1、寒假精练7空间向量与立体几何典题温故1四棱锥中，底面为直角梯形，平面，为中点（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）在直角梯形中，在中，由余弦定理可得，又，且，是等腰三角形，所以，由线面垂直的判定定理，得平面，又由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面（2）以为原点，为，轴，建立空间直角坐标系，则，有，令平面的法向量为，由，可得一个，由（1）可知平面的一个法向量为，所以，所以二面角的余弦值为2已知三棱柱中，（1）求证：平面平面；（2）若，为线段上一点，且平面和平面所成角的余弦值为，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连接，由题意知
2、，四边形是菱形，又，平面，则，又，平面，平面平面（2）以点为原点，所在直线分别为轴，轴，平面上过点垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，设点的坐标为，设平面的法向量为，则，令，得，即为平面的一个法向量易知，平面的一个法向量为，解得或（舍去），的坐标为，为上靠近点的四等分点，故经典集训一、选择题1已知，则下列向量中与平行的是（ ）ABCD2已知三角形的三个顶点，则过的中线长为（ ）ABCD3若平面的法向量分别为，则（ ）ABC相交但不垂直D以上均不正确4已知空间三点，在直线上有一点满足，则点的坐标为（ ）ABCD5已知空间向量，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角为（ ）ABCD6如图，正方体
3、中，是棱的中心，是棱上的点，且，则直线与所成的角的余弦值是（ ）ABCD7如图，在三棱柱中，底面，则与平面所成角的大小为（ ）ABCD8在长方体中，下列计算结果一定不等于的是（ ）ABCD二、填空题9已知向量，则在方向上的投影为 10在棱长为的正方体中，为的中点，则到面的距离为 三、简答题11如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且平面平面（1）求证，；（2）求二面角的余弦值12如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，点，分别是和的中点（1）求证平面；（2）求二面角的余弦值13已知三棱柱中三个侧面均为矩形，底面为等腰直角三角形，点为棱的中点，点在棱上运动（1）求证：；（2）当点运动到某一位置时，
4、恰好使二面角的平面角的余弦值为，求点到平面的距离【答案与解析】一、选择题1【答案】B【解析】，故选B2【答案】B【解析】，边中点的坐标是，又，过点点的中线长3【答案】C【解析】与不平行，与不平行；，与不垂直，故选C4【答案】C【解析】由，且点在直线上，可设，则，又，即，解得，5【答案】A【解析】由题意，空间向量，平面的一个法向量为，所以根据空间向量的夹角公式，可得，则直线与平面所成角6【答案】D【解析】以为坐标原点，以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，7【答案】A【解析】取的中点，连接，以为轴，以为轴，以过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，可得，而，设平面的法向量为，根据，
5、解得，故与平面所成角的大小为8【答案】D【解析】如图，以为原点，分别为，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，设长方体的长宽高分别为，则，当时，；当时，故选D二、填空题9【答案】【解析】依题意在方向上的投影为10【答案】【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，取，得，到面的距离三、简答题11【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连，交于点，连，由平面平面，平面平面，又，平面，又平面，又，又，平面，平面，（2）由（1）知，以为坐标原点，为轴，为轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）知面，则轴，由平面几何知识易得，则，于
6、是，设平面的法向量为，则，即，取，则，则，同理可得平面的一个向量为，于是，分析知二角面的余弦值为12【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）如图，取的中点，连结，则，平面平面，平面（2）连接，交于点，以为坐标原点，为轴，为轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，得，设平面的法向量为，则，得，同理可得平面的法向量为，二面角的余弦值为13【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，设，其中，所以，因为，所以，即（2）由（1）可知，设为平面的一个法向量，则，即，设为平面的一个法向量，则，即，由二面角的平面角的余弦值为，得，解得或易知当时，二面角的平面角为钝角，与题意不符，故，点到平面的距离为
