1、考点 10推理与证明一、单选题1（2020宜宾市叙州区第二中学校高三月考（文）甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖 丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的 成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（）A甲和丁 B乙和丁 C乙和丙 D甲和丙【答案】B【解析】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁 答案选 B2（2021山西应县一中高三开学考试（文）已知角 A、B 为 ABC
2、的内角，则 AB 是 sin Asin B 的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，A、B 为三角形的内角，sin A0，sin B0，sin Asin B2Rsin A2Rsin BabAB.3（2020四川省冕宁中学校高三三模（文）“幻方”最早记载于我国公元前 500 年的春秋时期大戴礼中“n 阶幻方*3,nnN”是由前2n 个正整数组成的个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的 n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3 阶幻方”的幻和为 15（如图所示）则“5 阶幻方”的幻和为（）A75B65C55D45【答案】B【解析】依题意“5 阶幻
3、方”的幻和为12525122526555，故选 B.4（2020西藏城关拉萨那曲第二高级中学高三月考（文）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测 甲：我的成绩比乙高 乙：丙的成绩比我和甲的都高 丙：我的成绩比乙高 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A甲、乙、丙B乙、甲、丙 C丙、乙、甲D甲、丙、乙【答案】A【解析】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故 3 人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩
4、都高，即乙预测正确，不符合题意，故选 A 5（2020南岗黑龙江实验中学高三三模（文）华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等.他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”.“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法.在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每 16 人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该 16 人再次抽检确认感染者.某组 16 人中恰有一人感染
5、（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要 15 次才能确认感染者.现在先把这 16 人均分为 2 组，选其中一组 8 人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的 8 人均分两组，选其中一组 4 人的样本混合检查以此类推，最终从这 16 人中认定那名感染者需要经过（）次检测.A3B4C6D7【答案】B【解析】先把这 16 人均分为 2 组，选其中一组 8 人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了 1 次检测.继续把认定的这组的 8 人均分两组，选其中一组 4 人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，
6、则认定在本组，此时进行了 2 次检测.继续把认定的这组的 4 人均分两组，选其中一组 2 人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了 3次检测.选认定的这组的 2 人中一人进行样本混合检查，为阴性则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了 4 次检测.所以，最终从这 16 人中认定那名感染者需要经过 4 次检测.故选：B.6（2020全国高三（文）平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32 a，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）A43 aB63 aC54 aD64 a【答案】B【解析】根据题意，画
7、出图象，如图，由棱长为a 可以得到32BFa，63BOAOaOE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到222BOBEOE，把数据代入得到612OEa，所以棱长为a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和为664123aa；7（2019四川双流棠湖中学高三开学考试（文）甲、乙、丙三个学生中有一人申请了去新疆支教，当他们被问到谁申请了去新疆支教时，乙说：甲没有申请；丙说：乙申请了；甲说：乙说对了.如果这三人中有两人说的是真话，一人说了假话，那么申请去新疆支教的学生是（）A甲B乙C丙D不确定【答案】C【解析】若乙说了假话，则甲、丙说了真话，那么甲、乙都申请了，与题意只有一人申请矛盾；若丙说了假话，则甲、
8、乙说的话为真，甲、乙都没有申请，申请的人是丙，满足题意，故选 C.8（2020安徽马鞍山高三三模（文）德国著名天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”现将底与腰之比或腰与底之比为512的等腰三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为 36或 108的等腰三角形如图，ABC，BCD，ADE 都是黄金三角形，若2AB，则 DE 的大小为（）A 51B512C2D 51【答案】C【解析】由题可知：512BCBCBDABDCDC，又2AB 所以2,51DCBD，则51AD 又512DEAD，所以2DE 故选：C9（
9、2020湖南怀化高三二模（文）在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（）A乙做对了B甲说对了C乙说对了D甲做对了【答案】B【解析】分以下三种情况讨论：甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾；丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法
10、错误，则甲做错了，自相矛盾.故选：B.10（2018辽宁大连八中高三期中（文）利用反证法证明：“若220 xy，则0 xy”时，假设为 A x，y 都不为 0B xy且 x，y 都不为 0C xy且 x，y 不都为 0D x，y 不都为 0【答案】D【解析】原命题的结论是,x y 都为零，反证时，假设为,x y 不都为零.11（2020辽宁葫芦岛高三月考（文）某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第 34 届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（）A甲
11、B乙C丙D丁【答案】C【解析】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确.故选：C.12（2020宁夏原州固原一中高三其他（文）一位老师将三道题（一道三角题，一道数列题，一道立体几何题）分别写在三张卡纸上，安排甲、乙、丙三位学生各抽取一道.当他们被问到谁做立体几何题时，甲说：“我抽到的不是立体几何题”，乙说：“我喜欢三角，可惜没抽到”，丙说：“乙抽到的肯定不是数列题”.事实证明，这三人中只有一人说的是假话，那么抽到立体几何题的是（）A甲B乙C丙D不确定【答案】C【解析】若甲说的假话，则甲抽到的是立体几何题，乙抽到数列题，这里丙又是假话，不合题意
12、，甲是真话；若乙假话，则乙抽到三角题，这里甲丙真话，甲抽到数列题，丙抽到立体几何题，符合题意；若丙是假话，则乙抽到数列题，甲乙真话，甲抽到三角题，丙只能是立体几何题.故选：C.13（2020河南开封高三二模（文）现有灰色与白色的卡片各八张，分别写有数字 1 到 8甲、乙、丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）如图，甲面前的四张卡片已经翻开，则写有数字 4 的灰色卡片是（）A HB JC KD P【答案】C【解析】解：由图可知，灰色卡片 E 代表的数字为 1，灰色卡片 J 代表的数字为 2，则 I 为 1，显然
13、H、Q 必须大于 4，则 K 或 P 为数字4；若 K 为数字 4，则存在5F，6G，7H，3M，4N，5P，6Q，满足条件，若 P 为数字 4，则 M，N 均小于4，显然不符合题意；故选：C14（2020河北桃城衡水中学高三三模（文）2019 年 10 月 1 日上午，庆祝中华人民共和国成立 70 周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异，去年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵，他们是由军事科学院，国防大学，国防科技大学联合组建，若已知甲，乙，丙三人来自上述三所学校，学位分别有学士、硕士、博士学位，现知道：甲不是军事科
14、学院的，来自军事科学院的均不是博士，乙不是军事科学院的，乙不是博士学位，来自国防科技大学的是硕士，则甲是来自哪个院校的，学位是什么（）A国防大学，博士B国防科技大学，硕士 C国防大学，学士D军事科学院，学士【答案】A【解析由可知，丙是军事科学院的.进而由可知，乙丙不是博士，故甲是博士.进而由可知甲不是来自国防科技大学，所以甲来自国防大学.所以甲来自国防大学，学位是博士.故选：A15（2019河南宛城南阳中学高三开学考试（文）我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦若,.,a b c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则222abc，称这个定理为勾股定理现
15、将这一定理推广到立体几何中：在四面体OABC中，90AOBBOCAOC ，S 为顶点O 所对面的面积，123,S SS 分别为侧面 OABOACOBC，的面积，则下列选项中对于123,S SS 满足的关系描述正确的为（）A123SSSSB2222123111SSSSC2222123SSSSD123111SSSS【答案】C【解析】作四面体-O ABC，90AOBBOCAOC ，ODBC于点 D，连接 AD，如图 2222222111244SBC ADBCADBCOAOD222222221111144222OBOCOABCODOB OAOC OABC OD222123SSS.即2222123SSSS 故选 C.