1、第九章（A） 第七讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8540分)1(2009河北唐山一模)球的一个截面是半径为3的圆，球心到这个截面的距离是4，则该球的表面积是()A100 B50 C. D.答案：A解析：由已知得球的半径为5，所以S4R2100，故选A.2(2009黄冈一模)过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60，则该截面的面积是()A B2 C3 D2答案：A解析：如图，截面圆的半径r1，S截面r2，故选A.3(2009吉林长春一模)已知各顶点都在同一个球面上的正四锥棱高为3，体积为6，则这个球的表面积是()A16 B17 C21 D25答案：A解析
2、：如图，设底面正方形的边长为a，球半径为x，则Va236a，在OCO中，(3x)2()2x2x2.所以S球4R24x216，故选A.4正方体的内切球与外接球的半径之比为()A.、：2 B.：2 C.：3 D.：3答案：C解析：设内切球和外接球的半径分别为r和R；正方体的棱长为a，则r，Ra，rR3.故选C.5设地球的半径为R，若甲地位于北纬35东经110，乙地位于南纬85东经110，则甲、乙两地的球面距离为()A.R B.R C.R D.R答案：A解析：如图易得甲、乙两地所对的球心角为，故球面距离为R.6(2009南昌市三年级调研试卷)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球
3、的体积为36，那么这个正三棱柱的体积是()A27 B36 C54 D162答案：D解析：设正三棱柱的底面边长是a，依题意得球的半径R3，正三棱柱的高等于该球的直径，即等于6，且有tan30，则a6，因此该正三棱柱的体积等于(6)26162，选D.7四面体ABCD的外接球球心在CD上，且CD2，AB，在外接球面上A，B两点间的球面距离是()A. B. C. D.答案：C解析：如图：球心O为CD中点，CD2R1.在OAB中，OAOBR1，又AB，AOB，A、B两点间的球面距离为R，故选C.8如图所示，在正三棱锥SABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且MNAM，若侧棱SA2，则正三棱锥SABC外
4、接球的表面积是()A12 B32C36 D48答案：C解析：MNAM，BSAM，又由题意可得SBAC，SB平面SAC，SA、SB、SC两两垂直将SABC补成正方体，则SABC的外接球与正方体的外接球相同，球的直径等于正方体的对角线长2R2，R3，S4R24936.故选C.规律总结：有关立体几何问题的处理，通常结合已知条件，将相关的几何体转化到一个特殊的几何图形(或适当地构造相关的几何图形)中，通常转化到长方体或正方体中，从而将问题解决二、填空题(4520分)9湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12 cm，深2cm的空穴，则该球的半径是_cm，表面积是_cm2.答案：
5、10400解析：由题意：设球半径为R.则R2(R2)262R10，球表面积S4R2400.10已知A、B、C三点在球心为O，半径为3的球面上，且几何体OABC为正四面体，那么A，B两点的球面距离为_；点O到平面ABC的距离为_答案：解析：AOB60，那么A，B两点的球面距离为；三角形ABC的外接圆的半径为R,2R2，R，则点O到平面ABC的距离为，故填；.11(2009全国，15)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3，则球O的表面积等于_答案：16解析：由题意得圆M的半径r，又球心到圆M的距离为，由勾股定理得R2r2()2，R2，则球的表面积为
6、42216，故填16.12(2009全国，15)设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于，则球O的表面积等于_答案：8解析：设圆C的半径为r，有r2.得r2.又设球的半径为R，如图所示，有|OB|R，|OC|R，|CB|r.在RtOCB中，有|OB|2|OC|2|CB|2，即R2R2r2R2，R22，S球4R28.三、解答题(41040分)13把地球当作半径为R的球，地球上A、B两地都在北纬45，A、B两点的球面距离是R，A点在东经20，求B点的位置解析：如图，求B点的位置即求B点的经度，设B点在东经，A、B两点的球面距离是R.AOB
7、，因此三角形AOB是等边三角形，ABR，又AO1B20(经度差)问题转化为在AO1B中借助AO1BO1AOcos45R，求出AO1B90，则110，同理：B点也可在西经70，即B点在北纬45东经110或西经70.14在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49cm2和400cm2，求球的表面积和体积解析：如图，两平行截面被球大圆所在平面截得的交线分别为AO1、BO2，则AO1BO2.若O1、O2分别为两截面圆的圆心，则由等腰三角形性质易知OO1AO1，OO2BO2，设球半径为R，O2B249，O2B7cm，同理O1A20cm.设OO1xcm，则OO2(x9)cm.在RtOO1A中
8、，R2x2202，在RtOO2B中，R2(x9)272，x220272(x9)2，解得x15cm.R25cm，S球2500cm2，V球R3cm3.15设A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、C两点间的球面距离为，点A与B、C两点间的球面距离均为，O为球心，求：(1)AOB、BOC的大小；(2)球心O到截面ABC的距离解析：(1)如图，因为球O的半径为1，B、C两点间的球面距离为，点A与B、C两点间的球面距离均为，所以BOC，AOBAOC，(2)因为BC1，ACAB，所以由余弦定理得cosBAC，sinBAC，设截面圆的圆心为O1，连结AO1，则截面圆的半径rAO1，由正弦定理得r，所以OO1.16如图四棱锥ABCDE中，AD底面BCDE，ACBC，AEBE.(1)求证：A、B、C、D、E五点共球；(2)若CBE90，CE，AD1，求B、D两点的球面距离解析：(1)证明：取AB的中点P，连结PE，PC，PD，由题设条件知AEB、ADB、ABC都是直角三角形故PEPDPCABPAPB.所以A、B、C、D、E五点在同一球面上(2)解：由题意知四边形BCDE为矩形，所以BDCE，在RtADB中，AB2，AD1，DPB120，D、B的球面距离为.