1、广东省东莞市光明中学2020-2021学年高一数学下学期第一次月考试题考生注意:本卷共四大题,22小题,满分150分,考试时间120分钟一、单项选择题:(本大题8小题,每题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。)1.已知平面向量=(1,1),=(1,-1),则向量() A (-2,1) B (-2,1) C (-1,0) D (-1,2)2. 若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为( )A.1 B.2 C.1或2 D.-13. 在中,已知,则a等于( )AB6C或6D4. 在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线。若=(2,4), =(1,
2、3),则=( )A (-2,4) B (-3,-5) C (3,5) D (-3,-7)5.下列命题中,不正确的是( )A=B()=()C()=D与共线=6.已知P1(2,3),P2(1,4),且,点P在线段P1P2的延长线上,则P点的坐标为( )A(,)B(,)C(4,5)D(4,5)7.设P(3,6),Q(5,2),R的纵坐标为9,且P、Q、R三点共线,则R点的横坐标为( )A9 B6 C9 D68已知,且(+k)(k),则k等于( )A B C D二、多项选择题:(本大题4小题,每题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全选对的给5分,选对但不全的得3分,有选错的
3、得0分,请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑)9.已知两点,与平行,且方向相反的向量可能是( )A B C D10. 在中,下列命题正确的是( )A若,则B若,则定为等腰三角形或直角三角形C在等边中,边长为2,则 =2 D若三角形的三边的比是,则此三角形的最大角为钝角11.点O在所在的平面内,则以下说法正确的有( ) A.若,则点O是的重心。 B.若,则点O是的内心。 C.若,则点O是的外心。 D.若,则点O是的垂心。12.在中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知,且b=3,则( )ABCD三、填空题: (本大题共4小题,每小题5分,满分20分,把正确的答案写在答题卡对应的位置上)13若
4、向量的始点为A(2,4),终点为B(2,1),则向量的模为_14在ABC中,已知A=60O,b=4,c=5,则sinB= .15已知为一单位向量,与之间的夹角是120O,而在方向上的投影向量为2,则 .16.一船以15 km/h的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B位于北偏东60方向,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15,这时船与灯塔间的距离为_km.四、解答题, 本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤17(本题满分10分)已知复数满足(为虚数单位),复数的虚部为,是实数,求。18(本题满分12分)在ABC中,已知b6,c6,C30,求a.19(本
5、题满分12分)已知, ,试求:(1) (2)与 的夹角.20. (本题满分12分)已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC90,AD2,BC1,P是腰DC上的动点,求|3|的最小值. 21. (本题满分12分)据气象台预报,在S岛正东距S岛300 km的A处有一台风中心形成,并以每小时30 km的速度向北偏西30的方向移动,在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响.问:S岛是否受其影响?若受到影响,从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由.22. (本题满分12分)在ABC中,若|2,且cosCcosAsinB.(1) 求角B的大小;(2)求ABC的面积S.
6、2020-2021学年度第二学期高一年级第一次月考数学科试卷命题人: 考生注意:本卷共四大题,22小题,满分150分,考试时间120分钟一、单项选择题:(本大题8小题,每题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。)1 已知平面向量=(1,1),=(1,-1),则向量(D) A (-2,1) B (-2,1) C (-1,0) D (-1,2)2. 若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为( B )A.1 B.2 C.1或2 D.-13. 在中,已知,则a等于( A )AB6C或6D4. 在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线。若=(2,4),
7、 =(1,3),则=( B )A (-2,4) B (-3,-5) C (3,5) D (-3,-7)5.下列命题中,不正确的是( D )A=B()=()C()=D与共线=6.已知P1(2,3),P2(1,4),且,点P在线段P1P2的延长线上,则P点的坐标为( D )A(,)B(,)C(4,5)D(4,5)7.设P(3,6),Q(5,2),R的纵坐标为9,且P、Q、R三点共线,则R点的横坐标为( D )A9 B6 C9 D68已知,且(+k)(k),则k等于( B )A B C D二、多项选择题:(本大题4小题,每题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全选对的给5分
8、,选对但不全的得3分,有选错的得0分,请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑)9.已知两点,与平行,且方向相反的向量可能是( AD )A B C D【解析】,A选项, ,故满足题意D选项,故满足题意B、C选项中的不与平行故选:AD10. 在中,下列命题正确的是( ABD )A若,则B若,则定为等腰三角形或直角三角形C在等边中,边长为2,则 =2 D若三角形的三边的比是,则此三角形的最大角为钝角11.点O在所在的平面内,则以下说法正确的有( ABCD ) A.若,则点O是的重心。 B.若,则点O是的内心。 C.若,则点O是的外心。 D.若,则点O是的垂心。12.在中,a,b,c分别为角A,B,C的
9、对边,已知,且b=3,则( AD )ABCD【解析】,整理可得:,可得,A为三角形内角,故A正确,B错误,且,解得,由余弦定理得,解得,故C错误,D正确.故选:AD.三、填空题: (本大题共4小题,每小题5分,满分20分,把正确的答案写在答题卡对应的位置上)13若向量的始点为A(2,4),终点为B(2,1),则向量的模为_5_14在ABC中,已知A=60O,b=4,c=5,则sinB= .15已知为一单位向量,与之间的夹角是120O,而在方向上的投影向量为2,则 4 .16.一船以15 km/h的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B位于北偏东60方向,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北
10、偏东15,这时船与灯塔间的距离为30 km.解析:如图所示,在ABC中,AC=154=60(km),BAC=30,ACB=105,所以ABC=45.根据正弦定理,得BC=30(km).四、解答题, 本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤17(本题满分10分)已知复数满足(为虚数单位),复数的虚部为,是实数,求。解: 4分 设,则,8分 , 10分18(本题满分12分)在ABC中,已知b6,c6,C30,求a.解:由正弦定理,得,得sin B. 4分因为bc,所以BC30,所以B60或120. 6分当B60时,A90,a12. 9分当B120时,A30,a6. 1
11、1分所以a6或12. 12分19(本题满分12分)已知, ,试求:(1) (2)与 的夹角.解:由得,所以,4分所以, 所以 所以 6分设与的夹角为,则 11分所以夹角为120 12分20. (本题满分12分)已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC90,AD2,BC1,P是腰DC上的动点,求|3|的最小值.解析以D为原点,分别以DA,DC所在直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DCa,DPx,D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x). (2,x),(1,ax),4分3(5,3a4x), 6分|3|225(3a4x)225,10分当x时取等号.|3|的最
12、小值为5. 12分21. (本题满分12分)据气象台预报,在S岛正东距S岛300 km的A处有一台风中心形成,并以每小时30 km的速度向北偏西30的方向移动,在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响.问:S岛是否受其影响?若受到影响,从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由.解:如图所示,设台风中心经过t h到达点B,由题意得SAB=90-30=60. 2分在SAB中,SA=300,AB=30t,由余弦定理,得SB2=SA2+AB2-2SAABcosSAB=3002+(30t)2-230030tcos 60. 6分若S岛受到台风影响,则应满足条件|SB|2
13、70,即SB22702,化简整理得t2-10t+190,解得5-t5+, 10分所以从现在起,经过(5-)h S岛开始受到影响,(5+)h后影响结束,持续时间:(5+)-(5-)=2(h),即S岛受到影响,从现在起经过(5-)h S岛开始受到台风影响,且持续时间为2 h. 12分22. (本题满分12分)在ABC中,若|2,且cosCcosAsinB.(1)求角B的大小;(2)求ABC的面积S.解(1)因为,所以cosCcosAsinB()sinB,即(cosCsinB)(cosAsinB)0. 2分而向量,是两个不共线向量,所以所以cosCcosA, 4分因为A,C(0,),所以AC.在等腰ABC中,ABC,所以2AB,A. 所以cosAcossinsinB,所以sin2sincos,因为sin0,所以cos.综合0,所以,B. 6分(2)由(1)知,则AC,由正弦定理得,所以|2,9分SABC|sin22. 12分