1、全书要点速记 第一章 空间向量与立体几何 NO.1要点1 要点2 要点3 要点 1 空间向量基本定理 1共线向量基本定理 对任意两个空间向量 a，b，如果 a0 且 ba，则存在唯一的实数，使得 ba 推论：若存在实数 t，使OP OA tAB(1t)OA tOB(O 为空间任意一点)，则 P，A，B 三点共线 2共面向量定理 如果两个向量 a，b 不共线，则向量 a，b，c 共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使得 cxayb 推论 1：如果 A，B，C 三点不共线，则点 P 在平面 ABC 内的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使APxAByAC 推论 2：空间四点 P，A，
2、B，C 共面的充要条件是存在 x，y，zR，使得OP xOA yOB zOC(xyz1，O 为空间任意一点)3空间向量基本定理 如果空间中的三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间中的任意一个向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 pxaybzc 要点 2 空间向量数量积的应用(1)abab0，此结论一般用于证明空间中的垂直关系(2)|a2|a2，即|a|a2，此结论一般用于求空间中线段的长度(3)cosa，b ab|a|b|，此结论一般用于求空间角的问题(4)|b|cosa，bab|a|，此结论一般用于求空间中的距离问题 要点 3 空间向量在立体几何中的应用 设直线 l，m 的方
3、向向量分别为 a，b，平面，的法向量分别为 u，则 线线平行lmabakb，kR 线面平行lauau0面面平行uuk，kR线线垂直lmabab0线面垂直lauaku，kR面面垂直uu0 线线夹角l，m 的夹角为，cos|ab|a|b|线面夹角l，的夹角为，sin|au|a|u|面面夹角，的夹角为，cos|u|u|注意：线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围都为 02；二面角的范围为0，解题时应具体分析二面角是锐角还是钝角 第二章 平面解析几何 NO.2要点1 要点2 要点3 要点4 要点5 要点6 要点7 要点8 要点9 要点10 要点 1 直线的倾斜角与斜率(1)设直线的倾斜角为，斜率为 k，A
4、(x1，y1)，B(x2，y2)为直线上的不同两点当 90即 x1x2 时，ktan y2y1x2x1；当 90或 x1x2 时，直线斜率不存在(2)斜率与倾斜角的关系 直线与 x 轴平行由左向右上升与 y 轴平行由左向右下降图示 直线与x轴平行由左向右上升与y轴平行由左向右下降的范围00222 k的范围k0k0k不存在k0 k的增减性随的增大而增大随的增大而增大 说明：k 的增减性与 的关系可借助正切函数 ytan 的性质进行记忆 要点 2 直线的方程 已知条件方程适用范围 点斜式点 P0(x0，y0)和斜率kyy0k(xx0)斜截式斜率 k 和直线在 y轴上的截距 bykxb斜率存在，即适
5、用于与 x 轴不垂直的直线 已知条件方程适用范围 两点式点 P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)yy1y2y1xx1x2x1斜率存在且不为 0，即适用于与两坐标轴均不垂直的直线 已知条件方程适用范围 截距式直线在 x 轴上的截距 a 和直线在y 轴上的截距 bxayb1斜率存在且不为 0，直线不过原点，即适用于不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式AxByC0(A，B 不同时为 0)所有直线 要点 3 两条直线的位置关系 斜截式：yk1xb1，yk2xb2一般式：A1xB1yC10，A2xB2yC20相交k1k2A1B2A2B10 垂直k1k21A1A2B1B20 斜截式：yk1xb1
6、，yk2xb2一般式：A1xB1yC10，A2xB2yC20平行k1k2 且b1b2A1B2A2B10，B1C2B2C10A1B2A2B10，A1C2A2C10或A1A2B1B2C1C2(A2，B2，C2 均不为 0)斜截式：yk1xb1，yk2xb2一般式：A1xB1yC10，A2xB2yC20重合k1k2 且 b1b2A1B2A2B1B2C1B1C2A1C2A2C10要点 4 平面上的距离公式(1)任意两点间的距离：若 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|x2x12y2y12(2)点到直线的距离：点 P0(x0，y0)到直线 AxByC0 的距离d|Ax0By0C|A2B
7、2(3)两条平行直线间的距离：直线 AxByC10，AxByC20(其中 A 与 B 不同时为 0，且 C1C2)间的距离 d|C1C2|A2B2 要点 5 圆的方程 1圆的标准方程 圆心为(a，b)，半径为 r(r0)的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2 2圆的一般方程 当 D2E24F0 时，方程 x2y2DxEyF0 称为圆的一般方程，圆心为D2，E2，半径为 D2E24F2 3求圆的方程的方法(1)几何性质法：利用圆的任意弦的垂直平分线过圆心求出圆心，再求圆的方程(2)待定系数法：设出圆的标准方程(条件与圆心或半径有关)(xa)2(yb)2r2或一般方程 x2y2DxEyF0，利用
8、条件求出 a，b，r 或 D，E，F 即可 要点 6 直线与圆的位置关系 1直线与圆的位置关系的判定方法 关系相交相切相离 几何法drdrdr 代数法000 说明：d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径，为直线和圆的方程联立消元后所得一元二次方程的根的判别式 2求弦长的方法(1)利用垂径定理：已知半径 r、弦心距 d、弦长 l，则 d2l22r2(2)利用弦长公式：联立直线与圆的方程，消元得到关于 x(或 y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到 x1x2，x1x2(或 y1y2，y1y2)，则弦长为 1k2|x1x2|(或11k2|y1y2|)3圆的切线方程(1)经过圆 x2y2r2 上一
9、点 P(x0，y0)的切线方程为 x0 xy0yr2(2)经过圆(xa)2(yb)2r2 上一点 P(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2(3)经过圆 x2y2DxEyF0 上一点 P(x0，y0)的切线方程为x0 xy0yDxx02Eyy02F0 4求切线方程的方法 若切线斜率 k 存在，且不为 0(1)几何法：利用圆心到直线的距离等于半径，求出 k，即得切线方程(2)代数法：将切线方程与圆的方程联立，消元得一元二次方程，令 0，求出 k，即得切线方程 注意：过圆外一点的切线有两条，若解出的 k 值唯一，则应检验是否有一条与 x 轴垂直的切线 要点 7 圆与圆的位
10、置关系 位置关系外离外切相交内切内含 几何法dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|代数法00000 说明：d 为两圆的圆心距，r1，r2 分别为两圆半径，为联立两圆方程消元后所得的一元二次方程的根的判别式由于利用代数法求出 0 或 0 后两圆的位置关系仍不明确，因此一般利用几何法判断两圆的位置关系 要点 8 椭圆、双曲线、抛物线的比较 椭圆双曲线抛物线 定义如果 F1，F2 是平面内的两个定点，a是一个常数，且 2a|F1F2|，则平面内满足|PF1|PF2|2a的动点P的轨迹称为椭圆如果 F1，F2 是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a|F1F2|，则平
11、面上满足|PF1|PF2|2a 的动点 P的轨迹称为双曲线设 F 是平面内的一个定点，l 是不过点 F 的一条定直线，则平面上到 F 的距离与到l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线 椭圆双曲线抛物线 标准方程x2a2 y2b21(ab0)x2a2y2b21(a0，b0)y22px(p0)几何图形 椭圆双曲线抛物线 集合表示P|PF1|PF2|2a，2a|F1F2|0P|PF2|PF1|2a，02a|F1F2|P|PF|点 P 到直线 l 的距离 焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(c，0)，F2(c，0)Fp2，0范围 axa，byb|x|a，yRx0，yR 椭圆双曲线抛物线 顶点A1(a，
12、0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(a，0)，A2(a，0)O(0，0)中心原点(0，0)原点(0，0)无 离心率0eca1eca1e1 椭圆双曲线抛物线 通径长2b2a2b2a2p 焦半径|PF1|aexP，|PF2|aexP 若点 P 在右支上，则|PF1|aexP，|PF2|aexP；若点 P在左支上，则|PF1|aexP，|PF2|aexP|PF|p2xP要点 9 椭圆、双曲线的焦点三角形的相关结论 1椭圆 设 F1，F2 是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，PF1F2，PF2F1，F1PF2(1)当且仅当 a22b2 时，椭圆上存在
13、以 P 为直角顶点的直角三角形其中，当 a22b2 时，直角顶点为短轴端点(2)离心率 eca1b2a2，esin sin sin (3)|PF1|PF2|2b21cos，SPF1F2b2tan 2 2双曲线 设 F1，F2 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF1F2，PF2F1，F1PF2(1)离心率 eca1b2a2，esin|sin sin|(2)|PF1|PF2|2b21cos，SPF1F2 b2tan 2 要点 10 抛物线焦点弦的相关结论 已知 F 是抛物线 y22px(p0)的焦点，PQ 为过焦点 F 的弦，其中 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且弦 PQ 所在直线的倾斜角为 (1)焦点弦长|PQ|x1x2p，且以焦点弦为直径的圆和准线相切(2)P，Q 的横坐标之积、纵坐标之积均为定值：x1x2p24，y1y2p2，OP OQ 34p2，kOPkOQ4(3)|PF|p1cos，|FQ|p1cos，从而|PQ|2psin2，1|PF|1|FQ|2p，SOPQ p22sin (4)焦点弦与抛物线的对称轴垂直时称为抛物线的通径，其长为2p 谢谢观看 THANK YOU!
