1、2.3 等差数列的前n项和(2)【教学目标】1.知识与技能： 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n项和公式研究的最值.初步体验函数思想在解决数列问题中的应用.2.过程与方法： 通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力.3.情感、态度与价值观： 提高学生代数的思维能力，使学生获得一定的成就感； 通过生动具体的现实问题、数学问题，激发学生探究的兴趣与欲望，树立求真的勇气与自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感.【教学重点】等差数列前n项和公
2、式的掌握与应用.【教学难点】灵活应用求和公式解决问题.【教辅手段】多媒体投影仪、黑板【教学过程】I.情景设置温故知新 首先，回顾上一节所学的内容：（1）等差数列的前n项和公式1：（2）等差数列的前n项和公式2：.新知探究1. 等差数列的等价条件例1：已知数列的前项和，求（1）（2）求这个数列的通项公式.（3）这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？分析：课本例题，题型比较简单，主要是靠引导学生.过程略.设计意图本例题实际上给出了数列前项和公式判别是否是等差数列的依据，要让学生们知道等差数列前项是一个常数项为0的关于的二次型函数.接下来，我们来完成一探究题.如果一个数列的前 n
3、项和为.其中p、q、r 为常数，且 ，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：由 得又 时 此类数列从第二项开始为等差数列.归纳要使数列为等差数列，则即设计意图本探究实际上是对例1的深化，目的是为了让学生进一步认识到，如果一个数列的前项公式是一个常数项为0的关于的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使学生从结构上认识数列.2.等差数列的最值问题例2：已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值分析：等差数列的前n项和公式可以写成 ，所以 可以看成函数，当时的函数值.另一方面，容易知道 关于n的图像是一条抛物线上的一些点，因此，我们可以利用二次函数来求n的值
4、.解：由题意知，等差数列 的公差为 所以 当 n取与最接近的整数即为7或8时取最大值.设计意图通过学习等差数列前项和的函数性质来用于实际题型中的应用，加深对函数结构的认识。例3：等差数列 中，求使得最小的序号的值？解法一（同例2的解法一样，在此可以带过即可）：由得 因此 则 则由以上条件知有最小值.又 ，则=10或11时取最小值，最小值为.即 解法二：由解法一知 而则数列为递增数列.令 即数列的前10项均为负值, =0.从第12项开始为正值.n=10或n=11时取最小值.解法三：即又则数列 为递增数列.数列的前10项均为负值， =0.从第12项开始为正值.当n=10或11是取最小值.设计意图本
5、例是对例2 的深化，通过一般的求最值方法，引导学生思考用简单的方法来解决同样的问题，达到数学浅入深出的学习效果。3. 等差数列前项和的性质例4：已知数列是等差数列，是其前项和，求证也成等差数列，设成等差数列吗？解法一：由 可得 解法二： 同理可得： （的情况也类似，在此省略）设计意图本例是要求学生通过自己做题来得出结论的，但是为了学生能更好的理解这个结论并且应用这个结论，在本节课加了这个例题，希望可以减轻学生课后的负担。例5：（备用例题，时间允许可在课堂上讲解）若两个数列和的前项和和满足关系式求（分析：条件是前项和的比值，而结论是通项的比值，所以，需要将通项的比值转化为前项和的比值，恰当的应用
6、等差公式可以简化解题过程.）解：由等差数列性质：设计意图本例题对于初学者来说解答比较困难，若果让学生自行解答比较吃力，在这里加了讲解，希望对学生有所帮助。【归纳提升】1.等差数列的等价条件 若一个数列为等差数列，则 中的C必为0，A、B为任意常数.反之也成立.2.求等差数列前n项和的最值有两种方法第一种：根据项的正负来定若，则数列的所有正数项之和最大，若, 则数列的所有负数项之和最小.第二种：由二次函数的最大，小值知识及 知.当n取接近于的正整数时，取最大值（或最小值）值得注意的是接近的正整数有时1个，有时2个.3.等差数列前项和的性质若数列是等差数列，是其前项和，设也成等差数列.设计意图总结
7、是为了让学生明白本节课的重难点在哪，同时使学生回顾本节课的知识点，达到复习加总结的效果。【即时体验】问题1.等差数列中，求数列的前n项和的最小值.分析：利用归纳的2种解题方法进行求解：将Sn表示成关于n的一元二次函数的最值求解.确定数列中负值的个数，由所有项之和最小求解.解答过程略.问题2：已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为多少？解：成等差数列，设其公差为D，又首项为，前10项的和为又问题3：若两个等差数列的前项和之比是，试求它们的第11项之比.分析：同例3同题型，问题转化为具体的项之比，题目更简单化，解答过程在此处省略.设计意图及时巩固，让学生活学活用，直
8、接应用本节课所学的知识点来解决数学问题。达到加深理解的学习效果。八、课后延续P46习题2.3.A组第3题；P47习题2.3.B组第4题设计意图课后作业可以让学生加深本节课的认识，同时不忘记巩固。九、板书设计 幕布课题一、复习二、探究题归纳总结三、最值问题归纳四、等差数列性质一 例1二 探究分析三 例2分析四 例3分析十、备用问题（高考题）：【2010年高考福建卷理3】设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=-11，a4+a6=-6，则当Sn取最小值时，n等于（）A、6 B、7 C、8 D、9考点：等差数列的前n项和专题：常规题型分析：条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得解答： 解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2（-11）+8d=-6，解得d=2，所以 ，所以当n=6时，Sn取最小值故选A.十一、教后反思
