1、高考导航 圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P是直线x1上的动点，直线PA与椭圆的另一交点为M，直线PB与椭圆的另一交点为N.求证：直线MN经过一定点【例
2、 1】(13 分)(2015石家庄模拟)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(1)解 依题意得 eca 32，(2 分)过右焦点 F 与长轴垂直的直线 xc 与椭圆x2a2y2b21，联立解得弦长为2b2a 1，a2，b1，所以椭圆 C 的方程为x24y21.(4 分)(2)证明 设 P(1，t)，kPAt012t3，直线 lPA：yt3(x2)，(6 分)联立得yt3x2，x24y21，即(4t29)x216t2x16t2360，(8 分)可知2xM16t2364t29，所以 xM188t24t29，则xM
3、188t24t29，yM 12t4t29.同理得到xN8t224t21，yN4t4t21.(10 分)由椭圆的对称性可知这样的定点在 x 轴上，不妨设这个定点为Q(m,0)，又 kMQ12t4t29188t24t29 m，kNQ4t4t218t224t21m，kMQkNQ，所以化简得(8m32)t26m240，令8m320，6m240，得 m4，即直线 MN 经过定点(4,0)(13 分)构建模板 解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值第二步：探究一般情况探究一般情形下的目标结论第三步：下结论，综合上面两种情况定结论
4、探究提高(1)求定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值(2)定点问题的常见解法：假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意【训练1】(2014江西卷)如图，已知抛物线C：x24y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直
5、线y2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值证明(1)依题意可设直线 AB 的方程为 ykx2，代入 x24y，得 x24(kx2)，即 x24kx80.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1x28，直线 AO 的方程为 yy1x1x；直线 BD 的方程为 xx2.解得交点 D 的坐标为x2，y1x2x1，注意到 x1x28 及 x214y1，则有 yy1x1x2x21 8y14y1 2，因此 D 点在定直线 y2(x0)上(2)依题设知，切线 l 的斜率存在且不等于 0，设切线 l 的方程为 yaxb(a0)，代入 x24y
6、 得 x24(axb)，即 x24ax4b0，由 0 得(4a)216b0，化简整理得 ba2.故切线 l 的方程可写为 yaxa2.分别令 y2、y2 得 N1、N2 的坐标为N1(2aa,2)，N2(2aa，2)，则|MN2|2|MN1|22aa 242(2aa)28，即|MN2|2|MN1|2 为定值 8.热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题(1)求椭圆C的方程；(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)
7、点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数使得k1k2，并求出的值；求OMN面积的最大值【例 2】(2014山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为4 105.(1)解 由题意知 a2b2a 32，可得 a24b2.椭圆 C 的方程可简化为 x24y2a2.将 yx 代入可得 x 5a5，因此 22 5a54 105，可得 a2.因此 b1.所以椭圆 C 的方程为x24y21.审题流程(1)一审：由椭圆的离心率得出a，c的关系二
8、审：结合yx被椭圆C截得 的 线 段 长 确 定 a，b 的值(2)一审：设出A，B，D三点坐标，进而确定出直线BD，AM的斜率，代入表达式证明二 审：先 求 含 参 数 的OMN的面积的表达式，再 应 用 基 本 不 等 式 求 最值(2)证明 设 A(x1，y1)(x1y10)，D(x2，y2)，则 B(x1，y1)，因为直线 AB 的斜率 kABy1x1，又 ABAD，所以直线 AD 的斜率 kx1y1.设直线 AD 的方程为 ykxm，由题意知 k0，m0.由ykxm，x24y21，得(14k2)x28mkx4m240.所以 x1x2 8mk14k2，因此 y1y2k(x1x2)2m
9、2m14k2.由题意知 x1x2，所以 k1y1y2x1x2 14k y14x1.所以直线 BD 的方程为 yy1 y14x1(xx1)令 y0，得 x3x1，即 M(3x1,0)可得 k2 y12x1.所以 k112k2，即 12.因此存在常数 12使得结论成立解 直线 BD 的方程为 yy1 y14x1(xx1)，令 x0，得 y34y1，即 N0，34y1.由知 M(3x1,0)，可得OMN 的面积 S123|x1|34|y1|98|x1|y1|.探究提高 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元
10、法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值因为|x1|y1|x214y211，当且仅当|x1|2|y1|22 时等号成立，此时 S 取得最大值98，所以OMN 面积的最大值为98.【训练 2】设点 P(x，y)到直线 x2 的距离与它到定点(1,0)的距离之比为 2，并记点 P 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)设 M(2,0)，过点 M 的直线 l 与曲线 C 相交于 E，F 两点，当线段 EF 的中点落在由四点 C1(1,0)，C2(1,0)，B1(0，1)，B2(0,1)构成的四边形内(包括边界)时，求直线 l 斜率的取
11、值范围解(1)由题意得|x2|x12y2 2，整理得x22y21，所以曲线 C 的方程为x22y21.(2)有点 M 满足2220221，则点 M 在曲线 C 外显然直线 l 的斜率存在，所以可设直线 l 的方程为 yk(x2)设点 E，F 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 EF 的中点为 G(x0，y0)，由ykx2，x22y21消去 y，得(12k2)x28k2x8k220.由(8k2)24(12k2)(8k22)0，解得 22 k 22.由根与系数的关系得 x1x2 8k212k2，于是x0 x1x22 4k212k2，y0k(x02)2k12k2，因为 x0 4k212
12、k20，所以点 G 不可能在 y 轴的右边，又直线 C1B2 和 C1B1 的方程分别为 yx1，yx1，所以点 G 在正方形内(包括边界)的充要条件为y0 x01，y0 x01，即2k12k2 4k212k21，2k12k2 4k212k21，亦即2k22k10，2k22k10.解得 312k 312，由知，直线 l 斜率的取值范围是 312，312.热点三 圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题(1)求该椭圆的标准方程；(2)是否存在圆心在
13、 y 轴上的圆，使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由【例 3】(12 分)(2014重庆卷)如图，设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 D 在椭圆上，DF1F1F2，|F1F2|DF1|2 2，DF1F2 的面积为 22.解(1)设 F1(c,0)，F2(c,0)，其中 c2a2b2.由|F1F2|DF1|2 2，得|DF1|F1F2|2 2 22 c.从而 SDF1F212|DF1|F1F2|22 c2 22，故 c1.从而|DF1|22.(3 分)由 DF1F
14、1F2，得|DF2|2|DF1|2|F1F2|292，因此|DF2|3 22.所以 2a|DF1|DF2|2 2，故 a 2，b2a2c21.因此，所求椭圆的标准方程为x22y21.(4 分)(2)如图，设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆x22y21 相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2 是圆 C的切线，且 F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2x1，y1y2.(6 分)由(1)知 F1(1,0)，F2(1,0)，所以F1P1(x11，y1)，F2P2(x11，y1)再由 F1P1F2P2，得(x11)2y210，由椭圆方程得，1
15、x212(x11)2，即 3x214x10，解得 x143或 x10.(8 分)当 x10 时，P1，P2 重合，题设要求的圆不存在当 x143时，过 P1，P2 分别与 F1P1，F2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C.设 C(0，y0)，由 CP1F1P1，得y1y0 x1 y1x111.而求得 y113，故 y053.(10 分)圆 C 的半径|CP1|432135324 23.综上，存在满足题设条件的圆，其方程为：x2y532329.(12 分)构建模板 求解圆锥曲线中的探索性问题的一般步骤第一步：假设结论存在第二步：以存在为条件，进行推理求解第三步：明确规范表述结论若能推出合理结果，
16、经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设第四步：反思回顾查看关键点，易错点及解题规范探究提高(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法【训练 3】在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0，2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆x22y21 有两个不同的交点 P 和 Q.(1)求 k 的取值范围；(2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半
17、轴的交点分别为 A、B，是否存在常数 k，使得向量OP OQ 与AB垂直？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由解(1)由已知条件，直线 l 的方程为 ykx 2，代入椭圆方程得x22(kx 2)21，整理得12k2 x22 2kx10.直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于中8k2412k2 4k220，解得 k 22 或 k 22.即 k 的取值范围为，22 22，.(2)不存在理由如下：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP OQ(x1x2，y1y2)由方程得，x1x2 4 2k12k2，y1y2k(x1x2)2 24 2k212k2 2 2.(OP OQ)AB，AB(2，1)，(x1x2)(2)y1y20，即：4 2k12k2(2)4 2k212k22 20.解得：k 24，由(1)知 k212，与此相矛盾，所以不存在常数 k 使OP OQ 与AB垂直.
