1、第21章 二次函数与反比例函数 方法专题1 求二次函数表达式的常用方法 类型一 用待定系数法确定二次函数的表达式方法(一)利用一般式yax2bxc(a0)求二次函数的表达式1.如图所示的抛物线是二次函数yax25x4a2的图象,那么a的值是()52BA.2B.2C.D.22.已知抛物线yax2bx3经过点(2,1)和(1,8),则该抛物线的表达式为3.(课本P23练习T1改编)已知抛物线yax2bxc经过点(1,7),(1,1)和(2,5),则该抛物线的表达式为.yx24x3yx23x54.如图,已知二次函数yx2bxc的图象经过A(2,0),B(0,6)两点(1)求它的表达式；(2)设该二次
2、函数图象的对称轴与x轴交于点C,求ABC的面积12-解：(1)抛物线的表达式为yx24x6.12-(2)由抛物线的一般式变形成顶点式知点C的坐标为(4,0),AC2.点B的坐标为(0,6),OB6,SABCACOB6.12方法(二)利用顶点式ya(xh)2k(a0)求二次函数的表达式5.已知二次函数的图象经过点(1,10),顶点坐标为(1,2),则此二次函数的表达式为()A.y3x26x1 B.y3x26x1C.y3x26x1 D.y3x26x1A6.已知二次函数y x2bxc的图象经过点A(c,2),且这个二次函数图象的对称轴是直线x3.则二次函数的表达式为1221=-3+22yxx7.(2
3、0182019阜阳九中月考)已知二次函数的图象的对称轴为直线x1,函数的最大值为6,且图象经过点(3,8),求此二次函数的表达式解：二次函数的图象的对称轴为直线x1,函数的最大值为6,可设函数表达式为ya(x1)26.函数图象经过点(3,8),a468,解得a，二次函数的表达式为y(x1)26.12-12-方法(三)利用交点式ya(xx1)(xx2)(a0)求二次函数的表达式8.(20182019马鞍山姑溪初中月考)抛物线yax2bxc与x轴的两个交点为(1,0),(3,0),其形状与抛物线y2x2相同,则yax2bxc的函数关系式为()A.y2x2x3 B.y2x24x5C.y2x24x8
4、D.y2x24x6D9.如图,抛物线yax2bxc经过A(1,0),B(5,0),C(0,5)三点(1)求抛物线的表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴解：(1)抛物线与x轴交于A(1,0),B(5,0)两点,设抛物线yax2bxca(x1)(x5),把C(0,5)代入,得5a(01)(05),解得a1,y(x1)(x5)x26x5,即抛物线的表达式是yx26x5.(2)yx26x5(x3)24,抛物线的对称轴为直线x3,顶点坐标为(3,4)类型二 用平移、对称确定二次函数的表达式10.(2018乌鲁木齐)把拋物线y2x24x3向左平移1个单位长度,得到的抛物线的表达式为11.将二次函数y3
5、x21的图象沿x轴翻折后得到的抛物线的表达式为()A.y3x21 B.y3x2C.y3x21 D.y3x21y2x21D解：(1)设抛物线的表达式yk,将A(2,0),C(0,3)代入,得解得y，即.21a+2x25 a+k=041 a+k=34，1a=-225k=8，211322yxx=-21125228x12.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,3),抛物线的对称轴是直线x.(1)求抛物线对应的函数表达式；12(2)抛物线的对称轴是直线x ,且点A的坐标为(2 0)点B的坐标为(3 0)当CMBM时,BOCO 即BOC是等腰直角三角形
6、 点 M与点O重合 点M的坐标为(0 0)；当BCBM时,MBC为等腰三角形BOCO3,BC ,BM ,此时点M的坐标为(3,0)综上所述,点M的坐标为(0,0)或(3,0)12-3 23 23 23 2(2)M是线段AB上的任意一点,当MBC为等腰三角形时,求点M的坐标类型三 利用图形的变化规律确定二次函数的表达式13.如图,二次函数yx2bxc的图象经过A(3,0),B(0,3)两点(1)求b,c的值；(2)点P为二次函数yx2bxc的图象在第一象限部分上的一动点,其横坐标为x(0 x3),写出四边形OAPB的面积S关于点P的横坐标x的函数关系式,并求S的最大值解：(1)将A(3,0),B
7、(0,3)两点代入yx2bxc,得93bc0，c3，解得b2，c3.(2)过点P作PCx轴于点C,作PDy轴于点D.由(1)得二次函数表达式为yx22x3,则P点坐标为(x,x22x3),则矩形CPDO的面积为x(x22x3)x32x23x,BDP的面积为x3(x22x3)x(x22x)x3x2，APC的面积为(3x)(x22x3)x3 x2 x,Sx32x23xx3x2 x3 x2 x,化简整理,得S x2x，当x时,S最大,最大值是.1212121212523292121252329232929223322x-63832638用待定系数法确定二次函数的表达式,设表达式时注意以下几个技巧：1.已知顶点为原点,可设yax2.2.已知顶点在x轴上,可设ya(xh)2.3.已知对称轴为y轴,可设yax2k.4.已知顶点或对称轴或顶点的纵坐标,可设ya(xh)2k.5.已知二次函数图象上的三个点的坐标,可设yax2bxc.6.已知二次函数与两坐标轴的三个交点坐标,可设ya(xx1)(xx2)
