1、基础诊断考点突破基础诊断考点突破最新考纲 1.理解坐标系的作用了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程第1讲 坐标系基础诊断考点突破1极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做_，从O点引一条射线Ox，叫做_，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系知 识 梳 理设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的_，记为，以极轴Ox为始边，射线OM为
2、终边的角叫做点M的极角，记为.有序数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，)极点极轴极径基础诊断考点突破(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(，)，则它们之间的关系为 x_，y_.另一种关系为2_，tan yx(x0)cos sin x2y2基础诊断考点突破2直线的极坐标方程若直线过点 M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：0 和 0；(2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴
3、：cos a；(3)直线过 Mb，2 且平行于极轴：sin b.基础诊断考点突破3圆的极坐标方程若圆心为 M(0，0)，半径为 r 的圆方程为220cos(0)20r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为 r：_；(2)当圆心位于 M(a,0)，半径为 a：_；(3)当圆心位于 Ma，2，半径为 a：_.r2acos 2asin 基础诊断考点突破诊 断 自 测 1(2014江西卷)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y1x(0 x1)的极坐标方程为()A1cos sin，02B1cos sin，04Ccos sin，02Dcos si
4、n，04基础诊断考点突破解析 y1x(0 x1)，sin 1cos(0cos 1)；1sin cos(02)，故选 A.答案 A基础诊断考点突破2若曲线的极坐标方程为2sin 4cos，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_解析 2sin 4cos，22sin 4cos.x2y22y4x，即x2y22y4x0.答案 x2y24x2y0基础诊断考点突破3(2014广东卷)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为_解析 由 sin2
5、cos，得 2sin 2cos，y2x，由 sin 1，得 y1，由y2xy1，解得 xy1，交点为(1,1)答案(1,1)基础诊断考点突破4(2014陕西卷)在极坐标系中，点2，6 到直线 sin6 1的距离是_解析 点2，6 化为直角坐标为(3，1)，直线 sin6 1 化为 32 sin 12cos 1，32 y12x1，12x 32 y10，点(3，1)到直线12x 32 y10 的距离为12 3 32 11122 3221.答案 1基础诊断考点突破5在极坐标系中，圆 4sin 的圆心到直线 6(R)的距离是_解析 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解，极坐标系中的圆 4s
6、in 转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x2y24y，即 x2(y2)24，其圆心为(0,2)，直线 6转化为平面直角坐标系中的方程为 y 33 x，即 3x3y0.圆心(0,2)到直线 3x3y0 的距离为|032|39 3.答案 3基础诊断考点突破考点一 极坐标与直角坐标的互化【例 1】(1)把点 M 的极坐标5，6 化成直角坐标；(2)把点 M 的直角坐标(3，1)化成极坐标解(1)x5cos 6523，y5sin 652，点 M 的直角坐标是523，52.基础诊断考点突破规律方法(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一(2)在曲线
7、的方程进行互化时，一定要注意变量的范围要注意转化的等价性(2)3212 312，tan 1 3 33.点 M 在第三象限，0，最小正角 76.因此，点 M 的极坐标是2，76.基础诊断考点突破【训练 1】(1)把点 M 的极坐标8，23 化成直角坐标；(2)把点 P 的直角坐标(6，2)化成极坐标(0,02)解(1)x8cos 23 4，y8sin 23 4 3，因此，点 M 的直角坐标是(4,4 3)(2)62 222 2，tan 26 33，又因为点在第四象限，得 116.因此，点 P 的极坐标为2 2，116.基础诊断考点突破考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化【例 2】在直角坐标系
8、xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos3 1，M，N 分别为曲线 C 与 x 轴，y 轴的交点(1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标；(2)设 M，N 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程基础诊断考点突破解(1)cos3 1，cos cos 3sin sin 31.又xcos ysin，12x 32 y1.即曲线 C 的直角坐标方程为 x 3y20.令 y0，则 x2；令 x0，则 y2 33.M(2,0)，N0，2 33.M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为2 33，2.基础诊断考点突破规律方法 直角坐标方程与
9、极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境(2)M，N 连线的中点 P 的直角坐标为1，33，P 的极角为 6.直线 OP 的极坐标方程为 6(R)基础诊断考点突破【训练2】O1和O2的极坐标方程分别为4cos，4sin.(1)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程解 以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位(1)4cos，两边同乘以，得24cos；4sin，两边同乘以，得24sin.由cos x，sin y，2x2y2，得O1，O2的直角坐标方程分别
10、为x2y24x0和x2y24y0.基础诊断考点突破(2)由x2y24x0，x2y24y0.得4x4y0，即 xy0 为所求直线方程基础诊断考点突破考点三 曲线极坐标方程的应用【例 3】(2015广州调研)在极坐标系中，求直线 sin4 2 被圆 4 截得的弦长解 由 sin4 2，得 22(sin cos)2 可化为 xy2 20.圆 4 可化为 x2y216，由圆中的弦长公式得：2 r2d22422 2224 3.故所求弦长为 4 3.基础诊断考点突破规律方法 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决基础诊断考点突破【训练 3】在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P2，4，圆心为直线 sin3 32 与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程解 在 sin3 32 中令 0，得 1，所以圆 C 的圆心坐标为(1,0)因为圆 C 经过点 P2，4，所以圆 C 的半径PC 221221 2cos 41，于是圆 C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为 2cos.
