1、基础梳理1函数的单调性与其导数的正负的关系在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减2根据导数与函数单调性的关系，求函数单调区间的一般程序(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解不等式f(x)0或f(x)0；(4)写单调区间3利用导数判断函数单调性和确定单调区间的注意事项(1)必须首先确定函数的定义域，在具体的解决问题过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)了解在某一区间内f(x)0或f(x)0是函数f(x)在该区间为增(或减)函数的充分不必要条件；
2、(3)函数的单调区间可以都用开区间表示，如果一个函数具有相同单调性的单调区间有几个，它们不能用并集符号“”连接，要用逗号或文字“和”、“及”等隔开；(4)若函数中含有参数，必须根据具体问题，对参数进行分类讨论，然后分别求出单调区间；(5)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数图象就比较“陡峭”(向上或向下)，反之，函数的图象就“平缓”一些,自测自评1若在区间(a，b)内有f(x)0，且f(a)0，则在(a，b)内恒有(A)Af(x)0Bf(x)0Cf(x)0D不能确定解析：由f(x)0知，f(x)在(a，b)上单调递增，f(x)f(a)0，即
3、f(x)0，故选A.2函数yx33x的单调增区间是_答案：解析：y3x23，令y0，即3x230，解得x1，或x1，函数yx33x的单调增区间是(，1)，(1，)答案：(，1)，(1，)3函数yxln x的单调递减区间是_解析：y(xln x)ln x1，令y0，ln x10，0x，函数yxln x的单调递减区间是.1f(x)5x22x的单调增区间为(A)A. B.C. D. 2.函数yxcos xsin x在下面哪个区间内是增函数(B)A.B(，2)C. D(2，3)解析：ycos xxsin xcos xxsin x.若yf(x)在某区间内是增函数，只需在此区间内y恒大于等于0即可只有当x
4、(，2)时，y0恒成立，只有B符合题意3已知导函数yf(x)的图象如下图所示，请根据图象写出原函数yf(x)的递增区间是_解析：从图象可知f(x)0的解为1x2或x5，f(x)的递增区间为(1，2)，(5，)答案：(1，2)，(5，) 4.设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)求g(x)的单调区间解析：由题设知f(x)ln x，g(x)ln x，g(x)，令g(x)0，得x1.当x(0，1)时，g(x)0，故(0，1)是g(x)的单调减区间当x(1，时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调递增区间 5.若f(x)ax3x在区间1，1上单调递增，求a的取值范围分析：利用不等式f(x)0在
5、1，1上恒成立，确定a的取值范围解析：f(x)3ax21，f(x)在区间1，1上单调递增，f(x)3ax210在1，1上恒成立当x0时，显然成立，当x0时，a，在x1，0)(0，1的最大值为，a.故a的取值范围是.1若f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且x(a，b)时，f(x)0，又f(a)0，则(D)Af(x)在a，b上单调递增，且f(b)0Bf(x)在a，b上单调递增，且f(b)0Cf(x)在a，b上单调递减，且f(b)0Df(x)在a，b上单调递增，但f(b)的符号无法判断2函数yxcos xsin x在下面哪个区间内是增函数(B)A. B(，2)C. D(2，3)解析：yco
6、s xxsin xcos xxsin x.若yf(x)在某区间内是增函数，只需在此区间内y恒大于等于0即可，只有当x(，2)时，y0恒成立，只有B符合题意3下列函数在区间(1，1)内不是增函数的是(D)Ayexx Bysin xCyx36x29x2 Dyx2x1解析：A中yexx，yex10在(1，1)上成立；B中ysin x，ycos x0在(1，1)上成立；C中yx36x29x2，y3x212x93(x2)230在(1，1)上成立；D中yx2x1，y2x1，在上y0，在上，y0.4如果函数f(x)2x3ax21(a为常数)在区间(，0)和(2，)上单调递增，且在区间(0，2)内单调递减，则
7、实数a的值是(C)A1 B2C6 D12解析：依题意，x0或x2是方程f(x)6x22ax0的两个实数根，解得a6.5如果函数yf(x)的图象如图所示，那么导函数yf(x)的图象可能是(A)解析：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正负正负，只有答案A满足6已知函数yx3ax在1，)内是单调增函数，则实数a的最大值为(D)A0 B1 C2 D3解析：f(x)3x2a在1，)上有3x2a0恒成立，a(3x2)min3.7下列命题中正确的是_若f(x)在(a，b)内是增函数，则对于任何x(a，b)，都有f(x)0；若在(a，b)内f(x)存在，则f(x)必为单调函数；若在(a，b)内的任
8、意x都有f(x)0，则f(x)在(a，b)内是增函数；若x(a，b)，总有f(x)0，则在(a，b)内f(x)0.解析：yx3在x(，)为增函数，而y2x20，故错错正确由f(x)0能判断f(x)为减函数，但不能判定f(x)0.答案：8函数f(x)ln xx2的单调增区间是_解析：函数的定义域为(0，)，f(x)x，令f(x)0，即0，解得0x1，f(x)在(0，1)上为增函数答案：(0，1)9函数f(x)xln x (x0)的单调递增区间是_解析：令f(x)ln x10，得x，即函数f(x)的单调递增区间是.答案：10函数f(x)在其定义域(1，1)上的导数满足f(x)0，当a，b(1，1)
9、，且ab0时，f(a)f(b)0.则不等式f(1m)f(1m2)0的解集是_解析：根据已知，得知f(x)是定义在(1，1)上的单调递减的奇函数所以f(1m)f(1m2)0f(1m)f(1m2)f(m21)，即解得1m，即原不等式的解集为(1，)答案：(1，)11(2013茂名一模)已知函数g(x)ax32x22x，若a1，求g(x)的单调减区间解析：当a1时，g(x)x32x22x，g(x)x24x2.由g(x)0解得：2x2.当a1时，函数g(x)的单调递减区间为(2，2)体验高考1(2014新课标全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是(D)A(，2 B(
10、，1C2，) D1，)解析：由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而01，所以k1.即k的取值范围为1，)2(2014湖南卷)若0x1x2ln x2ln x1Bex2ex10.解析：(1)由题意得f(x)12x22a，当a0时，f(x)0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(，)当a0时，f(x)12，此时函数f(x)的单调递减区间为；单调递增区间为，.(2)由于0x1，当a2时，f(x)|a2|4x32ax24x34x2.当a2时，f(x)|a2|4x32a(1x)24x34(1x)24x34x2.设g(x)2x32x1，0x1，则g(x)6x226.于是g(x)，g(x)随x的变化情况如下表：所以g(x)ming10.当0x1时， 2x32x10.故f(x)|a2|4x34x20.
