1、高 考 总 复 习 优 化 设 计 GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI 第二节 同角三角函数基本关系式与诱导公式 第五章 2023内容索引0102强基础 增分策略 增素能 精准突破 课标解读 衍生考点 核心素养 1.理解同角三角函数基本关系式:sin2+cos2=1,tan=.2.借助单位圆及三角函数定义推出诱导公式.3.能够运用同角三角函数基本关系式和诱导公式解决相关问题.1.同角三角函数基本关系式的应用 2.诱导公式的应用 3.同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用 数学抽象 逻辑推理 数学运算 强基础 增分策略 知识梳理 1.同角三角函数的基本关系式(1
2、)平方关系:sin2+cos2=.“同角”意指“同一个角”,即公式中的 可更换为“任 意的同一个角”,例如:2,2,-3等,公式都是成立的(2)商数关系:sincos=2+,Z.1 tan 微点拨同角三角函数基本关系式中,平方关系对任意角均成立,但商数关系中,要求k+(kZ).2 2.三角函数的诱导公式 公式 角+k2(kZ)-+-+-正弦 sin 余弦 cos 正切 tan 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限 2 32 2 32 -sin sin cos cos -cos -cos cos -cos -sin -cos sin -sin sin -sin -tan -tan
3、 tan 微思考如何理解诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”?提示(1)“奇”“偶”指的是公式中等号左边的角k +(kZ)中的k是奇数还是偶数;“变”“不变”指的是函数名称的变化,如果k是奇数,函数名称就要变化,正弦变余弦、余弦变正弦;如果k是偶数,函数名称不变.(2)“符号看象限”中的“象限”指的是将看作锐角时,角k +(kZ)的终边所在的象限.2 2 常用结论 1.平方关系的常用变形:1=sin2+cos2,sin2=1-cos2,cos2=1-sin2,sin=1-cos2,cos=1-sin2.2.商数关系的常用变形:cos tan=sin,cos=sintan.3.和积互化变
4、形:(sin+cos)2=1+2sin cos,(sin-cos)2=1-2sin cos.4.弦切互化变形:sin2=sin2sin2+cos2=tan2tan2+1,cos2=cos2sin2+cos2=1tan2+1,sin cos=sincossin2+cos2=tantan2+1.5.sin(k+)=(-1)ksin(kZ),cos(k+)=(-1)kcos(kZ).对点演练 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)当角是第四象限角时,tan=-.()(2)sin(+)=-sin 成立的条件是为锐角.()(3)若sin2+cos2=1,则=.()(4)不存在角,使
5、得 sin=-23,cos=13成立.()2.已知tan 160=k,则sin 20=()A.2+1B.-2+1C.-2+1D.2+1答案 B 解析由于 tan 160=-tan 20=k,所以 tan 20=-k.则 k0,所以sin 20=-2+1.3.化简 sin(+)cos(32+)+sin(2+)cos(+)=.答案-1 解析 原式=(-sin)sin+cos(-cos)=-sin2-cos2=-1.增素能 精准突破 考点一同角三角函数基本关系式的应用(多考向探究)考向1.“知一求二”问题 典例突破 例 1.(1)已知 cos(+2)=35,-20,则 tan=()A.43B.-43
6、C.34D.-34(2)(2021 广东梅州高三月考)若 tan=-2,且(32,2),则 sin+cos=()A.3 55B.55C.-55D.-3 55答案(1)D(2)C 解析(1)由 cos +2=35,可得 sin=-35.又-20,所以cos=55,所以sin=-2cos=-255,所以 sin+cos=-255+55=-55.故选 C.方法总结利用同角基本关系式“知一求二”的方法 对点训练 1(2021 湖南长沙高三月考)已知232,sin-2cos=1,则tan=()A.74B.34C.-74D.-34答案 B 解析 sin-2cos=1,sin=2cos+1,两边同时平方可得
7、sin2=4cos2+4cos+1.又 sin2+cos2=1,故 5cos2+4cos=0,解得 cos=-45或 cos=0.又232,cos=-45,sin=-35,故 tan=34,故选 B.考向2.“弦切互化”问题 典例突破 例 2.(1)(2021 新高考,6)若 tan=-2,则sin(1+sin2)sin+cos=()A.-65B.-25C.25D.65(2)(2021 江西赣州高三月考)已知 P(-1,3)为角 终边上的一点,则sin-2cos3sin+cos=.答案(1)C(2)58 解析(1)sin(1+sin2)sin+cos=sin(sin+cos)2sin+cos=
8、sin(sin+cos)=sin2+sin cos=sin2+sincossin2+cos2=tan2+tantan2+1=4-24+1=25.故选 C.(2)因为 P(-1,3)为角 终边上的一点,所以 tan=-3,故 sin-2cos3sin+cos=tan-23tan+1=-3-23(-3)+1=58.方法点拨利用“弦切互化”求齐次式值的方法(1)若齐次式为分式,可将分子与分母同除以cos 的n次幂,将分式的分子与分母化为关于tan 的式子,代入tan 的值即可求解.(2)若齐次式为二次整式,可将其视为分母为1的分式,然后将分母1用sin2+cos2替换,再将分子与分母同除以cos2,
9、化为只含有tan 的式子,代入tan 的值即可求解.对点训练2(1)(2021吉林长春高三一模)已知sin=3cos,则sin2-2cos2=.(2)(2021湖北黄冈中学检测)已知R,sin2+4sin cos+4cos2=,则tan=.52 答案(1)710(2)3 或-13 解析(1)因为 sin=3cos,所以 tan=sincos=3,所以 sin2-2cos2=sin2-2cos2sin2+cos2=tan2-2tan2+1=32-232+1=710.(2)sin2+4sin cos+4cos2=sin2+4sincos+4cos2sin2+cos2=tan2+4tan+4tan2
10、+1=52,3tan2-8tan-3=0,解得 tan=3 或-13.考向3.sin cos,sin cos 之间关系的应用 典例突破 例 3.(2021 湖北黄冈高三月考)若-20,sin+cos=15,则2sincos+2sin21-tan=.答案-24175 解析 由于 sin+cos=15,所以 1+2sin cos=125,因此 2sin cos=-2425,所以 1-2sin cos=4925,即(sin-cos)2=4925,而-20,所以 sin-cos 0,即 sin-cos=-75.故2sincos+2sin21-tan=2sin(cos+sin)cos-sincos=2s
11、incos(cos+sin)cos-sin=-24251575=-24175.名师点析“和积互化”解决求值问题(1)由同角的三角函数关系可知:(sin cos)2=12sin cos,(sin+cos)2+(sin-cos)2=2,(sin-cos)2=(sin+cos)2-4sin cos,因此已知sin+cos,sin-cos,sin cos 三个式子中的任何一个,即可求出另外两个式子的值,这体现了“和积互化”.(2)求sin+cos,sin-cos 的值时,需要进行开方运算,因此要注意结合角的范围进行符号的判断.对点训练 3(1)(多选)若 sin 与 cos 是方程 2x2-(3+1)
12、x+m=0 的两个根,且(0,2),则下列结论中正确的是()A.m=32B.sin cos=3C.=3 或 6D.=6 或 4(2)(2021 山西石家庄高三一模)已知 tan+1tan=4(,32),则 sin+cos=()A.62B.-62C.63D.-63答案(1)AC(2)B 解析(1)依题意有 sin2+cos2=1,sin+cos=3+12,sincos=2,解得 m=32,sin=32,cos=12或sin=12,cos=32,故 sin cos=34,则=3 或 6,故 A,C 正确;B,D 错误.(2)由 tan+1tan=4 可得sincos+cossin=4,即1sinc
13、os=4,因此 sin cos=14,2sin cos=12,于是(sin+cos)2=1+2sin cos=1+214=32.又因为,32 ,所以 sin 0,cos 0,故 sin+cos=-62.考点二诱导公式的应用典例突破 例 4.(1)化简cos(+2)tan(+)sin(-)cos(-)tan(-)的结果为()A.tan B.cos C.sin D.-sin (2)(2021 福建四地六校联考)已知 为锐角,且2tan(-)-3cos(2+)+5=0,tan(+)+6sin(+)-1=0,则 sin 的值是()A.3 55B.3 77C.3 1010D.13答案(1)C(2)C 解
14、析(1)cos(+2)tan(+)sin(-)cos(-)tan(-)=costan(-sin)cos(-tan)=sin,故选 C.(2)由已知可得-2tan+3sin+5=0,tan-6sin-1=0,解得 tan=3.因为 tan=sincos=3,sin2+cos2=1,且 为锐角,故 sin=31010.技巧点拨利用诱导公式求值、化简的思路与技巧 对点训练4(2021北京门头沟二模)已知角的终边上一点P(1,2),把角按逆时针方向旋转180得到角为,则sin=()A.-55B.2 55C.55D.-2 55答案 D 解析 由题意得,sin=255,cos=55,=+180,所以 si
15、n=sin(+180)=-sin=-255.故选 D.考点三同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用典例突破 例5.(1)记sin(-80)=k,那么tan 260=()A.1-2B.-1-2C.1-2D.-1-2(2)(2021 江苏,13)已知 cos(+2)=513,且(-2,2),则 tan(-9)的值是 .答案(1)D(2)-512 解析(1)由于 sin(-80)=-sin 80=k,则 sin 80=-k,所以 cos 80=1-2,那么 tan 260=tan(180+80)=tan 80=sin80cos80=-1-2,故选 D.(2)由 cos +2=513,则 sin=
16、-513.因为 2,2,所以 2,0,所以cos=1-sin2=1213,所以 tan=sincos=-512,所以 tan(-9)=tan=-512.方法点拨利用同角关系和诱导公式解决综合问题的注意点(1)注意条件与结论间的联系,灵活使用公式及其变形;(2)注意分析已知角与未知角的关系;(3)注意角的范围对三角函数值符号的影响.对点训练 5(1)(2021 湖南长沙高三模拟)已知 cos(2+)=2cos(-),则 tan(4-)=()A.-4B.4C.-13D.13(2)(2021 山东淄博高三月考)已知(0,),cos(56-)=-1213,则tan(+6)=.答案(1)C(2)512 解析(1)cos 2+=2cos(-),-sin=-2cos,即 tan=2,则tan 4 =1-tan1+tan=-13.(2)由于(0,),所以-6 56-56.又因为 cos 56 =-1213,所以2 56-56,因此 sin 56 =1-cos2(56-)=513,所以 tan 56 =-512,故 tan +6=tan 56 =-tan 56 =512.
