1、2011学年嘉定区高三年级第三次模试考试数学试卷(理科)(2012年5月14日)题号一二三总分11415181920212223得 分考生注意:本试卷共23题,满分150分,考试时间120分钟一填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分1设集合,则_2设、,为虚数单位,若,则复数的模为_3函数的最小正周期为_4函数()的反函数_5系数矩阵为,解为的一个线性方程组是_6已知向量,若,则实数的值为_7若圆锥的底面积为,体积为,则该圆锥的侧面积为_8设数列是等差数列,若和是方程的两根,则的前项的和_9在直角坐标系中,直线的参数方程是(为参数),
2、以的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为,则圆上的点到直线距离的最大值是_10执行如下图所示的程序框图,那么输出的值为_开始输出结束是否11已知等比数列的首项,公比为(),为的前项和,则_12已知随机变量的分布律如下表所示:若,则_13已知函数,点(),过点作直线交的图像于点记(),化简求和式_14设,函数在区间上递减,且在上的值域为,则函数在上的单调递增区间是_二选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且仅有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得5分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),
3、一律得零分15“”是“”的( )A充分非必要条件 B必要非充分条件C充分必要条件 D既非充分又非必要条件16已知双曲线()的左、右焦点分别为、,其一条渐近线方程为,点在该双曲线上,则与的夹角大小为( )A B C D17设,则下列各式中正确的是( )A BC D18已知,若对任意,总存在,使得成立,则实数的取值范围是( )A B C D三解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要的步骤19(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分ABC1CB1A1如图,在直三棱柱中,且,直线与平面所成角的大小为(1)求三棱锥的体积;(2)求点到平面的距离解:
4、(1)(2)20(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分OABCMNxy如图,在平面直角坐标系中,、分别是椭圆的顶点过坐标原点的直线交椭圆于、两点,其中在第一象限过点作轴的垂线,垂足为设直线的斜率为(1)若直线平分线段,求的值;(2)当时,求点到直线的距离解:(1)(2)21(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分如图,设、是单位圆上的动点,且、分别在第一、二象限是圆与轴正半轴的交点,为等边三角形记以轴正半轴为始边,射线为终边的角为OxyABC(1)若点的坐标为,求的值;(2)设,求函数的解析式和值域解:(1)(2)22(本题满分16
5、分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分已知函数(、是非零实常数)满足,且方程有且仅有一个实数解(1)求、的值;(2)在直角坐标系中,求定点到函数图像上任意一点的距离的最小值; (3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围解:(1)(2)(3)23(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)已知数列的各项均为正数,其前项的和为,满足(),其中为正常数,且(1)求数列的通项公式;(2)是否存在正整数,使得当时,恒成立?若存在,求出使结论成立的的取值范围和相应的的最小值;若不存在,请说明理由;(3)若,设数列对任意,都有
6、,问数列是不是等差数列?若是,请求出其通项公式;若不是,请说明理由解:(1)(2)(3)2011学年嘉定区高三年级第三次模试考试数学试卷(理科)参考答案与评分标准一填空题(每小题4分,满分56分)1;2;3;4();5;6或;7;8;9;10;11 ;12;13;14(或或)二选择题(每小题5分,满分20分)15B;16C;17D;18C三解答题19(第1小题6分,第2小题6分,满分12分)(1)解法一:由,得平面,所以就是直线与平面所成角(2分)设,则,由已知,即,解得,即(4分)所以,(5分)所以三棱锥的体积为(6分)解法二:以为原点,射线、分别为轴、轴、轴正半轴,建立空间直角坐标系则,设
7、,则,(2分)由,得平面,所以,平面的一个法向量为,由题意,即即,解得,即(4分)ABC1CB1A1zxy所以,(5分)所以三棱锥的体积为(6分)(2)解法一:以为原点,射线、分别为轴、轴、轴正半轴,建立空间直角坐标系(7分)则,所以,(8分)设平面的一个法向量为,由 得 (9分)所以,取,则(10分)又,所以点到平面的距离(12分)解法二:,(8分)设点到平面的距离为,则,(9分)因为,所以,解得所以点到平面的距离为(12分)20(第1小题6分,第2小题8分,满分14分)(1)由题设知,故,所以线段中点的坐标为(3分)由于直线平分线段,故直线过线段的中点,又直线过坐标原点,所以(6分)(2)
8、当时,直线的方程为,由解得,(8分)从而点的坐标是,点的坐标为,(10分)于是点的坐标为(11分)所以直线的方程为(12分)所以点到直线的距离为(14分)21(第1小题6分,第2小题8分,满分14分)(1)因为点的坐标为,故,(3分)所以(6分)(2)因为以为终边的角是,且为等边三角形,所以以为终边的角为,所以点的坐标是,(8分)而所以(10分)因为点、分别在第一、二象限,所以, 所以,(11分)所以的值域为,所以(13分)因此函数,的值域是(14分)22(第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分,满分16分)(1)由,得,(1分)又一定是方程的解,所以方程无解,或解为(2分)若无解,则(舍去
9、);若解为,则,所以,(4分)(若化为一元二次方程讨论,得出正确结论也可)(2)由(1),(6分)令,则, (8分)所以,当,即时,取最小值 (10分)(3)因为,所以当时,不等式恒成立,可化为不等式恒成立(12分)当,即时,原命题等价于恒成立,因为,所以,从而得(13分)当,即时,不等式不成立(14分)当,即时,原命题等价于,因为,所以(舍)(15分)所以的取值范围是(16分)(3)的另一解法,把不等式看作关于的一次不等式,则有从中解出23(第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分,满分18分)(1)由题设知,解得(1分)由两式作差得,即,(2分)所以,数列是首项为,公比为的等比数列,(3分)所以()(4分)(2),(5分)而,由题意, (6分)所以, 当时,则,即,解得(舍去);(7分) 当时,则,即,解得或(舍去)此时存在满足题意的(8分)综上,当时,存在的最小值为,使恒成立(10分)(3)令,则,因为,所以(11分)因为 所以 () (13分)因为的公比,所以在的两边同乘以得,() (15分)减去得,所以(),(17分)因为,所以是等差数列,其通项公式为(18分)