1、2015年上海市十二校联考高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1（4分）设集合A=x|2x10，xR，B=x|x|1，xR，则AB=x|x1【考点】： 交集及其运算【专题】： 集合【分析】： 求出集合A，B的等价条件，利用集合的基本运算即可【解析】： 解：A=x|2x10，xR=x|x，B=x|x|1，xR=x|1x1，则AB=x|x1；故答案为：x|x1；【点评】： 本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键2（4分）若函数f（x）=+1的反函数为f1
2、（x），则f1（1）=0【考点】： 反函数【专题】： 计算题【分析】： 欲求f1（1）的值，只须从条件中函数式f（x）=1中反解出x，即得f1（1）的值【解析】： 解：令f（x）=1，即：+1=1，解得：x=0，f1（1）=0故答案为：0【点评】： 本小题主要考查反函数、反函数的应用等基础知识，考查运算求解能力、转化思想属于基础题3（4分）椭圆+=1的焦距为4【考点】： 椭圆的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 直接利用椭圆的方程，求出长半轴，短半轴，然后求解焦距【解析】： 解：椭圆+=1的长半轴为3，短半轴为，则c=，椭圆的焦距为：4故答案为：4【点评】： 本题考查椭圆
3、的简单性质的应用，基本知识的考查4（4分）在（ax1）6的二项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a=2【考点】： 二项式系数的性质【专题】： 计算题【分析】： 由于在（ax1）6的二项展开式中共有7项，展开式的中间项为第4项，利用通项可得中间项的系数为a3C63，代入可求a的值【解析】： 解：在（ax1）6的二项展开式中共有7项，展开式的中间项为第4项，此时T4=C63（ax）3（1）3中间项的系数为a3C63=20a3=160a=2故答案为：2【点评】： 本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是要由n的值判断展开式的中间项哪一项及r的值与项数的关系5（4分）极坐标系内，O为极
4、点，设点A（3，），B（4，），则三角形AOB的面积为6【考点】： 三角形的面积公式【专题】： 解三角形【分析】： 利用极坐标求出三角形AOB中AOB的大小，然后利用面积公式求解即可【解析】： 解：极坐标系内，O为极点，设点A（3，），B（4，），AOB=，三角形AOB为直角三角形，它的面积：=6故答案为：6【点评】： 本题考查三角形的面积的求法，极坐标的应用，考查计算能力6（4分）若圆锥的全面积为底面积的3倍，则该圆锥母线与底面所成角大小为60【考点】： 直线与平面所成的角【专题】： 空间角【分析】： 根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l=2R，进而解三角形得到答案【解析】： 解
5、：设圆锥的底面半径为R，母线长为l，则：其底面积：S底面积=R2，其侧面积：S侧面积=2Rl=Rl，圆锥的全面积为底面积的3倍，圆锥的侧面积是其底面积的2倍，l=2R，故该圆锥的母线与底面所成的角有，cos=，=60，故答案为：60【点评】： 本题考查的知识点是旋转体，直线与平面所成角的求法，熟练掌握圆锥的底面积公式和侧面积公式，是解答的关键7（4分）若复数z=5cos4i（i为虚数单位，0）在复平面上的对应点在直线y=x1上，则sin=【考点】： 复数的代数表示法及其几何意义【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 由复数z=5cos4i在复平面上的对应点在直线y=x1上列式求得cos=，再由
6、的范围结合同角三角函数的基本关系式得答案【解析】： 解：复数z=5cos4i在复平面上的对应点在直线y=x1上，4=5cos1，即cos=，又0，故答案为：【点评】： 本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了三角函数的求值，是基础题8（4分）已知各项均为正数的等比数列an的首项a1=1，公比为q，前n项和为Sn，若，则公比为q的取值范围是（0，1【考点】： 数列的极限【专题】： 计算题【分析】： 根据等比数列的前n项和公式Sn，Sn+1列出关于q的表达式，利用条件，分类讨论然后求解即可得到答案【解析】： 解：当q=1的情况，Sn+1=（n+1）a1，所以成立，当q1是的情况，所以可以看出
7、当q为小于1的分数的时候成立，故答案为（0，1【点评】： 本题的考点是数列的极限，此主要考查极限及其运算，其中涉及到等比数列前n项和的求法，要分类讨论求解属于综合题目有一定的计算量9（4分）函数y=asinx+bcosx的一个对称轴方程为x=，则直线l：ax+by+c=0的倾斜角为【考点】： 两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；直线的倾斜角【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 由对称性可得f（0）=f（），可得ab的关系式，进而可得直线的斜率，可得倾斜角【解析】： 解：令y=f（x）=asinx+bcosx，函数y=asinx+bcosx的一个对称轴方程为x=，f（0）=f（），代值
8、可得f（0）=b，f（）=a，a=b，直线ax+by+c=0的斜率k=1，设其倾斜角为，则k=tan=1=，故答案为：【点评】： 本题考查三角函数的对称性，涉及直线的斜率和倾斜角，属中档题10（4分）小李同学在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则他在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率为（用最简分数表示）【考点】： 相互独立事件的概率乘法公式【专题】： 概率与统计【分析】： 学生在前两个路口都没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯，故概率等于（1p）（1p）p【解析】： 解：由于在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则第三个路口首
9、次遇到红灯为P=（1）（1）=故答案为：【点评】： 本题考查相互独立的事件的概率，属于基础题11（4分）小李同学今年寒假共抢得了九个红包，其中每个红包里有且仅有一个数字（单位为元），他将这九个数字组成如图所示的数阵，发现每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列若a22=26，则小李同学一共抢了234元的红包【考点】： 等差数列的性质【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 由题意结合等差数列的性质把9个数字的和转化为9a22得答案【解析】： 解：如图，由数阵中的每行和每列均成等差数列，可得a21+a23=2a22，a12+a32=2a22，a11+a13=2a12，a31+a3
10、3=2a32，a11+a13+a31+a33=2（a12+a32）=4a22，a11+a12+a13+a21+a22+a23+a31+a32+a33=9a22=926=234故答案为：234【点评】： 本题考查了等差数列的概念，考查了等差数列的性质，是基础题12（4分）对于实数m，n，定义一种运算“*”为：m*n=mn+n若函数f（x）=x*（a*x）有两个不同的零点，则满足条件的实数a的取值范围是a1【考点】： 函数的零点【专题】： 计算题；函数的性质及应用【分析】： 化简f（x）=x*（a*x）=x*（ax+x）=x（ax+x）+ax+x=（a+1）x2+x（a+1）=（a+1）x（x+1
11、）；从而由函数的零点与方程的关系得到实数a的取值范围【解析】： 解：由题意，f（x）=x*（a*x）=x*（ax+x）=x（ax+x）+ax+x=（a+1）x2+x（a+1）=（a+1）x（x+1）；故若函数f（x）=x*（a*x）有两个不同的零点，只需使a1；故答案为：a1【点评】： 本题考查了函数的化简与应用，同时考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于基础题13（4分）设点P是函数y=x+（x0）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A，B，则=2【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 设P（x，x+）（
12、x0），可得|PA|、|PB|，由O、A、P、B四点共圆，可得APB=，由数量积定义可求【解析】： 解：设P（x，x+）（x0），则点P到直线y=x和y轴的距离分别为：|PA|=，|PB|=xO、A、P、B四点共圆，所以APB=AOB=，=xcos=2，故答案为：2【点评】： 本题考查平面向量数量积的运算，涉及点到直线的距离公式和四点共圆的性质，属中档题14（4分）设函数y=f（x）由方程=1确定，下列结论正确的是（1）（2）（4）（请将你认为正确的序号都填上）（1）f（x）是R上的单调递增函数；（2）不等式f（x）=x0的解集为R；（3）方程f（x）+x3=0恒有两解；（4）f（x）存在反函
13、数f1（x），且反函数f1（x）由方程=1确定【考点】： 命题的真假判断与应用【专题】： 函数的性质及应用；简易逻辑【分析】： 由方程=1，对x，y分类讨论，画出其图象，利用椭圆与双曲线的性质即可判断出【解析】： 解：方程=1，当x0，y0时，化为；当x0，y0时，化为+=1；当x0，y0时，化为=1；当x0，y0时，化为+=1画出图象由图象可知：（1）正确；（2）为双曲线；及+=1的渐近线，因此不等式f（x）x0的解集为R，正确；（3）方程f（x）+x3=0恒有一解，因此不正确；（4）由（1）可知f（x）是R上的单调递增函数，因此f（x）存在反函数f1（x），且反函数f1（x）由方程=1确定
14、，正确故答案为：（1）（2）（4）【点评】： 本题考查了椭圆与双曲线标准方程图象及其性质，考查了分类讨论思想方法、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15（5分）“a=1”是“函数y=cos2axsin2ax的最小正周期为”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【考点】： 三角函数的周期性及其求法；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 计算题【分析】： 化简y=cos2axs
15、in2ax，利用最小正周期为，求出a，即可判断选项【解析】： 解：函数y=cos2axsin2ax=cos2ax，它的周期是，a=1显然“a=1”可得“函数y=cos2axsin2ax的最小正周期为”后者推不出前者，故选A【点评】： 本题考查三角函数的周期性及其求法，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题16（5分）已知直线l：ax+by=1，点P（a，b）在圆C：x2+y2=1外，则直线l与圆C的位置关系是（） A 相交 B 相切 C 相离 D 不能确定【考点】： 直线与圆的位置关系【专题】： 计算题【分析】： 由圆的方程找出圆心C的坐标与圆的半径r，由点P在圆外得到圆心到P的距离大于
16、半径r，得出a与b的不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线l的距离d，由求出a与b的不等式即可判断出d与r的大小关系，进而得到直线l与圆C的位置关系【解析】： 解：由圆的方程x2+y2=1，得到圆心C坐标为（0，0），圆的半径r=1，因为点P（a，b）在圆外，所以|CP|=1，则圆心C到直线l的距离d=1，所以直线l与圆C的位置关系是相交故选A【点评】： 此题考查学生掌握点到圆及直线到圆的位置关系的判别方法，灵活运用两点间及点到直线的距离公式化简求值，是一道基础题17（5分）在棱长为1的正四面体A1A2A3A4中，定义M=，N=，则N中的元素个数为（） A 6 B 5 C 3 D
17、 2【考点】： 平面向量数量积的运算；集合中元素个数的最值【专题】： 平面向量及应用【分析】： 首先明确题意，明确两个集合元素的属性，找出元素的个数，然后按照要求解答【解析】： 解：由题意，集合M的元素有12个，集合N是集合M中向量的数量积，又四面体是棱长为1的正四面体，所以各棱对应的向量的数量积有1，1，0共有5个；故选：B【点评】： 本题实际上考查了正四面体的性质以及向量的数量积，关键是明确题意，以及正四面体的性质18（5分）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|+t|的最小值为1（） A 若确定，则|唯一确定 B 若确定，则|唯一确定 C 若|确定，则唯一确定 D 若|确定，则唯
18、一确定【考点】： 平面向量数量积的运算；零向量；数量积表示两个向量的夹角【专题】： 平面向量及应用【分析】： 由题意可得（+t）2=+2t+，令g（t）=+2t+，由二次函数可知当t=cos时，g（t）取最小值1变形可得sin2=1，综合选项可得结论【解析】： 解：由题意可得（+t）2=+2t+令g（t）=+2t+可得=44=4cos240由二次函数的性质可知g（t）0恒成立当t=cos时，g（t）取最小值1即g（cos）=+=sin2=1故当唯一确定时，|唯一确定，故选：B【点评】： 本题考查平面向量数量级的运算，涉及二次函数的最值，属中档题三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下
19、列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19（12分）如图，从棱长为6cm的正方体铁皮箱ABCDA1B1C1D1中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形（1）记CC1的中点为E，求异面直线EB1与A1C1所成角的大小；（2）如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少cm3体积的水【考点】： 异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： （1）取DD1的中点F，连A1F，则FA1C1为所求的角，然后利用余弦定理求之； （2）最多能盛多少水，实际上是求三棱锥C1CD1B1的体积【解析】： 解：（1）取DD1的中点F，连A1F，则FA1C1为
20、所求的角 （2分）在FA1C1中，易知：A1C1为=6，FA1=FC1为=3，cosFA1C1=，所以FA1C1=arccos； （5分）从而异面直线EB1与A1C1所成角的大小为arccos； （6分）（2）最多能盛多少水，实际上是求三棱锥C1CD1B1的体积 （9分）=36cm3用图示中这样一个装置来盛水，则最多能盛36cm3体积的水（12分）【点评】： 本题考查了正方体中异面直线所成的角以及三棱锥的体积求法；关键是将空间角转化为平面角解答20（14分）设向量=（sinx，cos2x），=（sin2x，cosx）（1）设，当时，求f（x）的取值范围；（2）构建两个集合A=sinx，cos2
21、x，B=sin2x，cosx，若集合A=B，求满足条件的x的值【考点】： 两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算【专题】： 三角函数的求值【分析】： （1）由向量和三角函数的知识可得f（x）=sin（x+），由x的范围可得；（2）由题意可得或，分别可得x=2k，kZ和x，综合可得【解析】： 解：（1）=（sinx，cos2x），=（sin2x，cosx）=sinxsin2x+cos2xcosx=cos（2xx）=cosx，=cosx+sinx=sin（x+），x+（，），sin（x+）（，1，f（x）的取值范围为（1，；（2）集合A=sinx，cos2x，B=sin2x，cosx且集合A=
22、B，或，当时，可得x=2k，kZ；当时，x，综上，满足条件的实数x=2k，kZ【点评】： 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的值域，属中档题21（14分）某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0t10，单位：米）；曲线BC是抛物线y=ax2+30（a0）的一部分；CDAD，且CD恰好等于圆E的半径（1）若要求CD=20米，AD=（10+30）米，求t与a值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过45米，求a的取值范围【考点】： 圆与圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】： 直
23、线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （1）求出B的坐标，可得圆的半径为20，圆心为（0，10），可得圆的方程，进而得到C的坐标，代入抛物线方程，即可得到a；（2）求得CD的长，运用抛物线方程，求出OD长，由题意知FD=30t+45对t（0，10恒成立，即有+恒成立，运用基本不等式和函数的单调性判断右边函数的单调性，求得最小值，再解不等式即可得到a的范围【解析】： 解：（1）由题意可得B（0，30），CD=30t=20，解得t=10此时圆E：x2+（y10）2=400，令y=0，得AO=10，所以OD=ADAO=30，将点C（30，20）代入y=ax2+30（a0）中，解得a=；（2）
24、因为圆E的半径为30t，所以CD=30t，在y=ax2+30中，令y=30t，得OD=，则由题意知FD=30t+45对t（0，10恒成立，所以+恒成立，当=，即t=15（0，10时，由y=+（t（0，10）递减，可知：当t=10取最小值+，故+，解得a【点评】： 本题考查圆的方程和抛物线方程的运用，同时考查不等式恒成立思想，以及参数分离和基本不等式的运用，属于中档题和易错题22（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若P1P2l，垂足为P0，且，则称点P1，P2关于直线l成“对称”若曲线C上存在点P1，P2关于直线l成“对称
25、”，则称曲线C为“对称曲线”（1）设P1（0，3），P2（3，0），若点P1，P2关于直线l成“对称”，求直线l的方程；（2）设直线l：xy+1=0，判断双曲线x2y2=1是否为“对称曲线”？请说明理由；（3）设直线l：x+y=0，且抛物线y=x2m为“2对称曲线”，求实数m的取值范围【考点】： 直线与圆锥曲线的关系【专题】： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （1）设P0（x0，y0），由=，可得x0=1，y0=2，即可求直线l的方程；（2）直线l：xy+1=0与其中渐近线xy=0平行，双曲线x2y2=1不是为“对称曲线”；（3）设直线P1P2：y=x+t，由x2xtm=0，由=
26、2，可得x0=，y0=，代入x0+y0=0得x1+2x2+y1+2y2=0，化简，即可求实数m的取值范围【解析】： 解：（1）由题意：=（3，3）（1分）设P0（x0，y0），由=，可得2（x00）=3x0，2（y03）=0y0，所以x0=1，y0=2，（3分）所以直线l：3（x1）3（y2）=0，即所求直线l：xy+1=0； （4分）（2）双曲线x2y2=1不是为“对称曲线”（6分）事实上，双曲线x2y2=1的两条渐近线分别为xy=0，x+y=0，它们互相垂直，直线l：xy+1=0与其中渐近线xy=0平行，所以双曲线x2y2=1上不可能存在两点P1，P2，更别说满足 （8分）（3）因为抛物线
27、y=x2m为“2对称曲线”，所以存在点P1（x1，y1），P2（x2，y2），设直线P1P2：y=x+t，由x2xtm=0其中=14（tm）0，且又由=2，可得x0=，y0=代入x0+y0=0得x1+2x2+y1+2y2=0所以x1+xy2+（x1+t）+2（x2+t）=0（12分）由=14（tm）=14x1x20得t1（14分）由x1x2=tm得m=tx1x2=，+）即所求实数m的范围为，+）（16分）【点评】： 本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题23（18分）若函数f（x）=x2+2a|x2|，数列an的前n项和为Sn，满足Sn=f（n）（1）若数列an为递增
28、数列，求实数a的取值范围；（2）当a=时，设数列bn满足：bn=2，记bn的前n项和Tn，求满足不等式Tn2015的最小整数n；（3）当函数f（x）为偶函数时，对任意给定的k（kN*），是否存在自然数p，r（kpr）使，成等差数列？若不存在，说明理由；若存在，请找出p，r与k的一组关系式【考点】： 数列与不等式的综合；数列与函数的综合【专题】： 点列、递归数列与数学归纳法【分析】： （1）根据题意写出an的解析式，解不等式a1a2a3即可；（2）由，解不等式2015即可；（3）由题可得an=2n1，分k=1、k2两种情况讨论讨论即可【解析】： 解：（1）由题意得：Sn=f（n）=n2+2a|n
29、2|，从而，有an=，当n3时，数列an显然递增，只要a1a2a3即可，所以有；（2）当时，an=，bn=，Tn=，解不等式Tn2015，即2015，可得n1+log460855.29，所以，满足条件的最小整数为6；（3）当f（x）为偶函数时，可得a=0，此时，f（x）=x2，又an=f（n+1）f（n），所以an=2n1，当k=1时，不存在满足条件的自然数p，r（kpr），事实上，由，成等差数列，即可得，又由rp可得，矛盾； 当k2时，存在无数组满足条件的自然数p，r（1pr）；如k=2时，可找到p=3，r=8，使得，成等差数列，更一般地，对任意给定的kN*（k2），设ak=x，ap=y，ar=z，由得，令y=2x1，z=xy=x（2x1）即可，此时取ak=x=2k1，由ap=y=2（2k1）1，得p=2k1，由ar=z=x（2x1）=（2k1）（4k3）=2（4k25k+2）1，可知r=4k25k+2，即对任意给定的大于1的自然数k，存在p=2k1，r=4k25k+2，使，成等差数列【点评】： 本题考查数列的单调性、求前n项和及等差数列的综合题，考查分析能力、计算能力和分类讨论的思想，属于难题
