1、2011学年嘉定区高三年级第三次模试考试数学试卷（理科）(2012年5月14日)题号一二三总分11415181920212223得 分考生注意：本试卷共23题，满分150分，考试时间120分钟一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1设集合，则_2设、，为虚数单位，若，则复数的模为_3函数的最小正周期为_4函数（）的反函数_5系数矩阵为，解为的一个线性方程组是_6已知向量，若，则实数的值为_7若圆锥的底面积为，体积为，则该圆锥的侧面积为_8设数列是等差数列，若和是方程的两根，则的前项的和_9在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），
2、以的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，则圆上的点到直线距离的最大值是_10执行如下图所示的程序框图，那么输出的值为_开始输出结束是否11已知等比数列的首项，公比为（），为的前项和，则_12已知随机变量的分布律如下表所示：若，则_13已知函数，点（），过点作直线交的图像于点记（），化简求和式_14设，函数在区间上递减，且在上的值域为，则函数在上的单调递增区间是_二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），
3、一律得零分15“”是“”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充分必要条件 D既非充分又非必要条件16已知双曲线（）的左、右焦点分别为、，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则与的夹角大小为（ ）A B C D17设，则下列各式中正确的是（ ）A BC D18已知，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分ABC1CB1A1如图，在直三棱柱中，且，直线与平面所成角的大小为（1）求三棱锥的体积；（2）求点到平面的距离解：
4、（1）（2）20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分OABCMNxy如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点过坐标原点的直线交椭圆于、两点，其中在第一象限过点作轴的垂线，垂足为设直线的斜率为（1）若直线平分线段，求的值；（2）当时，求点到直线的距离解：（1）（2）21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，设、是单位圆上的动点，且、分别在第一、二象限是圆与轴正半轴的交点，为等边三角形记以轴正半轴为始边，射线为终边的角为OxyABC（1）若点的坐标为，求的值；（2）设，求函数的解析式和值域解：（1）（2）22（本题满分16
5、分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知函数（、是非零实常数）满足，且方程有且仅有一个实数解（1）求、的值；（2）在直角坐标系中，求定点到函数图像上任意一点的距离的最小值； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围解：（1）（2）（3）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列的各项均为正数，其前项的和为，满足（），其中为正常数，且（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得当时，恒成立？若存在，求出使结论成立的的取值范围和相应的的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若，设数列对任意，都有
6、，问数列是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由解：（1）（2）（3）2011学年嘉定区高三年级第三次模试考试数学试卷（理科）参考答案与评分标准一填空题（每小题4分，满分56分）1；2；3；4（）；5；6或；7；8；9；10；11 ；12；13；14（或或）二选择题（每小题5分，满分20分）15B；16C；17D；18C三解答题19（第1小题6分，第2小题6分，满分12分）（1）解法一：由，得平面，所以就是直线与平面所成角（2分）设，则，由已知，即，解得，即（4分）所以，（5分）所以三棱锥的体积为（6分）解法二：以为原点，射线、分别为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标系则，设
7、，则，（2分）由，得平面，所以，平面的一个法向量为，由题意，即即，解得，即（4分）ABC1CB1A1zxy所以，（5分）所以三棱锥的体积为（6分）（2）解法一：以为原点，射线、分别为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标系（7分）则，所以，（8分）设平面的一个法向量为，由 得 （9分）所以，取，则（10分）又，所以点到平面的距离（12分）解法二：，（8分）设点到平面的距离为，则，（9分）因为，所以，解得所以点到平面的距离为（12分）20（第1小题6分，第2小题8分，满分14分）（1）由题设知，故，所以线段中点的坐标为（3分）由于直线平分线段，故直线过线段的中点，又直线过坐标原点，所以（6分）（2）
8、当时，直线的方程为，由解得，（8分）从而点的坐标是，点的坐标为，（10分）于是点的坐标为（11分）所以直线的方程为（12分）所以点到直线的距离为（14分）21（第1小题6分，第2小题8分，满分14分）（1）因为点的坐标为，故，（3分）所以（6分）（2）因为以为终边的角是，且为等边三角形，所以以为终边的角为，所以点的坐标是，（8分）而所以（10分）因为点、分别在第一、二象限，所以， 所以，（11分）所以的值域为，所以（13分）因此函数，的值域是（14分）22（第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，满分16分）（1）由，得，（1分）又一定是方程的解，所以方程无解，或解为（2分）若无解，则（舍去
9、）；若解为，则，所以，（4分）（若化为一元二次方程讨论，得出正确结论也可）（2）由（1），（6分）令，则， （8分）所以，当，即时，取最小值 （10分）（3）因为，所以当时，不等式恒成立，可化为不等式恒成立（12分）当，即时，原命题等价于恒成立，因为，所以，从而得（13分）当，即时，不等式不成立（14分）当，即时，原命题等价于，因为，所以（舍）（15分）所以的取值范围是（16分）（3）的另一解法，把不等式看作关于的一次不等式，则有从中解出23（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分）（1）由题设知，解得（1分）由两式作差得，即，（2分）所以，数列是首项为，公比为的等比数列，（3分）所以（）（4分）（2），（5分）而，由题意， （6分）所以， 当时，则，即，解得（舍去）；（7分） 当时，则，即，解得或（舍去）此时存在满足题意的（8分）综上，当时，存在的最小值为,使恒成立（10分）（3）令，则，因为，所以（11分）因为 所以 （） （13分）因为的公比，所以在的两边同乘以得，（） （15分）减去得，所以（），（17分）因为，所以是等差数列，其通项公式为（18分）