1、20212022学年高三第一学期期中试卷数学(满分:150分考试时间:120分钟)202111一、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的1. 已知集合Ax|ylg(x2),Bx|x24x0,则(RA)B()A. (,2 B. (0,2 C. (2,4) D. 2,)2. 已知i为虚数单位,复数z满足z(2i)34i,记 z 为z的共轭复数,则|z|()A. B. C. D. 3. 已知函数yf(x)的部分图象如图所示,则函数yf(x)的解析式可能为()A. yxcos (x)B. yC. ysin xxexD. ysin xxcos x4.
2、 在平面直角坐标系xOy中,已知平面向量a,b满足a(1,),|ab|4,则|b|的取值范围是()A. 2,6 B. 2,2 C. 2,6 D. 1,25. 已知关于x的不等式ax22bx40的解集为(m,),其中m0,0,|k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.63518.(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列an,bn满足a12,b14,且an,bn,an1成等差数列,bn,an1,bn1成等比数列(1) 求证:数列为等差数列;(2) 记cn,记cn的前n项和为Sn,若Sk,求正整数k的最小值19.(本小题满分12分)如图,在ABC中,角A,B
3、,C所对的边分别为a,b,c,已知c4,b2,sin 2Csin B,且D为BC的中点,点E满足.(1) 求a的值;(2) 求cosDAE的值20.(本小题满分12分)为落实立德树人根本任务,坚持五育并举全面推进素质教育,某校举行了乒乓球比赛,其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自高一年级3人,高二年级4人,高三年级5人本次决赛的比赛赛制采取单循环方式,即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制),最后根据积分选出最后的冠军、亚军和季军积分规则如下:每场比赛5局中以30或31获胜的队员积3分,落败的队员积0分;而每场比赛5局中以32获胜的队员积2分,落败的队员积1分(1) 比赛结束后冠
4、亚军恰好来自不同年级的概率是多少?(2) 已知最后一轮比赛两位选手是甲和乙,假设每局比赛甲获胜的概率均为.记这轮比赛甲所得积分为X,求X的概率分布及数学期望E(X).21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:1的左、右顶点和右焦点分别为A,B和F,直线l:xmyt与椭圆C交于不同的两点M,N,记直线AM,BM,BN的斜率分别为k1,k2,k3.(1) 求证:k1k2为定值;(2) 若k13k3,求FMN的周长22.(本小题满分12分)已知函数f(x)ln xax1,x0.(1) 当a1时,求函数f(x)的最大值;(2) 若关于x的不等式f(x)a20对任意的实数x1恒成立
5、,其中e为自然对数的底数,求实数a的取值范围(电子稿下载邮箱:zgk_001 密码:zGkzgk001)20212022学年高三第一学期期中试卷(如皋)数学参考答案及评分标准1. B2. A3. D4. C5. C6. D7. C8. A9. BCD10. AC11. AD12. ABD13. 14. log2x15. 216. 17. 解:(1) 由表格数据得x3,y100,所以b9,aybx100(9)3127,所以y关于x的回归直线方程为y9x127.(4分)令x6,则y9612773,即该运动品牌分公司6月份获得“运动达人” 称号的员工数为73.(5分)(2) 依题意,m20,n40.
6、(7分)根据列联表数据得K21.1670,bn0,由得an1,代入得,当n2,nN*时,2bn,整理得2,所以数列为等差数列(5分)(2) 解:在中,令n1,得2b1a1a2,可得a26.在中,令n1,得ab1b2,可得b29.由(1)可知,数列是等差数列,结合2,3,故n1,bn(n1)2.所以abnbn1(n1)2(n2)2,an1(n1)(n2),所以当n2,nN*时,ann(n1).又a12符合上式,所以ann(n1).(8分)故cn,所以Sn()()().据Sk,得,解得k(负舍),又kN*,故k的最小值为7.(12分)19. 解:(1) 根据题意,sin 2Csin B,即2sin
7、 C cos Csin B,结合正弦定理,有2ccos Cb.又b2,c4,所以cos C.(3分)在ABC中,据余弦定理可知cos C,解得a4.(5分)(2) 由(1)知,ac,可知AC,故cos A.记a,b,则|a|4,|b|2.又ab,ab,所以(ab)(ab)a2abb24242225,(8分)|,|6,故cos DAE.(12分)20. 解:(1) 比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是p.(3分)(2) X的可能取值为0,1,2,3.P(X0)(1)3C(1)3;P(X1)C()2(1)3;P(X2)C()2(1)2;P(X3)()3C()2(1).(11分)所以X的分布列为
8、X0123P数学期望E(X)0123.(12分)21. (1) 证明:设M(x1,y1),依题意得A(2,0),B(2,0).因为点M在椭圆C上,故1,所以y(4x),所以k1k2为定值(4分)(2) 解:由(1)知k1k2,又k13k3,所以k2k3.联立方程组消去x,整理得(3m24)y26mty3t2120.设N(x2,y2),则(*)(6分)由k2k3,得,即,整理,得(m24)y1y2m(t2)(y1y2)(t2)20,将(*)式代入可得(m24)m(t2)(t2)20,化简得t2t20,故t1或t2.(10分)当t2时,直线l经过右顶点B(2,0),与题意不符,故t2舍去;所以t1
9、,直线l的方程为xmy1恒过椭圆C的左焦点F(1,0),所以FMN的周长为FMMNNFFMMFNFNF2a2a4a8.(12分)22. 解:(1) 当a1时,f(x)ln xx1,x0,所以f(x)1,令f(x)0,得x1.当x(0,1)时,f(x)0,f(x)在(0,1)上单调递增;当x(1,)时,f(x)0,故ex1x对x0恒成立,所以g(x)0,故g(x)在1,)上是单调增函数,所以,当x1时,g(x)g(1)1a.(7分)若1a0,即a1时,g(x)1a0,g(x)在1,)上是单调增函数,g(x)g(1)0,故a1符合题意;(8分)若1a0,即a1时,g(1)aaa,据ex1x,其中x0,可得exx1对任意x0都成立,所以a1时,e2a2a12a,1,所以g(4a1)0.结合g(x)在1,)上的图象是一条不间断的曲线,所以存在x0(1,4a1),使得g(x)0,且当x(1,x0)时,g(x)0,g(x)在(1,x0)上是单调减函数,所以存在xx0,g(x0)g(1)0,与题意矛盾,故a1不符合题意综上所述,实数a的取值范围是a1.(12分)9