1、基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.第5讲 椭 圆基础诊断考点突破课堂总结1椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做_这两定点叫做椭圆的_，两焦点间的距离叫做椭圆的_集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若_，则集合P为椭圆；(2)若_，则集合P为线段；(3)若_，则集合P为空集知 识 梳 理椭圆焦点焦距acacac基础诊断考点突破课堂总结2椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2
2、a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形基础诊断考点突破课堂总结范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴 A1A2 的长为_；短轴 B1B2 的长为_焦距|F1F2|_性质离心率eca_a，b，c 的关系c2_2a2b(0,1)2ca2b2基础诊断考点突破课堂总结(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()(4)方程
3、mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()诊 断 自 测 1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示基础诊断考点突破课堂总结2(2014大纲全国卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B两点若AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为()A.x23y221 Bx23y21C.x212y281 Dx212y241基础诊断考点突破课堂总结解析 由椭圆的定义可知AF1B 的周长为 4a，所以 4a4 3，故 a 3，又由 eca 33，得 c1，所以 b2a2c22，则 C 的方程为x23
4、y221，故选 A.答案 A基础诊断考点突破课堂总结3设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的点，PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率为()A.36 B13 C12 D 33解析 在 RtPF2F1 中，令|PF2|1，因为PF1F230，所以|PF1|2，|F1F2|3.故 e2c2a|F1F2|PF1|PF2|33.故选D.答案 D基础诊断考点突破课堂总结4如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是_解析 将椭圆方程化为x22y22k1，焦点在 y 轴上，则2k2，即 k0，所以 0kb0)，由 e 22，
5、知ca22，故b2a212.由于ABF2 的周长为|AB|BF2|AF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a16，故 a4.b28，椭圆 C 的方程为x216y281.基础诊断考点突破课堂总结深度思考 求椭圆方程除定义外一般采 用 待 定 系 数法本例第(2)小题可有两种方法：一是分类，二是不分类，关键在于方程的设法上，不妨一试(2)法一 若椭圆的焦点在 x 轴上，设方程为x2a2y2b21(ab0)由题意得2a32b，9a2 0b21，解得a3，b1.所以椭圆的标准方程为x29y21.基础诊断考点突破课堂总结若焦点在 y 轴上，设方程为y2a2x2b21(ab0)由题意得2a3
6、2b，0a2 9b21，解得a9，b3.所以椭圆的标准方程为y281x291.综上所述，椭圆的标准方程为x29y21 或y281x291.基础诊断考点突破课堂总结法二 设椭圆的方程为x2my2n 1(m0，n0，mn)，则由题意知9m1，2 m32 n或9m1，2 n32 m，解得m9，n1或m9，n81.椭圆的标准方程为x29y21 或y281x291.答案(1)x216y281(2)x29y21 或y281x291基础诊断考点突破课堂总结规律方法 根据条件求椭圆方程常用的主要方法是定义法和待定系数法定义法的要点是根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，待定系数法的要点是根据题目所给的
7、条件确定椭圆中的两个系数a，b.基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆x24y231 有相同的离心率且经过点(2，3)；(2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别为 5,3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点32，52，3，5.基础诊断考点突破课堂总结解(1)由题意，设所求椭圆的方程为x24y23 t1 或y24 x23 t2(t1，t20)，椭圆过点(2，3)，t1224 3232，或 t2 324223 2512.故所求椭圆标准方程为x28y261 或y2253x22541.基础诊断考点突破课
8、堂总结(2)由于焦点的位置不确定，设所求的椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0)，由已知条件得2a53，2c25232，解得 a4，c2，b212.故椭圆方程为x216y2121 或y216x2121.基础诊断考点突破课堂总结(3)设椭圆方程为 mx2ny21(m，n0，mn)，由322m522n1，3m5n1，解得 m16，n 110.椭圆方程为y210 x261.基础诊断考点突破课堂总结考点三 椭圆的几何性质【例 3】(1)(2014江西卷)设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A，B
9、两点，F1B 与 y 轴相交于点 D，若 ADF1B，则椭圆 C 的离心率等于_.(2)(2014包头测试与评估)已知椭圆x2a2y2b21 的左顶点为A，左焦点为 F，点 P 为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为 2，离心率 e12，则APFP的取值范围是_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由题意知 F1(c,0)，F2(c,0)，其中 c a2b2，因为过 F2 且与 x 轴垂直的直线为 xc，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为 Ac，b2a，Bc，b2a.因为 AB 平行于 y轴，且|F1O|OF2|，所以|F1D|DB|，即 D 为线段 F1B 的中点，所以点 D 的坐标
10、为0，b22a，又 ADF1B，所以kADkF1B1，即b2a b22ac0b2a 0cc1，整理得 3b22ac，所以 3(a2c2)2ac，又 eca且 0e1，所以 3e22e 30，解得 e 33(e 3舍去)基础诊断考点突破课堂总结(2)因为椭圆的上顶点到焦点的距离为 2，所以 a2.因为离心率 e12，所以 c1，b a2c2 3，则椭圆方程为x24y231，所以 A 点的坐标为(2,0)，F 点的坐标为(1,0)设P(x，y)，则APFP(x2，y)(x1，y)x23x2y2.由椭圆方程得 y2334x2，所以APFPx23x34x2514(x6)24，因为 x2,2，所以APF
11、P0,12答案(1)33 (2)0,12基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求椭圆的离心率的方法：直接求出a，c来求解e.通过已知条件列出方程组，解出a，c的值；构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；通过取特殊值或特殊位置，求出离心率(2)椭圆的范围或最值 问 题 常 常 涉 及 一 些 不 等 式 例 如，axa，byb,0e1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】已知椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，上顶点为 A，P 为 C1 上任一点，MN 是圆
12、 C2：x2(y3)21 的一条直径，与 AF 平行且在 y 轴上的截距为 3 2的直线 l 恰好与圆 C2 相切(1)求椭圆 C1 的离心率；(2)若PM PN的最大值为 49，求椭圆 C1 的方程基础诊断考点突破课堂总结解(1)由题意可知，直线 l 的方程为 bxcy(3 2)c0，因为直线 l 与圆 C2：x2(y3)21 相切，所以 d|3c3c 2c|b2c21，化简得 c2b2，即 a22c2，从而 e 22.(2)设 P(x，y)，圆 C2 的圆心记为 C2(0,3)，则 x22c2y2c21(c0)，又因为PM PN(PC2C2M)(PC2C2N)(PC2 C2N)(PC2 C
13、2N)PC 22C2N 2x2(y3)21(y3)22c217(cyc)基础诊断考点突破课堂总结当 c3 时，(PM PN)max172c249，解得 c4，此时椭圆方程为x232y2161；当 0c3 时，(PM PN)max(c3)2172c249，解得 c5 23.但 c5 230，且 c5 233，故舍去综上所述，椭圆 C1 的方程为x232y2161.基础诊断考点突破课堂总结考点四 直线与椭圆的位置关系【例 4】(2014四川卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F(2,0)，离心率为 63.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 O 为坐标原点，T 为直线 x3
14、 上一点，过 F 作 TF的垂线交椭圆于 P，Q.当四边形 OPTQ 是平行四边形时，求四边形 OPTQ 的面积基础诊断考点突破课堂总结解(1)由已知可得，ca 63，c2，所以 a 6.又由 a2b2c2，解得 b 2，所以椭圆 C 的标准方程是x26y221.(2)设 T 点的坐标为(3，m)，则直线 TF 的斜率 kTFm032m.当 m0 时，直线 PQ 的斜率 kPQ1m，直线 PQ 的方程是 xmy2.基础诊断考点突破课堂总结当 m0 时，直线 PQ 的方程是 x2，也符合 xmy2 的形式设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得xmy
15、2，x26y221.消去 x，得(m23)y24my20，其判别式 16m28(m23)0.所以 y1y2 4mm23，y1y2 2m23，x1x2m(y1y2)4 12m23.基础诊断考点突破课堂总结因为四边形 OPTQ 是平行四边形，所以OP QT，即(x1，y1)(3x2，my2)所以x1x2 12m233，y1y2 4mm23m.解得 m1.此时，S 四边形 OPTQ2SOPQ212|OF|y1y2|24mm2324 2m232 3.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方
16、程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单(2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|1k2x1x224x1x211k2 y1y224y1y2(k 为直线斜率)提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式基础诊断考点突破课堂总结【训练 4】已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，其中左焦点 F(2,0)(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 yxm 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，且线段AB 的中点 M 在圆 x2y21 上，求 m 的值基础诊断考点突破课堂总结解(1)由题意，得ca 22，c2，a2b2c2.解得a2 2，b2.椭圆 C 的方程为x28y241.(2)设点 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 AB 的中点为 M(x0，y0)，基础诊断考点突破课堂总结由 x28y241，yxm.消去 y 得，3x24mx2m280，968m20，2 3mb0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点 P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因