1、2.5 椭圆及其方程 2.5.1 椭圆的标准方程 第二章 平面解析几何 学 习 任 务核 心 素 养 1掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题(重点)2掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程(重点)3理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题(难点)1通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养数学抽象素养 2借助椭圆标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养 情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2“嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星，其主要目的是释放月球车为“嫦娥三号”任务实现月球软着陆进行部分关键技术试验，并对“嫦娥三号”着陆区进行高精度成像“嫦娥二号”进入太空轨
2、道绕月球运转时，其轨道就是以月球为一个焦点的椭圆，本节我们将学习椭圆的定义及标准方程 知识点 1 椭圆的定义(1)定义：如果 F1，F2 是平面内的两个定点，a 是一个常数，且2a|F1F2|，则平面内满足_的动点 P 的轨迹称为椭圆(2)相关概念：两个定点 F1，F2 称为椭圆的_，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的_|PF1|PF2|2a焦点焦距1椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示 2a 与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论 2a|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a|F1F2|动点
3、的轨迹是线段 F1F22a|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在 1设定点 F1(0，2)，F2(0，2)，动点 P 满足条件|PF1|PF2|m4m(m2)，则点 P 的轨迹是()A椭圆 B线段 C不存在D椭圆或线段 A 因为 m2，所以 m4m2m 4m4，所以点 P 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的椭圆 知识点 2 椭圆的标准方程 焦点位置在 x 轴上在 y 轴上 标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)焦点位置在 x 轴上在 y 轴上 图形 焦点坐标(c，0)(0，c)a，b，c 的关系a2_ b2c22确定椭圆标准方程需要知道哪些量？提示 a，b 的值及焦点所
4、在的位置 3根据椭圆方程，如何确定焦点位置？提示 把方程化为标准形式，x2，y2 的分母哪个大，焦点就在相应的轴上 2(1)以下方程表示椭圆的是()Ax2y21 B2x23y26 Cx2y21D2x23y26(2)椭圆x29y241 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，若|PF1|4，则|PF2|_(1)B (2)2 (1)只 有 B 符 合 椭 圆 的 标 准 方 程 的 形 式可化为x23y221 (2)由椭圆的定义知|PF1|PF2|6，所以|PF2|6|PF1|642合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 求椭圆的标准方程【例 1】(对接教材人教 B 版
5、 P126 例 1)根据下列条件，求椭圆的标准方程(1)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离和为 26(2)经过点 P1，32，两焦点间的距离为 2，焦点在 x 轴上(3)过(3，2)且与x29y241 有相同的焦点 解(1)椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为：y2a2x2b21(ab0)2a26，2c10，a13，c5 b2a2c2144 所求椭圆的标准方程为 y2169 x21441(2)设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，焦点在 x 轴上，2c2，a2b21，又椭圆经过点 P1，32，1b2194b21，解得 b23，a24 椭圆
6、的标准方程为x24y231(3)由方程x29y241 可知，其焦点的坐标为(5，0)，即 c 5 设所求椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，则 a2b25，因为过点(3，2)，代入方程为 9a24a251(ab0)，解得 a215(a23 舍去)，b210，故椭圆的标准方程为x215y2101利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求 a，b，c 的等量关系；(4)求 a，b 的值，代入所设方程 提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况讨论，可设椭圆方程为 mx2ny21(mn，m0，n0)跟进训练 1求适合下列条
7、件的椭圆的标准方程(1)焦点在 x 轴上，且 a4，c2；(2)经过点 P13，13，Q0，12 解(1)a216，c24，b216412，且焦点在 x 轴上，故椭圆的标准方程为x216y2121(2)法一：当椭圆的焦点在 x 轴上时，设标准方程为x2a2y2b21(ab0)，依题意，有132a2 132b2 1，0122b2 1，解得 a215，b214，因为 ab0，所以方程组无解 当椭圆的焦点在 y 轴上时，设标准方程为y2a2x2b21(ab0)，依题意，有 132a2 132b2 1，122a2 01，解得a214，b215，所以所求方程为y214x2151 法二：设所求椭圆的方程为
8、 mx2ny21(m0，n0，且 mn)，依题意得19m19n1，14n1，解得m5，n4，故所求方程为 5x24y21，即y214x2151 类型 2 椭圆的定义及其应用 【例 2】设 P 是椭圆x225y27541 上一点，F1，F2 是椭圆的焦点，若F1PF260，求F1PF2 的面积 1如何求ABC 的面积？提示 SABC12ah 或 SABC12absin C 2如何用集合语言描述椭圆的定义？提示 PM|MF1|MF2|2a，2a|F1F2|解 由椭圆方程知，a225，b2754，c2254，c52，2c5 在PF1F2 中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|
9、cos 60，即 25|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|由椭圆的定义，得 10|PF1|PF2|，即 100|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|，得 3|PF1|PF2|75，所以|PF1|PF2|25，所以 SF1PF212|PF1|PF2|sin 6025 34 1将本例中的“F1PF260”改为“F1PF230”其余条件不变，求F1PF2 的面积 解 由椭圆方程知，a225，b2754，c2254，c52，2c5 在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 30，即 25|PF1|2|PF2|2 3|PF1|PF2|由椭圆的定义得 1
10、0|PF1|PF2|，即 100|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|，得(2 3)|PF1|PF2|75，所以|PF1|PF2|75(2 3)，所以 SF1PF212|PF1|PF2|sin 30754(2 3)2将椭圆的方程改为“x2100y2641”，其余条件不变，求F1PF2的面积 解|PF1|PF2|2a20，又|F1F2|2c12 由余弦定理知：(2c)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即 144(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|所以|PF1|PF2|2563，所以 SF1PF212|PF1|PF2|sin 6064 33 1本例中F1PF
11、2 称为椭圆的焦点三角形2焦点三角形的常用公式(1)焦点三角形的周长 L2a2c(2)在 PF1F2 中，由 余 弦 定 理 可 得|F1F2|2|PF1|2|PF2|2 2|PF1|PF2|cosF1PF2(3)设 P(xP，yP)，则 焦 点 三 角 形 的 面 积 S F1PF2 c|yP|12|PF1|PF2|sinF1PF2b2tanF1PF22 跟进训练 2设 P 是椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点，F1，F2 是椭圆的焦点，设F1PF2，求证：F1PF2 的面积 SPF1F2b2tan2 证明 P 在椭圆上，|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2
12、|4a2 在F1PF2 中，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos|F1F2|24c2 得 2(1cos)|PF1|PF2|4(a2c2)4b2|PF1|PF2|2b21cos，SF1PF212|PF1|PF2|sin b2sin 1cos b22sin2cos212cos2 21b2tan2 类型 3 与椭圆有关的轨迹问题【例 3】如图，圆 C：(x1)2y225 及点 A(1，0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M，求点 M 的轨迹方程解 由垂直平分线性质可知|MQ|MA|，|CM|MA|CM|MQ|CQ|CM|MA|5 M 点的轨迹为椭圆，其中 2a5，焦点
13、为 C(1，0)，A(1，0)，a52，c1，b2a2c2254 1214 所求轨迹方程为x2254y22141 求解与椭圆相关的轨迹问题的方法跟进训练 3已知两圆 C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，求动圆圆心的轨迹方程 解 如图所示，设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r，由题意动圆 M 内切于圆 C1，|MC1|13r 圆 M 外切于圆 C2，|MC2|3r|MC1|MC2|16|C1C2|8，动圆圆心 M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的椭圆，且 2a16，2c8，b2a2c2641648，故所求轨迹方程为x
14、264y2481当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1椭圆x225y21 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则点 P 到另一个焦点的距离为()A5 B6 C7 D8 D 由椭圆定义知点 P 到另一个焦点的距离是 1028 1 3 5 2 4 2到两定点 F1(2，0)和 F2(2，0)的距离之和为 4 的点 M 的轨迹是()A椭圆B线段 C圆D以上都不对 B|MF1|MF2|F1F2|4，点 M 的轨迹为线段 F1F2 1 3 5 2 4 3椭圆x216y2321 的焦距为_ 8 由方程得 a232，b216，c2a2b216 c4，2c8 1 3 5 2 4 4已知椭圆x216y2
15、91 的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，则ABF2 的周长是_ 16 由椭圆定义知，|AF1|AF2|BF1|BF2|2a8，ABF2的周长等于|AB|AF2|BF2|AF1|BF1|AF2|BF2|16 1 3 5 2 4 5设 F1，F2 分别为椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，若椭圆 C 上的点 A1，32 到 F1，F2 两点的距离之和为 4，求椭圆 C 的方程是_ 1 3 5 2 4 x24y231|AF1|AF2|2a4 得 a2，原方程化为x24y2b21，将 A1，32 代入方程得 b23，椭圆方程为x24y231
16、 回顾本节知识，自我完成以下问题：1平面内到两个定点 F1，F2 的距离之和为常数的动点 M 的轨迹一定是椭圆吗？提示 不一定|MF1|MF2|2a，2a|F1F2|，轨迹为椭圆2a|F1F2|，轨迹为线段F1F22a|F1F2|，轨迹不存在 2如何判断椭圆的焦点位置？提示 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中 x2项和 y2 项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”3椭圆标准方程中，a，b，c 三个量的关系是什么？提示 椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以 ab，ac，且 a2b2c2(如图所示)点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
