1、2015-2016 学年上海市复兴高级中学高二（上）期末数学试卷 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得 0 分1抛物线 x2=4y 的焦点坐标为 2已知复数 z 与（z+2）2+5 均为纯虚数，则复数 z=3已知直线 l 的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为 4若圆 C 经过点 A（1，2）及点 B（3，1），且以 AB 为直径，则圆 C 的标准方程为 5已知|z|=1，则的取值范围是 6抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点，抛物线方程为 7已知直线 xy1=0 与抛物线 y2=4x
2、交于 A、B 两点，则|AB|=8在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组所表示的区域上一动点，则直线 OM 斜率的最小值为 9与椭圆有相同的焦点且以 y=为渐近线的双曲线方程为 10在平面直角坐标系中，O 为原点，A（1，0），B（0，），C（3，0），动点 D 满足|=1，则|+|的最大值是 11已知函数 f（x）=与 g（x）mx+1m 的图象相交于点 A，B 两点，若动点 P 满足|+|=2，则 P 的轨迹方程是 12在平面直角坐标系 xOy 中，若动点 P（a，b）到两直线 l1：y=x 和 l2：y=x+2的距离之和为，则 a2+b2 的最大值为 13已知集合 M=（x，y）|
3、x3yx1，N=P|PAPB，A（1，0），B（1，0），则表示 MN 的图形面积为 14关于曲线，有如下结论：曲线 C 关于原点对称；曲线 C 关于直线 xy=0 对称；曲线 C 是封闭图形，且封闭图形的面积大于 2；曲线 C 不是封闭图形，且它与圆 x2+y2=2 无公共点；曲线 C 与曲线有 4 个交点，这 4 点构成正方形其中所有正确结论的序号为 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得 0 分15”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A充分非必要条
4、件 B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件16已知直线，则下列说法错误的是（）A直线的倾斜角为B直线必过点C当 t=1 时，直线上对应点到点（1，2）的距离是D直线不经过第二象限17若直线 ax+by3=0 与圆 x2+y2=3 没有公共点，设点 P 的坐标（a，b），那过点 P 的一条直线与椭圆=1 的公共点的个数为（）A0B1C2D1 或 218F1，F2 分别是双曲线的左右焦点，过点 F1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于 A、B 两点，若ABF2 是等边三角形，则的值为（）A2BCD 三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
5、定区域内写出必要的步骤19已知复数 z 满足 z=4（1）求复数 z 的共轭复数；（2）若 w=z+ai，且|w|z|，求实数 a 的取值范围20已知圆 C 过两点 A（0，4），B（4，6），且圆心在直线 x2y2=0 上（1）求圆 C 的方程；（2）若直线 l 过原点且被圆 C 截得的弦长为 6，求直线 l 的方程21在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y2=2x 相交于 A、B 两点（1）求证：“如果直线 l 过点 T（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由22设复数=x+yi（x，yR）与复平面上点 P（x，y）
6、对应（1）若 是关于 t 的一元二次方程 t22t+m=0（mR）的一个虚根，且|=2，求实数 m 的值；（2）设复数 满足条件|+3|+（1）n|3|=3a+（1）na（其中 nN*、常数），当 n 为奇数时，动点 P（x、y）的轨迹为 C1当 n 为偶数时，动点 P（x、y）的轨迹为 C2且两条曲线都经过点，求轨迹 C1 与 C2 的方程；（3）在（2）的条件下，轨迹 C2 上存在点 A，使点 A 与点 B（x0，0）（x00）的最小距离不小于，求实数 x0 的取值范围23已知椭圆 C：+=1（ab0）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（1）求椭圆 C 的标准方程；
7、（2）设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x=3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点）；当最小时，求点 T 的坐标 2015-2016 学年上海市复兴高级中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得 0 分1抛物线 x2=4y 的焦点坐标为（0，1）【考点】抛物线的简单性质【分析】确定抛物线的焦点位置，根据方程即可求得焦点坐标【解答】解：抛物线的焦点在 y 轴上，且 2p=4=1抛
8、物线 x2=4y 的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）2已知复数 z 与（z+2）2+5 均为纯虚数，则复数 z=3i【考点】复数的基本概念【分析】设 z=bi（bR，b0），然后代入（z+2）2+5 利用复数代数形式的乘除运算化简，结合已知条件列出方程组，求解即可得答案【解答】解：设 z=bi（bR，b0），（z+2）2+5=（bi+2）2+5=9b2+4bi 为纯虚数，解得 b=3，z=3i故答案为：3i 3已知直线 l 的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为 【考点】直线的斜率【分析】设直线的方向向量为=（a，b），直线的倾斜角为 利用=0，即可得出【解答】解：设直线的方向向量为
9、=（a，b），直线的倾斜角为 则=ab=0，=tan，=，故答案为：4若圆 C 经过点 A（1，2）及点 B（3，1），且以 AB 为直径，则圆 C 的标准方程为（x2）2+（y）2=【考点】圆的标准方程【分析】因为线段 AB 为所求圆的直径，所以利用中点坐标公式求出线段 AB 的中点即为所求圆的圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出圆心 C 与点 A 之间的距离即为所求圆的半径，根据求出的圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可【解答】解：A（1，2），B（3，1），设圆心为 C，圆心 C 的坐标为 C（2，）；|AC|=，即圆的半径 r=，则以线段 AB 为直径的圆的方程是（x2）2+（y）2=故
10、答案为：（x2）2+（y）2=5已知|z|=1，则的取值范围是 1，3【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据|z|=1，两个复数差的模的性质|z|z|zz|z|+|z|，求得的取值范围【解答】解：|z|=1，|z|1i|z1+i|z|+|1i|，即1|z1+i|3，故答案为：1，3 6抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点，抛物线方程为 y2=12x【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质【分析】求出椭圆的右焦点坐标，得到抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程【解答】解：椭圆的右焦点，（3，0），则抛物线的 p=6，物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点，所求抛物线方程为：y2=1
11、2x故答案为：y2=12x 7已知直线 xy1=0 与抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点，则|AB|=8【考点】抛物线的简单性质【分析】联立方程组，消去 y，利用韦达定理以及抛物线的性质能求出|AB|的值【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），直线 xy1=0 经过抛物线的焦点联立方程组，得 x26x+1=0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=6，x1x2=1，k=1，|AB|=x1+x2+p=8故答案为：8 8在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组所表示的区域上一动点，则直线 OM 斜率的最小值为 【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性
12、规划的知识，利用目标函数的几何意义即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由图象可知当点 M 位于 A 时，直线的斜率最小，由，解得，即 A（3，1），OM 的斜率 k=，故答案为：9与椭圆有相同的焦点且以 y=为渐近线的双曲线方程为 【考点】圆锥曲线的共同特征【分析】先根据椭圆的方程求出焦点坐标，得到双曲线的 c 值，再由渐近线方程，和 b=得到 a，b 的值，可得到双曲线的方程【解答】解：椭圆的焦点为（5，0）（5，0），故双曲线中的 c=5，且满足所以双曲线的方程为故答案为：10在平面直角坐标系中，O 为原点，A（1，0），B（0，），C（3，0），动点 D
13、满足|=1，则|+|的最大值是+1【考点】参数方程化成普通方程；向量在几何中的应用【分析】由题意可得，点 D 在以 C（3，0）为圆心的单位圆上，设点 D 的坐标为（3+cos，sin），求得|+|+|+|，可得|+|的最大值【解答】解：由题意可得，点 D 在以 C（3，0）为圆心的单位圆上，设点 D 的坐标为（3+cos，sin），则|+|+|+|=+1|+|的最大值是+1，故答案为：+1 11已知函数 f（x）=与 g（x）mx+1m 的图象相交于点 A，B 两点，若动点 P 满足|+|=2，则 P 的轨迹方程是（x1）2+（y1）2=4【考点】轨迹方程【分析】联立直线方程和双曲线方程，求
14、得 A，B 的坐标，写出向量的坐标，求出两向量的坐标和，由向量的模等于 2 化简整理得到 P 的轨迹方程【解答】解：联立函数 f（x）=与 g（x）mx+1m 得 x=1当 x=1时，y=1m，当 x=1+时，y=1+m，设动点 P（x，y），则=（1x，1my），=（1+x，1+my），则+=（22x，22y），由|+|=2，得（22x）2+（22y）2=4，即（x1）2+（y1）2=4，P 的轨迹方程是（x1）2+（y1）2=4，故答案为（x1）2+（y1）2=4 12在平面直角坐标系 xOy 中，若动点 P（a，b）到两直线 l1：y=x 和 l2：y=x+2的距离之和为，则 a2+b2
15、 的最大值为 18【考点】点到直线的距离公式【分析】利用点到直线的距离公式可得：|ab|+|a+b2|=4通过分类讨论可知：点（a，b）是如图所示的正方形的 4 条边即可得到最大值【解答】解：动点 P（a，b）到两直线 l1：y=x 和 l2：y=x+2 的距离之和为，化为|ab|+|a+b2|=4分为以下 4 种情况：或或或可知点（a，b）是如图所示的正方形的 4 条边可知：当取点 A 时，取得最大值=a2+b2 的最大值为 18故答案为：18 13已知集合 M=（x，y）|x3yx1，N=P|PAPB，A（1，0），B（1，0），则表示 MN 的图形面积为+2【考点】交集及其运算【分析】建
16、立坐标系：M 为直线 y=x1 和 y=x3 之间的点的集合（含线上的点），N 集合为以（3，0）为中心，半径为 2的圆内的点的集合，联立方程组，求出点 C，D 的坐标，求出 CD 的长，再解直角三角形，求出扇形的圆心角，根据图形之间的面积，最后求出 MN 的图形面积【解答】解：建立坐标系：M 为直线 y=x1 和 y=x3 之间的点的集合（含线上的点），设 P 点的坐标为（x，y）则可将 PAPB 表示成：，（x+1）2+y22（x1）2+y2，（x3）2+y2 8，即 N 集合为以（3，0）为中心，半径为 2的圆内的点的集合，则直线 y=x3 经过圆心 F，过圆心 F 做 FECD，垂足为
17、 E，联立方程组得到，解得 x=2，y=1，则 D（2，1），C（2+，1+），|CD|2=（2+2+）2+（1+1+）2=24，即 CD=2，CE=CD=，在直角三角形 CEF 中，sinCFE=，CFE=60，CFD=120，S 扇形 CFD=8=，SCFD=CFDFsin120=8=2，S 弓形=S 扇形 CFDSCFD=2，S 半圆=8=4，SMN 的图形=S 半圆S 弓形=4（2）=+2，故答案为：+2 14关于曲线，有如下结论：曲线 C 关于原点对称；曲线 C 关于直线 xy=0 对称；曲线 C 是封闭图形，且封闭图形的面积大于 2；曲线 C 不是封闭图形，且它与圆 x2+y2=2
18、 无公共点；曲线 C 与曲线有 4 个交点，这 4 点构成正方形其中所有正确结论的序号为 【考点】命题的真假判断与应用【分析】，将方程中的 x 换成x，y 换成y 方程不变；，将方程中的 x 换成y，y 换成x 方程不变，；，由方程得 x21，y21，故曲线 C 不是封闭图形；，联立曲线圆 x2+y2=2，方程组无解，无公共点；，当 x0，y0 时，联立曲线 C 与 x+y=2只有一解（），根据对称性，共有有 4 个交点，这 4 点构成正方形，【解答】解：对于，将方程中的 x 换成x，y 换成y 方程不变，故正确；对于，将方程中的 x 换成y，y 换成x 方程不变，故正确；对于，由方程得 x2
19、1，y21，故曲线 C 不是封闭图形，故错；对于，联立曲线圆 x2+y2=2，方程组无解，无公共点，故正确；对于，当 x0，y0 时，联立曲线 C 与 x+y=2只有一解（），根据对称性，共有有 4 个交点，这 4 点构成正方形，正确故答案为：二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得 0 分15”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件
20、的定义，结合直线和抛物线的位置关系进行判断即可【解答】解：”直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出”直线与抛物线相切”，不是必要条件，如图示：，直线和抛物线的对称轴平行时只有 1 个交点，但不相切，故选：A 16已知直线，则下列说法错误的是（）A直线的倾斜角为B直线必过点C当 t=1 时，直线上对应点到点（1，2）的距离是D直线不经过第二象限【考点】参数方程化成普通方程【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：直线，普通方程为 3x4y25=0，直线的倾斜角为 arctan；x=1 时，y=，直线不经过第二象限，故选
21、 C 17若直线 ax+by3=0 与圆 x2+y2=3 没有公共点，设点 P 的坐标（a，b），那过点 P 的一条直线与椭圆=1 的公共点的个数为（）A0B1C2D1 或 2【考点】椭圆的简单性质【分析】根据直线 ax+by3=0 与圆 x2+y2=3 没有公共点即为将方程代入圆中消去x 得到方程无解，利用根的判别式小于零求出 a 与 b 的关系式，得到 a 与 b 的绝对值的范围，再根据椭圆的长半轴长和短半轴长，比较可得公共点的个数【解答】解：将直线 ax+by3=0 变形代入圆方程 x2+y2=3，消去 x，得（a2+b2）y26by+93a2=0令0 得，a2+b23又 a、b 不同时
22、为零，0a2+b23由 0a2+b23，可知|a|，|b|，椭圆方程知长半轴 a=2，短半轴 b=，可知 P（a，b）在椭圆内部，过点 P 的一条直线与椭圆=1 的公共点有 2 个故选：C 18F1，F2 分别是双曲线的左右焦点，过点 F1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于 A、B 两点，若ABF2 是等边三角形，则的值为（）A2BCD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的定义算出AF1F2 中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由ABF2 是等边三角形得F1AF2=120，利用余弦定理算出 c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线 C 的离心率【解答】解：根据双曲线的定义，可
23、得|BF1|BF2|=2a，ABF2 是等边三角形，即|BF2|=|AB|，|BF1|BF2|=2a，即|BF1|AB|=|AF1|=2a，又|AF2|AF1|=2a，|AF2|=|AF1|+2a=4a，AF1F2 中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，F1AF2=120，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|22|AF1|AF2|cos120，即 4c2=4a2+16a222a4a（）=28a2，解之得 c=a，由此可得双曲线 C 的离心率 e=故选：B 三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19已知复数 z 满足
24、 z=4（1）求复数 z 的共轭复数；（2）若 w=z+ai，且|w|z|，求实数 a 的取值范围【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】（1）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出；（2）利用复数模的计算公式、一元二次不等式的解法即可得出【解答】解：（1），（2）w=8+（2+a）i，|w|z|，则 68+4a+a268，a2+4a0，4a0，所以，实数 a 的取值范围是：4a0 20已知圆 C 过两点 A（0，4），B（4，6），且圆心在直线 x2y2=0 上（1）求圆 C 的方程；（2）若直线 l 过原点且被圆 C 截得的弦长为 6，求直线 l 的方程【考点】直线与圆相交的性质【分析】
25、（1）线段 AB 的垂直平分线为 2x+y9=0 与直线 x2y2=0 联立，求出圆心坐标，半径，即可求圆 C 的方程；（2）分类讨论，求出圆心 C 到直线 l 的距离，利用直线 l 过原点且被圆 C 截得的弦长为 6，结合勾股定理，求出 k，即可求直线 l 的方程【解答】解：（1）线段 AB 的垂直平分线为 2x+y9=0 与直线 x2y2=0 联立可得圆心 C（4，1），半径 r=5，故所求圆 C 的标准方程为（x4）2+（y1）2=25（2）当直线 l 的斜率不存在时，x=0 显然满足题意；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l：y=kx，弦长为 6，圆心 C 到直线 l 的距离 d=4，
26、即，解得，此时直线 l：15x+8y=0，故所求直线 l 的方程为 x=0 或 15x+8y=0 21在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y2=2x 相交于 A、B 两点（1）求证：“如果直线 l 过点 T（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由【考点】四种命题的真假关系；抛物线的简单性质【分析】（1）设出 A，B 两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可，（2）把（1）中题设和结论变换位置然后设出 A，B 两点的坐标根据向量运算求证即可【解答】解：（1）设过点 T（3，0）的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A（x1，
27、y1）、B（x2，y2）当直线 l 的钭率不存在时，直线 l 的方程为 x=3，此时，直线 l 与抛物线相交于点 A（3，）、B（3，）=3；当直线 l 的钭率存在时，设直线 l 的方程为 y=k（x3），其中 k0，由得 ky22y6k=0y1y2=6又，综上所述，命题“如果直线 l 过点 T（3，0），那么=3”是真命题；（2）逆命题是：设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点，如果=3，那么该直线过点 T（3，0）该命题是假命题例如：取抛物线上的点 A（2，2），B（，1），此时=3，直线 AB 的方程为：，而 T（3，0）不在直线 AB 上；说明：由抛物线 y2=2x 上的点
28、 A（x1，y1）、B（x2，y2）满足=3，可得 y1y2=6，或 y1y2=2，如果 y1y2=6，可证得直线 AB 过点（3，0）；如果 y1y2=2，可证得直线AB 过点（1，0），而不过点（3，0）22设复数=x+yi（x，yR）与复平面上点 P（x，y）对应（1）若 是关于 t 的一元二次方程 t22t+m=0（mR）的一个虚根，且|=2，求实数 m 的值；（2）设复数 满足条件|+3|+（1）n|3|=3a+（1）na（其中 nN*、常数），当 n 为奇数时，动点 P（x、y）的轨迹为 C1当 n 为偶数时，动点 P（x、y）的轨迹为 C2且两条曲线都经过点，求轨迹 C1 与 C
29、2 的方程；（3）在（2）的条件下，轨迹 C2 上存在点 A，使点 A 与点 B（x0，0）（x00）的最小距离不小于，求实数 x0 的取值范围【考点】复数的基本概念；轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由实系数方程虚根成对，利用韦达定理直接求出 m 的值（2）方法一：分 n 为奇数和偶数，化出 a 的范围，联立双曲线方程，求出 a 值，推出双曲线方程即可方法二：由题意分 a 的奇偶数，联立方程组，求出复数，解出 a，根据双曲线的定义求出双曲线方程（3）设点 A 的坐标，求出|AB|表达式，根据 x 范围，x 的对称轴讨论，时，|AB|的最小值，不小于，求出实数 x0 的取值范围【
30、解答】解：（1）是方程的一个虚根，则是方程的另一个虚根，则，所以 m=4（2）方法 1：当 n 为奇数时，|+3|3|=2a，常数），轨迹 C1 为双曲线，其方程为，xa；当 n 为偶数时，|+3|+|3|=4a，常数），轨迹 C2 为椭圆，其方程为；依题意得方程组解得 a2=3，因为，所以，此时轨迹为 C1 与 C2 的方程分别是：，x，方法 2：依题意得轨迹为 C1 与 C2 都经过点，且点对应的复数，代入上式得，即对应的轨迹 C1 是双曲线，方程为；对应的轨迹 C2 是椭圆，方程为（3）由（2）知，轨迹 C2：，设点 A 的坐标为（x，y），则=，当即时，当即时，综上或，23已知椭圆 C
31、：+=1（ab0）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x=3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点）；当最小时，求点 T 的坐标【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2 及焦距 2c=4 建立方程组求得 a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线 PQ 的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点 T 的坐标【
32、解答】解：（1）依题意有解得所以椭圆 C 的标准方程为+=1（2）设 T（3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ 的中点为 N（x0，y0），证明：由 F（2，0），可设直线 PQ 的方程为 x=my2，则 PQ 的斜率由（m2+3）y24my2=0，所以，于是，从而，即，则直线 ON 的斜率，又由 PQTF 知，直线 TF 的斜率，得 t=m从而，即 kOT=kON，所以 O，N，T 三点共线，从而 OT 平分线段 PQ，故得证由两点间距离公式得，由弦长公式得=，所以，令，则（当且仅当 x2=2 时，取“=”号），所以当最小时，由 x2=2=m2+1，得 m=1 或 m=1，此时点 T 的坐标为（3，1）或（3，1）2017 年 3 月 19 日
