1、2015-2016学年上海市复兴高级中学高一（上）期末数学试卷一、填空题1设全集U=nN|1n10，A=1，2，3，5，8，B=1，3，5，7，9，则（UA）B=2已知3a=2，那么log38log362用a表示是3设f（x）=9x2.3x，则f1（0）=4函数的单调递增区间是5函数y=log2（x26x+17）的值域是6设x，yR+，且x+4y=40，则lgx+lgy的最大值为7幂函数y=f（x）的图象过点A（4，2），则函数y=f（x）的反函数为8若函数f（x）=|x+1|+|xa|的最小值为5，则实数a=9若f（x）=，则满足f（x）0的x的取值范围是10已知函数f（x）=x2mx+1的
2、两个零点分别在区间（0，1）和（1，2），则实数m的取值范围11设，函数y=g（x）的图象与y=f1（x+1）的图象关于直线y=x对称，则g（3）=12若f（x）=|log2x|m有两个零点x1，x2（x1x2），则的最小值为13如图所示，已知函数 y=log24x图象上的两点 A、B 和函数 y=log2x上的点 C，线段 AC平行于 y 轴，三角形 ABC 为正三角形时，点B的坐标为 （p，q），则 p22q的值为14若点A（x1，y1）、B（x2，y2）同时满足一下两个条件：（1）点A、B都在函数y=f（x）上；（2）点A、B关于原点对称；则称点对（x1，y1），（x2，y2）是函数f（
3、x）的一个“姐妹点对”已知函数，则函数f（x）的“姐妹点对”是二、选择题15“log2x3”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既非充分也非必要条件16若Mx|y=2x+1，N=y|y=x2，则集合M，N的关系是（）AMN=（1，1）BMN=CMNDNM17已知f（x）是偶函数，xR，当x0时，f（x）为增函数，若x10，x20，且|x1|x2|，则（）Af（x1）f（x2）Bf（x1）f（x2）Cf（x1）f（x2）Df（x1）f（x2）18函数f（x）=ax2+bx+c（a0）的图象关于直线对称据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程mf（x
4、）2+nf（x）+p=0的解集都不可能是（）A1，2B1，4C1，2，3，4D1，4，16，64三、解答题：（本大题满分74分，共有5题，解答下列各题必须在答题卷的响应编号规定区域内写出必要的步骤）19（12分）记关于x的不等于的解集为P，不等式|xa|1的解集为Q（1）求出集合P；（2）若PQ=Q，求实数a的取值范围20（14分）利民工厂生产的某种产品，当年产量在150T至250T之内，当年生产的总成本y（万元）与年产量x（T）之间的关系可近似地表示为（）当年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨最低平均成本；（）若每吨平均出厂价为16万元，求年生产多少吨时，可获得最大的年利润，并求最
5、大年利润21（14分）关于x的方程lg（x1）+lg（3x）=lg（ax），其中a是实常数（1）当a=2时，解上述方程（2）根据a的不同取值，讨论上述方程的实数解的个数22（16分）设函数f（x）=ax（k1）ax（a0且a1）是定义域为R的奇函数（1）求k值；（2）若f（1）0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4x）0恒成立的t的取值范围；（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a2x2mf（x）在1，+）上的最小值为2，求m的值23（18分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立（1）函数f（x）=是
6、否属于集合M？说明理由；（2）设函数f（x）=lgM，求a的取值范围；（3）设函数y=2x图象与函数y=x的图象有交点，证明：函数f（x）=2x+x2M2015-2016学年上海市复兴高级中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1设全集U=nN|1n10，A=1，2，3，5，8，B=1，3，5，7，9，则（UA）B=7，9【考点】交、并、补集的混合运算【分析】由条件利用补集的定义求得UA，再根据两个集合的交集的定义求得（UA）B【解答】解：全集U=nN|1n10，A=1，2，3，5，8，B=1，3，5，7，9，（UA）=4，6，7，9 ，（UA）B=7，9，故答案为：7，9【点评
7、】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题2已知3a=2，那么log38log362用a表示是a2【考点】对数的运算性质【分析】由对数的运算法则知log38=3log32，log36=log32+1，由此根据题设条件能求出log382log36用a表示的式子【解答】解：3a=2，a=log32，log382log36=3log322（log32+log33）=3a2（a+1）=a2故答案为：a2【点评】本题考查对数的运算法则，解题时要认真审题，仔细求解，注意合理地进行转化3设f（x）=9x2.3x，则f1（0）=log32【考点】函数的值【分析】由f（x）
8、=9x2.3x=0，能求出f1（0）的值【解答】解：f（x）=9x2.3x，当f（x）=0，即9x2.3x=0时，9x=23x，解得x=log32，f1（0）=log32故答案为：log32【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意反函数性质的合理运用4函数的单调递增区间是（，0【考点】指数函数的图象变换【分析】根据题意，本题即函数y=|x|的减区间，从而得出结论【解答】解：函数的单调递增区间，即函数y=|x|的减区间，而函数y=|x|的减区间为（，0，故答案为：（，0【点评】本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、绝对值函数的性质，属于基础题5函数y=log2（x26x+
9、17）的值域是3，+）【考点】对数函数的值域与最值【分析】设t=x26x+17=（x3）2+8转化为函数y=，t8，+），根据y=，在t8，+）上单调递增，可求解【解答】解：设t=x26x+17=（x3）2+8函数y=log2（x26x+17），则函数y=，t8，+），y=，在t8上单调递增，当t=8时，最小值为log=3，故答案为：3，+）【点评】本题考察了二次函数，对数函数性质，综合解决问题6设x，yR+，且x+4y=40，则lgx+lgy的最大值为2【考点】对数的运算性质【分析】利用基本不等式的性质、对数的运算性质即可得出【解答】解：x，yR+，且x+4y=40，40，解得xy100，当
10、且仅当x=4y=20时取等号则lgx+lgy=lg（xy）2，因此其最大值为2故答案为：2【点评】本题考查了基本不等式的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7幂函数y=f（x）的图象过点A（4，2），则函数y=f（x）的反函数为y=x2，x0【考点】反函数；幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】先求出y=f（x）=，由此能求出函数y=f（x）的反函数【解答】解：幂函数y=f（x）=x的图象过点A（4，2），f（4）=4=2，解得=，y=f（x）=，x=y2，x，y互换，得函数y=f（x）的反函数为y=x2，x0故答案为：y=x2，x0【点评】本题考查反函数的求法，是基
11、础题，解题时要认真审题，注意幂函数性质的合理运用8若函数f（x）=|x+1|+|xa|的最小值为5，则实数a=4或6【考点】绝对值三角不等式【分析】函数f（x）=|x+1|+|xa|的几何意义是点x与点1的距离及点x与点a的距离之和，从而解得【解答】解：函数f（x）=|x+1|+|xa|的几何意义是：点x与点1的距离及点x与点a的距离之和，故函数f（x）=|x+1|+|xa|的最小值为|1+a|=5，故a=4或6，故答案为：4或6【点评】本题考查了学生对于绝对值的理解掌握情况，同时考查了数形结合的思想应用9若f（x）=，则满足f（x）0的x的取值范围是（0，1）【考点】指、对数不等式的解法；其
12、他不等式的解法【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可【解答】解：f（x）=，若满足f（x）0，即，y=是增函数，的解集为：（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力10已知函数f（x）=x2mx+1的两个零点分别在区间（0，1）和（1，2），则实数m的取值范围（2，）【考点】函数零点的判定定理【分析】由函数零点的判定定理可知：f（0）=10，即可求得实数m的取值范围【解答】解：由题意可知：函数f（x）=x2mx+1的两个零点分别在区间（0，1）和（1，2），f（0）=10，则，即，解得：2m，实数m的取值范围（2，），故答案为（2，
13、）【点评】本题考查一元二次函数零点的判定，考查不等式的解法，属于基础题11设，函数y=g（x）的图象与y=f1（x+1）的图象关于直线y=x对称，则g（3）=0【考点】对数函数的图象与性质【分析】根据反函数的定义求出f（x）的反函数g（x），求出g（3）的值即可【解答】解：由y=log2，得：2y=，解得：x=，故f1（x）=，f1（x+1）=，故g（x）=log21，故g（3）=11=0，故答案为：0【点评】本题考查反函数的求法，考查指数式和对数式的互化，指数函数的反函数是对数函数，对数函数的反函数是指数函数，互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称12若f（x）=|log2x|m有两个
14、零点x1，x2（x1x2），则的最小值为4【考点】函数零点的判定定理【分析】由题意可知：求得f（x）的两个零点，则=22m+4（）2m=22m+222m2=2=4【解答】解：由题意可知：f（x）=|log2x|m有两个零点x1，x2（x1x2），则x1=2m，x2=（）m，=22m+4（）2m=22m+2222m=22m+222m2=2=4，的最小值4故答案为：4【点评】本题考查函数零点定理的判定，考查含绝对值的函数的零点判断，基本不等式的性质，属于中档题13如图所示，已知函数 y=log24x图象上的两点 A、B 和函数 y=log2x上的点 C，线段 AC平行于 y 轴，三角形 ABC 为
15、正三角形时，点B的坐标为 （p，q），则 p22q的值为12【考点】对数函数的图象与性质【分析】根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段ACy轴，ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出p、q的值，计算出结果【解答】解：根据题意，设A（x0，2+log2x0），B（p，q），C（x0，log2x0），线段ACy轴，ABC是等边三角形，AC=2，2+log2p=q，p=2q2，4p=2q；又x0p=，p=x0，x0=p+；又2+log2x0q=1，log2x0=q1，x0=2q1=；p+=，2p+2=2q=4p，p=，2q=4；p22q=34=12故答案为：12【点评】本题考查了指数函
16、数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，是较难的题目14若点A（x1，y1）、B（x2，y2）同时满足一下两个条件：（1）点A、B都在函数y=f（x）上；（2）点A、B关于原点对称；则称点对（x1，y1），（x2，y2）是函数f（x）的一个“姐妹点对”已知函数，则函数f（x）的“姐妹点对”是（1，3），（1，3）【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】设x10，则y1=x14，由“姐妹点对”的定义知x2=x1，y2=y1=4x1，由此能求出函数f（x）的“姐妹点对”【解答】解：设x10，则y1=x14，点对（x1，y1），（x2，y2）是函数f（x）的一个“姐妹点对
17、”，x2=x1，y2=（x1）22（x1）=y1=4x1，解得x1=1或x1=4（舍），函数f（x）的“姐妹点对”是（1，3），（1，3）故答案为：（1，3），（1，3）【点评】本题考查函数的“姐妹点对”的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用二、选择题15“log2x3”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据对数以及指数的运算求出关于x的范围，结合集合的包含关系判断即可【解答】解：由log2x3，解得：0x8，由“”，解得：x8，故“log2x3”是“”的充分不必要条件，故选：A
18、【点评】本题考查了充分必要条件，考查对数函数以及指数函数的性质，是一道基础题16若Mx|y=2x+1，N=y|y=x2，则集合M，N的关系是（）AMN=（1，1）BMN=CMNDNM【考点】交集及其运算【分析】求出Mx|y=2x+1=R，N=y|y=x2=y|y0，由此能判断集合M，N的关系【解答】解：Mx|y=2x+1=R，N=y|y=x2=y|y0，集合M，N的关系是NM故选：D【点评】本题考查两个集合的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意集合性质的合理运用17已知f（x）是偶函数，xR，当x0时，f（x）为增函数，若x10，x20，且|x1|x2|，则（）Af（x1）f（x2）B
19、f（x1）f（x2）Cf（x1）f（x2）Df（x1）f（x2）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论【解答】解：f（x）是偶函数，xR，当x0时，f（x）为增函数，且|x1|x2|，f（|x1|）f（|x2|），则f（x1）f（x2）成立，故选：B【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键18函数f（x）=ax2+bx+c（a0）的图象关于直线对称据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程mf（x）2+nf（x）+p=0的解集都不可能是（）A1，2B1，4C1，2，3，4D1，4，16，
20、64【考点】二次函数的性质【分析】根据函数f（x）的对称性，因为mf（x）2+nf（x）+p=0的解应满足y1=ax2+bx+c，y2=ax2+bx+c，进而可得到方程mf（x）2+nf（x）+p=0的根，应关于对称轴x=对称，对于D中4个数无论如何组合都找不到满足条件的对称轴，故解集不可能是D【解答】解：f（x）=ax2+bx+c的对称轴为直线x=令设方程mf（x）2+nf（x）+p=0的解为f1（x），f2（x） 则必有f1（x）=y1=ax2+bx+c，f2（x）=y2=ax2+bx+c那么从图象上看，y=y1，y=y2是一条平行于x轴的直线它们与f（x）有交点由于对称性，则方程y1=a
21、x2+bx+c的两个解x1，x2要关于直线x=对称也就是说x1+x2=同理方程y2=ax2+bx+c的两个解x3，x4也要关于直线x=对称那就得到x3+x4=，在C中，可以找到对称轴直线x=2.5，也就是1，4为一个方程的解，2，3为一个方程的解所以得到的解的集合可以是1，2，3，4而在D中，1，4，16，64找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和故答案D不可能故选D【点评】本题主要考查二次函数的性质对称性，二次函数在高中已经作为一个工具来解决有关问题，在解决不等式、求最值时用途很大三、解答题：（本大题满分74分，共有5题，解答下列各题必
22、须在答题卷的响应编号规定区域内写出必要的步骤）19（12分）（2015秋虹口区校级期末）记关于x的不等于的解集为P，不等式|xa|1的解集为Q（1）求出集合P；（2）若PQ=Q，求实数a的取值范围【考点】交集及其运算【分析】（1）利用分式不等式的性质能求出集合P（2）利用交集性质能求出实数a的取值范围【解答】解：（1）x的不等于的解集为P，P=x|=x|1x3（2）P=x|1x3，不等式|xa|1的解集为QQ=x|xa|1=x|a1xa+1，PQ=Q，PQ，无解，实数a的取值范围是【点评】本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用20（14
23、分）（2009奉贤区校级模拟）利民工厂生产的某种产品，当年产量在150T至250T之内，当年生产的总成本y（万元）与年产量x（T）之间的关系可近似地表示为（）当年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨最低平均成本；（）若每吨平均出厂价为16万元，求年生产多少吨时，可获得最大的年利润，并求最大年利润【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】（I）利用总成本除以年产量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值（II）利用收入减去总成本表示出年利润；通过配方求出二次函数的对称轴；由于开口向下，对称轴处取得最大值【解答】解：（I）设每吨的平均成本为W（万元/T），则，当且仅当，x=20
24、0（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为10万元（6分）（II）设年利润为u（万元），则=（11分）所以当年产量为230吨时，最大年利润1290万元（12分）【点评】本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需满足：正、二定、三相等、考查求二次函数的最值关键看对称轴21（14分）（2015秋虹口区校级期末）关于x的方程lg（x1）+lg（3x）=lg（ax），其中a是实常数（1）当a=2时，解上述方程（2）根据a的不同取值，讨论上述方程的实数解的个数【考点】对数函数的图象与性质【分析】（1）由对数的含义及运算法则，转化为二次方程的解，解出即可；（2）由对数
25、的含义及运算法则，转化为二次方程的解得问题处理即可，注意定义域【解答】解：（1）a=2时，lg（x1）+lg（3x）=lg（2x），x（1，2），故（x1）（3x）=2x，整理得：x25x+5=0，=2520=50，x=，x（1，2），故x=；（2）由题意x10且3x0，所以1x3，又lg（x1）+lg（3x）=lg（x1）（3x）=lg（ax）所以（x1）（3x）=ax在1x3上有两个实根，即判断x25x+a+3=0在（1，3）上个实根的个数所以a=x2+5x3，x（1，3），令f（x）=x2+5x3，x（1，3），f（1）=1，f（3）=3，f（）=，当1a3，或a=时，方程有1个实根，当
26、3a时，方程有2个实根，当a，a1时，方程无实根【点评】本题考查二次方程实根分布问题、对数的运算法则，同时考查等价转化思想，属于中档题22（16分）（2012长宁区一模）设函数f（x）=ax（k1）ax（a0且a1）是定义域为R的奇函数（1）求k值；（2）若f（1）0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4x）0恒成立的t的取值范围；（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a2x2mf（x）在1，+）上的最小值为2，求m的值【考点】指数函数综合题；函数奇偶性的性质【分析】（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值（2）由f（x）=axax（a0且a1），f（1）0，求得
27、1a0，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x2+tx）f（x4），即 x2+（t1）x+40 恒成立，由0求得t的取值范围（3）由f（1）=求得a的值，可得 g（x）的解析式，令t=f（x）=2x2x，可知f（x）=2x2x为增函数，tf（1），令h（t）=t22mt+2，（t），分类讨论求出h（t）的最小值，再由最小值等于2，求得m的值【解答】解：（1）f（x）是定义域为R的奇函数，f（0）=0，（2分）1（k1）=0，k=2（2）函数f（x）=axax（a0且a1），f（1）0，a0，又 a0，1a0（6分）由于y=ax单调递减，y=ax单调递增，故f（x）在R上单调递减不等式化为f（
28、x2+tx）f（x4）x2+txx4，即 x2+（t1）x+40 恒成立，（8分）=（t1）2160，解得3t5（10分）（3）f（1）=，a=，即2a23a2=0，a=2，或 a=（舍去）（12分）g（x）=22x+22x2m（2x2x）=（2x2x）22m（2x2x）+2令t=f（x）=2x2x，由（1）可知k=2，故f（x）=2x2x ，显然是增函数x1，tf（1）=，令h（t）=t22mt+2=（tm）2+2m2（t）（15分）若m，当t=m时，h（t）min=2m2=2，m=2（16分）若m，当t=时，h（t）min=3m=2，解得m=，舍去（17分）综上可知m=2（18分）【点评】
29、本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用，函数的奇偶性的应用，以及函数的恒成立问题，属于中档题23（18分）（2005闸北区一模）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立（1）函数f（x）=是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f（x）=lgM，求a的取值范围；（3）设函数y=2x图象与函数y=x的图象有交点，证明：函数f（x）=2x+x2M【考点】对数的运算性质【分析】（1）集合M中元素的性质，即有f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，代入函数解析式列出方程，进行求解，若无解则此函数不是M的元素，若有解则此函数是M的元
30、素；（2）根据f（x0+1）=f（x0）+f（1）和对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；（3）利用f（x0+1）=f（x0）+f（1）和f（x）=2x+x2M，整理出关于x0的式子，利用y=2x图象与函数y=x的图象有交点，即对应方程有根，与求出的式子进行比较和证明【解答】解：（1）若f（x）=M，在定义域内存在x0，则+1=0，方程x02+x0+1=0无解，f（x）=M；（2）由题意得，f（x）=lgM，lg+2ax+2（a1）=0，当a=2时，x=；当a2时，由0，得a26a+40，a综上，所求的；（10分）（3）函数f（x）=2x+x2M，3=，又函数y=2x图象与函数y=x的图象有交点，设交点的横坐标为a，则，其中x0=a+1f（x0+1）=f（x0）+f（1），即f（x）=2x+x2M（16分）【点评】本题的考点是元素与集合的关系，此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力
