1、高 考 总 复 习 优 化 设 计 GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI 第3课时 利用导数研究函数的零点 高 考 解答题 专项一 2023考点一确定函数零点的个数考向1.利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数 例1.(2021山东济南高三月考)若函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且满足f(x)-g(x)=cos 2x+e-x-ex.(1)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)令h(x)=f(x)+g(x),试判断函数h(x)零点的个数.解(1)因为f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,所以 ()-()=cos2+e-e,(-)-(
2、-)=cos2+e-e-,即()-()=cos2+e-e,()+()=cos2+e-e-,解得 f(x)=cos 2x,g(x)=ex-e-x.(2)由(1)得h(x)=cos 2x+ex-e-x,则h(x)=-2sin 2x+ex+e-x,因为ex+e-x2(当且仅当ex=e-x,即x=0时取等号),-1sin 2x1,所以h(x)0在R上恒成立,即h(x)在R上单调递增,由于 h 2=cos(-)+e-2 e2=-1+e-2 e20,所以x0 2,0,使得 h(x0)=0,又因为 h(x)在 R 上单调递增,所以 h(x)在 R 上有且只有 1 个零点.方法点拨利用单调性和函数零点存在定理
3、确定零点个数(1)讨论函数的单调性,确定函数的单调区间;(2)在每个单调区间上,利用函数零点存在定理判断零点的个数;(3)注意区间端点的选取技巧;(4)含参数时注意分类讨论.对点训练1(2021北京延庆高三模拟)已知函数f(x)=-ln x+2x-2.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于1的切线方程;(2)求函数f(x)的极值;(3)设g(x)=x2f(x)-2f(x),判断函数g(x)的零点个数,并说明理由.解(1)设切点为(x0,y0),因为 f(x)=-1+2,所以-10+2=1,解得 x0=1,所以y0=-ln 1+2-2=0,故切线方程为y=x-1.(2)f(x)的定义域为(0,+).
4、令 f(x)=0 即-1+2=0,x=12.令 f(x)0,得 x12,令 f(x)0,得 0 x0,f 12=ln 2+1-2=ln 2-10时,由f(x)0得x-1,所以f(x)的单调递减区间为(-,-1);若a0时,由f(x)-1,所以f(x)的单调递减区间为(-1,+).综上所述,当a0时,f(x)的单调递减区间为(-,-1);当a0,g(x)在(-,-1)上单调递增;当x(-1,0)(0,+)时,g(x)0时,原方程有且只有一个解;当a0时,原方程有两个解.误区警示在借助函数图像研究函数零点问题时,要准确画出函数的图像,不仅要研究函数的单调性与极值的情况,还要关注函数值的正负以及变化
5、趋势,把函数图像与x轴有无交点,哪一区间在x轴上方,哪一区间在x轴下方等情况分析清楚,这样才能准确地研究直线与图像交点的个数情况.对点训练2(2021湖北天门高三月考)已知函数f(x)=x3(ln x-1),g(x)=x .(1)求函数f(x)的最值;(2)若m4,求关于x的方程f(x)=g(x)(x1)的实数根的个数.ln 4 解(1)因为 f(x)=3x2ln x-2x2=x2(3ln x-2),令 f(x)=0,解得 x=e23.当 0 xe23时,f(x)e23时,f(x)0.所以函数 f(x)=x3(ln x-1)在 0,e23 上单调递减,在 e23,+上单调递增.故 f(x)mi
6、n=f e23=e23 3 ln e23 1=-e23,当 x+时,f(x)+,故 f(x)的最小值为-e23,无最大值.(2)因为 f(x)=g(x)(x1),所以(x2-1)ln x-x2=-4(x1).因此方程 f(x)=g(x)(x1)实数根的个数等价于函数 h(x)=(x2-1)ln x-x2(x1)的图像与射线 y=-4(x1)的交点个数.因为 h(x)=2xln x-x-1(x1),令(x)=h(x)(x1),则(x)=2lnx+12+10,所以 h(x)在1,+)上单调递增,又因为 h(1)=-20,故存在唯一的 x0(1,e),使得 h(x0)=0,所以 h(x)在1,x0)
7、上单调递减,在(x0,+)上单调递增,且 h(1)=h(e)=-1,因为当 xe2时,h(x)=(x2-1)ln x-x2(x2-1)ln e2-x2=x2-2,所以当xe时,h(x)-1,又因为m4,所以-1.所以当m=4时,函数h(x)的图像与射线y=-1(x1)有两个交点,当m4时,函数h(x)的图像与射线y=-(x1)有一个交点.综上,当m=4时,方程f(x)=g(x)(x1)实数根的个数为2;当m4时,方程实数根的个数为1.4 4 考点二已知函数零点个数求参数取值范围例3.(2020全国,文20)已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f
8、(x)有两个零点,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f(x)=ex-1.当x0时,f(x)0时,f(x)0.所以f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.(2)f(x)=ex-a.当a0时,f(x)0,所以f(x)在(-,+)单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.当a0时,由f(x)=0可得x=ln a.当x(-,ln a)时,f(x)0.所以f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增,故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).若 01e,则 f(ln a)0,所以 f(x)在(-,
9、ln a)存在唯一零点.由(1)知,当x2 时,ex-x-20,所以当 x4 且 x2ln(2a)时,f(x)=e2 e2-a(x+2)eln(2a)2+2-a(x+2)=2a0.故 f(x)在(ln a,+)存在唯一零点.从而 f(x)在(-,+)有两个零点.综上,a 的取值范围是 1e,+.方法总结已知函数零点个数求参数取值范围问题的解法 对点训练3(2021辽宁锦州高三期中)已知函数f(x)=(x-1)ex+ax2,aR.(1)若a0,讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有2个不同的零点,求实数a的取值范围.解(1)f(x)=xex+2ax=x(ex+2a).由于a0,令f(x
10、)=0,解得x1=0,x2=ln(-2a).当 ln(-2a)=0,即 a=-12时,f(x)0,f(x)在 R 上单调递增.当 ln(-2a)0,即-12a0,f(x)单调递增,在区间(ln(-2a),0)上,f(x)0,即 a0,f(x)单调递增,在区间(0,ln(-2a)上,f(x)0,f(x)单调递减.综上所述,当-12a0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(-,ln(-2a)和(0,+),单调递减区间为(ln(-2a),0);当 a=-12时,f(x)在 R 上单调递增;当 a-12时,f(x)的单调递增区间为(-,0),(ln(-2a),+),单调递减区间为(0,ln(-2a).(2)f(x)=(x-1)ex+ax2,f(0)=-10,当 x0 时,令 f(x)=(x-1)ex+ax2=0,得-a=(-1)e2,令函数 h(x)=(-1)e2(x0).所以 h(x)=(2-2+2)e3=(-1)2+1e3,所以当 x0 时,h(x)0时,h(x)0,h(x)单调递增.因为h(1)=0,所以当x1时,h(x)0,要使f(x)有2个不同的零点,应有-a0,故实数a的取值范围为(0,+).
