1、综合测评(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若集合M=0,1,2,3,N=xN|0x2,则MN中元素的个数为()A.0B.4C.2D.32.命题p:xR,x2+2x+20,则p为()A.xR,x2+2x+20B.xR,x2+2x+20C.xR,x2+2x+20D.xR,x2+2x+203.设偶函数f(x)的定义域为R,当x0,+)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(),f(-3)的大小关系是()A.f()f(-3)f(-2)B.f()f(-2)f(-3)C.f()f(-3)f(-2
2、)D.f()f(-2)b是f(a)f(b)的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若函数g(x)=xf(x)的定义域为R,图像关于原点对称,在(-,0)上是减函数,且g(2)=0,则使得f(x)0,y0,且4x+y=xy,则x+y的最小值为()A.8B.9C.12D.168.用符号x表示不超过x的最大整数,如1.8=1,-1.3=-2,设x=x-x,若方程x+kx-1=0有且只有3个实数根,则正实数k的取值范围为()A.13,12B.13,12C.14,13D.14,13二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个
3、选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)9.若全集U=0,1,2,3,4,集合M=0,1,4,N=0,1,3,则()A.MN=0,1B.UN=4C.集合M的真子集个数为8D.M(UN)=410.下列函数中值域为R的有()A.f(x)=3x-1B.f(x)=1xC.f(x)=x2,x2-(x-2)2,x2D.f(x)=|x|-211.已知f(x)=x+1x-1(x1),则下列各式成立的是()A.f(x)+f(-x)=0B.f(x)-1f(-x)=0C.f(x)f(-x)=1D.f(x)-f(-x)=012.下列函数在其定义域上既是减函数又是奇函数的有()A.f(x)
4、=1xB.f(x)=-x3C.f(x)=x|x|D.f(x)=-x三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.已知全集U=R,集合A=x|x(x+2)0,B=x|x|1,则如图所示的阴影部分表示的区间是.14.已知函数f(x)=3x+1,x0)的定义域中任意x1,x2(x1x2)有如下结论:f(x1+x2)=f(x1)+f(x2);f(x1x2)=f(x1)f(x2);f(x1)-f(x2)x1-x20;fx1+x22f(x1)+f(x2)2.其中正确结论的序号是.16.若关于x的不等式|ax-1|2在-1,1上恒成立,则实数a的取值范围为.四、解答题(本大题
5、共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设集合A=y|y=x2,2x2,B=xy=x+13-x,C=x|t+1x0时,f(x)=2x+1.(1)求f(x)的解析式;(2)当x0,那么该函数在(0,t上是减函数,在t,+)上是增函数.(1)已知f(x)=4x2-12x-32x+1,x0,1,利用上述性质,求函数f(x)的单调区间和值域;(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)=-x-2a,若对任意x10,1,总存在x20,1,使得g(x2)=f(x1)成立,求实数a的值.答案全解全析全书综合测评1.D2.A3.A4.B5.D6.C7.B8.B9.AD10
6、.AC11.BC12.BD一、单项选择题1.DN=xN|0x2=0,1,2,MN=0,1,2,MN中元素的个数为3.故选D.2.A因为命题p为存在量词命题,所以p为“xR,x2+2x+20”.故选A.3.A偶函数f(x)的定义域为R,当x0,+)时,f(x)是增函数,在区间(-,0上f(x)是减函数,f(-)=f(),f()f(-3)f(-2).故选A.4.B对于任意xR,函数f(x)满足f(x+4)+f(-x)=0,函数的图像关于点(2,0)对称,函数f(x)的零点关于直线x=2对称,函数f(x)的5个零点中有2对关于直线x=2对称,中间的零点是2,x1+x2+x3+x4+x5=24+2=1
7、0.故选B.5.D因为f(x)为偶函数,且在0,+)单调递增,所以函数f(x)在(-,0单调递减,且函数f(x)的图像关于y轴对称.若a0-ab,根据函数单调性可得f(-a)f(b),即f(a)b不能推出f(a)f(b);若f(a)f(b),根据函数的单调性可得|a|b|,也不能推出ab.综上,ab是f(a)f(b)的既不充分也不必要条件.故选D.6.C函数g(x)=xf(x)的定义域为R,图像关于原点对称,所以g(x)是奇函数,所以g(-2)=-g(2)=0,g(0)=0.因为函数g(x)在(-,0)上是减函数,所以g(x)在(0,+)上也是减函数.作出函数g(x)=xf(x)的大致图像如图
8、所示.由图可知,使得f(x)0的x的取值范围为(-,-2)(2,+).7.B由4x+y=xy得4y+1x=1,则x+y=(x+y)4y+1x=4xy+yx+1+424+5=9,当且仅当4xy=yx,即x=3,y=6时取等号.故选B.8.B方程x+kx-1=0有且只有3个实数根等价于y=x的图像与y=-kx+1的图像有且只有3个交点,当0x1时,x=x,当1x2时,x=x-1,当2x3时,x=x-2,当3x2时,f(x)=-(x-2)2(-,0),所以函数f(x)=x2,x2,-(x-2)2,x2的值域为R,故C正确;对于D,函数f(x)=|x|-2的值域为-2,+),故D错误.11.BCf(x
9、)+f(-x)=x+1x-1+-x+1-x-1=2x2+2x2-10,A不符合题意;f(x)-1f(-x)=x+1x-1-x-1-x+1=0,B符合题意;f(x)f(-x)=x+1x-1-x+1-x-1=1,C符合题意;f(x)-f(-x)=x+1x-1-x-1x+1=4xx2-1,不恒等于0,D不符合题意.故选BC.12.BD对于A,f(x)=1x在定义域(-,0)(0,+)上是奇函数,但在定义域上不是减函数,故不满足题意;对于B,f(x)=-x3在定义域R上是奇函数,且是减函数,故满足题意;对于C,f(x)=x|x|=x2,x0,-x2,x0在定义域R上是奇函数,且是增函数,故不满足题意;
10、对于D,f(x)=-x在定义域R上是奇函数,且是减函数,故满足题意.故选BD.三、填空题13.答案(-2,-1)0,1解析因为集合A=x|x(x+2)0,B=x|x|1,所以A=x|-2x0,B=x|-1x1,所以AB=(-2,1,AB=-1,0),所以题图中阴影部分表示的区间为AB(AB)=(-2,-1)0,1.14.答案-5解析f23=323+1=3,ff23=f(3)=9+3a=-6,解得a=-5.15.答案解析令x1=1,x2=2,则f(x1+x2)=13f(x1)+f(x2)=32,故错误;对于任意x1,x2(x1x2),有f(x1x2)=1x1x2=f(x1)f(x2),故正确;f
11、(x1)-f(x2)x1-x2=-1x1x20,故错误;fx1+x22-f(x1)+f(x2)2=2x1+x2-1x1+1x22=-(x1-x2)22x1x2(x1+x2)0,则-aaxa,a3,-a-1,a0,解得0a1;若a=0,则-103,满足条件;若a0,则aax-a,-a3,a-1,a0,解得-1a0.综上,实数a的取值范围是-1,1.四、解答题17.解析(1)A=y|y=x2,2x2,A=y|2y4.(2分)B=xy=x+13-x,B=x|0x3,(4分)AB=x|2x3.(5分)(2)AC=C,CA,(6分)若C是空集,则2tt+1,解得t1,符合题意;若C为非空集合,则t+12
12、,2t4,t+12t,解得10,(5分)由AB=得a4或3a2,即0a23或a4.(8分)又因为p,q都为真命题,所以0a23.(10分)所以实数a的取值范围是a|0a23.(12分)19.解析(1)设AM=zm,则4zx+x2=200,(2分)z=200-x24x,(4分)S=4200x2+210(200-x2)+802200-x24x200-x24x=4000x2+100x2+38000(0x23).(8分)(2)x2+100x220当且仅当x2=100x2,即x=10时,等号成立,(10分)当x=10时,S最小,最小值为400020+38000=118000.(12分)20.解析(1)由
13、题意得,当x=0时,f(x)=0;(2分)当x0,则f(-x)=2(-x)+1=-2x+1,即f(x)=-f(-x)=-(-2x+1)=2x-1.(4分)综上,f(x)=2x+1,x0,0,x=0,2x-1,x0.(6分)(2)当x0时,方程f(x)=x2+tx+2t仅有一实根,即2x-1=x2+tx+2t的负根仅有一个,(7分)即x2+(t-2)x+2t+1=0的负根仅有一个,设g(x)=x2+(t-2)x+2t+1,g(x)=0的两实根分别为x1,x2,当x10x2时,g(0)0,即2t+10,解得t-12,符合题意;当x10=x2时,g(0)=0,即t=-12,此时x2-52x=0,解得
14、x=0或x=52,不符合题意,舍去;当x1=x20时,=(t-2)2-4(2t+1)=0,-t-220,解得t=12,符合题意.(10分)综上,实数t的取值范围是t=12或t-12.(12分)21.解析(1)证明:a+b=2,且a,b均为正数,aba+b22=1,当且仅当a=b=1时,取等号,(2分)令t=ab,则00,2ab=1a-b,(8分)(a+b)2=(a-b)2+4ab=(a-b)2+2a-b,令x=a-b,则x0,可设g(x)=x2+2x,x0,(9分)任取x1,x21,+),且x1x21,则g(x1)-g(x2)=x12+2x1-x22-2x2=(x1-x2)x1+x2-2x1x
15、2,易知x1-x20,x1+x22,2x1x20,g(x1)g(x2),同理,任取x1,x2(0,1,且x1x2,则g(x1)g(x2),g(x)=x2+2x在(0,1上单调递减,在1,+)上单调递增,(11分)g(x)min=g(1)=3,即(a+b)min2=3,(a+b)min=3,a+b的最小值为3.(12分)22.解析(1)y=f(x)=4x2-12x-32x+1=(2x+1)2-8(2x+1)+42x+1=2x+1+42x+1-8,(2分)设u=2x+1,因为x0,1,所以1u3,则y=u+4u-8,u1,3.(3分)由题中所给出的性质得,当1u2,即0x12时,f(x)单调递减,所以函数f(x)的单调递减区间为0,12;当2u3,即12x1时,f(x)单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间为12,1.(5分)因为f(0)=-3,f12=-4,f(1)=-113,所以f(x)的值域为-4,-3.(6分)(2)g(x)=-x-2a为减函数,故当x0,1时,g(x)-1-2a,-2a.(8分)由题意得f(x)的值域是g(x)的值域的子集,(9分)所以-1-2a-4,-2a-3,(11分)解得a=32.(12分)12
