3如图，AB是半圆O的直径，弦
7、AC与AB成30角，且AC=CD （1）求证：CD是O的切线；（2）若OA=2，求AC的长4.已知AB是O的直径，BC是O的切线，切点为B，OC平行于弦AD求证：DC是O的切线四、综合提高题1.如图23-4，梯形ABCD中，ABDC，AD=BC，以AD为直径的交AB于E，O的切线EF交BC于F，求证：(1)；（2）。2.如图,已知:D交y轴于A、B,交x轴于C,过点C的直线: 与y轴交于点P. (1)试判断PC与D的位置关系. (2)判断在直线PC上是否存在点E,使得,若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.3. （烟台）如图，AB，BC分别是O的直径和弦，点D为上一点，弦DE交O于点E
8、，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于H，且HC=HG，连接BH，交O于点M，连接MD，ME.(1)求证：DEAB(2)求证：6=7+8课后巩固：1经过一点P可以作_个圆；经过两点P、Q可以作_个圆，圆心在_上；经过不在同一直线上的三个点可以作_个圆， 圆心是_的交点2边长为a的等边三角形外接圆半径为_，圆心到边的距离为_3直角三角形的外心是_的中点，锐角三角形外心在三角形_，钝角三角形外心在三角形 4ABC中，AB=1，AC、BC是关于x的一元二次方程（m+5）x2-（2m-5）x+12=0两个根，外接圆O的面积为，求m的值5如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，DBC=A
9、 （1）求证：BC是半圆O的切线；（2）若OCAD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长6.（广州）24.如图，是ABC的外接圆，AC是直径，过点O作线段ODAB于点D，延长DO交于点P，过点P作PEAC于点E，作射线DE交BC的延长线于点F，连接PF。（1）若POC=60，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留）（2）求证：OD=OE； （3）求证：PF是的切线。备用题（点与圆的位置）1.在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，5为半径作O，已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，4），B（3，3），C（4，）。试判断A、B、C三点与O的位置关系。2.一个已知点到圆周上的点的最大距离为，
10、最小距离为，则此圆的半径为_切线的证明1.如图，中，是的中点，以为圆心的圆与相切于点。求证：是O的切线。2.如图，已知是的直径，为的切线，切点为，平行于弦， 。（1）求证：是O的切线；（2）求的值；（3）若，求CD的长。能力提高如图，为O的直径，是O外一点，交O于点，过点作O的切线，交于点，作于点，交于点。（1）求证：是O的切线；（2）。2.如图，割线与O相交于、两点，为O上一点，为的中点，交于，交于，。（1）求证：是O的切线；（2）如果，求O的半径。（相似三角形）3.如图，已知中， （定值），O的圆心在上，并分别与、相切于点、。（1）求；（2）设是延长线上的一个动点，与O相切于点，点在的延长线上，试判断的大小是否保持不变，并说明理由。4.如图，是半O的直径，点是半径的中点，点在线段上运动（不与点重合），点在半O上运动，且总保持，过点作O的切线交的延长线于点。（1）当时，请你对的形状做出猜想，并给予证明；（2）当时，的形状是 三角形；（3）则（1）（2）得出的结论，请进一步猜想，当点在线段上运动到任何位置时， 一定是 三角形。第 5 页
