1、第九章(A) 第七讲时间:60分钟满分:100分一、选择题(8540分)1(2009河北唐山一模)球的一个截面是半径为3的圆,球心到这个截面的距离是4,则该球的表面积是()A100 B50 C. D.答案:A解析:由已知得球的半径为5,所以S4R2100,故选A.2(2009黄冈一模)过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面,若OA与该截面所成的角是60,则该截面的面积是()A B2 C3 D2答案:A解析:如图,截面圆的半径r1,S截面r2,故选A.3(2009吉林长春一模)已知各顶点都在同一个球面上的正四锥棱高为3,体积为6,则这个球的表面积是()A16 B17 C21 D25答案:A解析
2、:如图,设底面正方形的边长为a,球半径为x,则Va236a,在OCO中,(3x)2()2x2x2.所以S球4R24x216,故选A.4正方体的内切球与外接球的半径之比为()A.、:2 B.:2 C.:3 D.:3答案:C解析:设内切球和外接球的半径分别为r和R;正方体的棱长为a,则r,Ra,rR3.故选C.5设地球的半径为R,若甲地位于北纬35东经110,乙地位于南纬85东经110,则甲、乙两地的球面距离为()A.R B.R C.R D.R答案:A解析:如图易得甲、乙两地所对的球心角为,故球面距离为R.6(2009南昌市三年级调研试卷)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球
3、的体积为36,那么这个正三棱柱的体积是()A27 B36 C54 D162答案:D解析:设正三棱柱的底面边长是a,依题意得球的半径R3,正三棱柱的高等于该球的直径,即等于6,且有tan30,则a6,因此该正三棱柱的体积等于(6)26162,选D.7四面体ABCD的外接球球心在CD上,且CD2,AB,在外接球面上A,B两点间的球面距离是()A. B. C. D.答案:C解析:如图:球心O为CD中点,CD2R1.在OAB中,OAOBR1,又AB,AOB,A、B两点间的球面距离为R,故选C.8如图所示,在正三棱锥SABC中,M、N分别是SC、BC的中点,且MNAM,若侧棱SA2,则正三棱锥SABC外
4、接球的表面积是()A12 B32C36 D48答案:C解析:MNAM,BSAM,又由题意可得SBAC,SB平面SAC,SA、SB、SC两两垂直将SABC补成正方体,则SABC的外接球与正方体的外接球相同,球的直径等于正方体的对角线长2R2,R3,S4R24936.故选C.规律总结:有关立体几何问题的处理,通常结合已知条件,将相关的几何体转化到一个特殊的几何图形(或适当地构造相关的几何图形)中,通常转化到长方体或正方体中,从而将问题解决二、填空题(4520分)9湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为12 cm,深2cm的空穴,则该球的半径是_cm,表面积是_cm2.答案:
5、10400解析:由题意:设球半径为R.则R2(R2)262R10,球表面积S4R2400.10已知A、B、C三点在球心为O,半径为3的球面上,且几何体OABC为正四面体,那么A,B两点的球面距离为_;点O到平面ABC的距离为_答案:解析:AOB60,那么A,B两点的球面距离为;三角形ABC的外接圆的半径为R,2R2,R,则点O到平面ABC的距离为,故填;.11(2009全国,15)已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3,则球O的表面积等于_答案:16解析:由题意得圆M的半径r,又球心到圆M的距离为,由勾股定理得R2r2()2,R2,则球的表面积为
6、42216,故填16.12(2009全国,15)设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于,则球O的表面积等于_答案:8解析:设圆C的半径为r,有r2.得r2.又设球的半径为R,如图所示,有|OB|R,|OC|R,|CB|r.在RtOCB中,有|OB|2|OC|2|CB|2,即R2R2r2R2,R22,S球4R28.三、解答题(41040分)13把地球当作半径为R的球,地球上A、B两地都在北纬45,A、B两点的球面距离是R,A点在东经20,求B点的位置解析:如图,求B点的位置即求B点的经度,设B点在东经,A、B两点的球面距离是R.AOB
7、,因此三角形AOB是等边三角形,ABR,又AO1B20(经度差)问题转化为在AO1B中借助AO1BO1AOcos45R,求出AO1B90,则110,同理:B点也可在西经70,即B点在北纬45东经110或西经70.14在球心同侧有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别为49cm2和400cm2,求球的表面积和体积解析:如图,两平行截面被球大圆所在平面截得的交线分别为AO1、BO2,则AO1BO2.若O1、O2分别为两截面圆的圆心,则由等腰三角形性质易知OO1AO1,OO2BO2,设球半径为R,O2B249,O2B7cm,同理O1A20cm.设OO1xcm,则OO2(x9)cm.在RtOO1A中
8、,R2x2202,在RtOO2B中,R2(x9)272,x220272(x9)2,解得x15cm.R25cm,S球2500cm2,V球R3cm3.15设A、B、C是半径为1的球面上的三点,B、C两点间的球面距离为,点A与B、C两点间的球面距离均为,O为球心,求:(1)AOB、BOC的大小;(2)球心O到截面ABC的距离解析:(1)如图,因为球O的半径为1,B、C两点间的球面距离为,点A与B、C两点间的球面距离均为,所以BOC,AOBAOC,(2)因为BC1,ACAB,所以由余弦定理得cosBAC,sinBAC,设截面圆的圆心为O1,连结AO1,则截面圆的半径rAO1,由正弦定理得r,所以OO1.16如图四棱锥ABCDE中,AD底面BCDE,ACBC,AEBE.(1)求证:A、B、C、D、E五点共球;(2)若CBE90,CE,AD1,求B、D两点的球面距离解析:(1)证明:取AB的中点P,连结PE,PC,PD,由题设条件知AEB、ADB、ABC都是直角三角形故PEPDPCABPAPB.所以A、B、C、D、E五点在同一球面上(2)解:由题意知四边形BCDE为矩形,所以BDCE,在RtADB中,AB2,AD1,DPB120,D、B的球面距离为.