1、高考导航 函数与导数作为高中数学的核心内容，常常与其他知识结合起来，形成层次丰富的各类综合题，高考对导数计算的要求贯穿于与导数有关的每一道题目之中，多涉及三次函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数以及由这些函数复合而成的一些函数的求导问题；函数的单调性、极值、最值均是高考命题的重点内容，在选择、填空、解答题中都有涉及，试题难度不大运用导数解决实际问题是函数应用的延伸，由于传统数学应用题的位置已经被概率解答题占据，所以在历年高考题中很少出现单独考查函数应用题的问题，但结合其他知识综合考查用导数求解最值的问题在每年的高考试题中都有体现另外，在压轴题中常考查导数与含参不等式、方程、解析几何等方
2、面的综合应用等，且难度往往较大热点一 利用导数解决函数的单调性问题函数的单调性是函数在定义域内的局部性质，因此利用导数讨论函数的单调性时，要先研究函数的定义域，再利用导数f(x)在定义域内的符号来判断函数的单调性这类问题主要有两种考查方式：(1)判断函数f(x)的单调性或求单调区间(2)利用函数的单调性或单调区间，求参数的范围【例 1】(12 分)(2014广东卷节选)已知函数 f(x)13x3x2ax1(aR)，求函数 f(x)的单调区间解 f(x)x22xa，开口向上，44a4(1a)(2 分)当 1a0，即 a1 时，f(x)0 恒成立，f(x)在 R 上单调递增(4 分)当 1a0 时
3、，即 a1 时，令 f(x)0，解得 x11 1a，x21 1a(6 分)令 f(x)0，解得 x1 1a或 x1 1a；令 f(x)0，解得1 1ax1 1a；(8 分)所以 f(x)的单调递增区间为(，1 1a)和(1 1a，)；f(x)的单调递减区间为(1 1a，1 1a)(10 分)综上所述：当 a1 时，f(x)在 R 上单调递增；当 a1 时，f(x)的单调递增区间为(，1 1a)和(1 1a，)，f(x)的单调递减区间为(1 1a，1 1a)(12 分)构建模板 求含参函数f(x)的单调区间的一般步骤第一步：求函数f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定)第二步：求函数f(x)的
4、导数f(x)第三步：根据f(x)0的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论第四步：求解(令f(x)0或令f(x)0)第五步：下结论探究提高 讨论含参函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论，注意根据对应方程解的大小进行分类讨论【训练1】已知函数f(x)(a1)ln xax21，求函数f(x)的单调区间解 f(x)的 定 义 域 为(0，)，f(x)a1x 2ax 2ax2a1x(1)当 a1 时，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增；(2)当 a0 时，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递减；(3)当 0a1 时，令 f(x)0，解得 x1a2a，则当 x0
5、，1a2a 时，f(x)0；当 x1a2a，时，f(x)0，故 f(x)在0，1a2a 上单调递减，在1a2a，上单调递增【例2】(2014成都检测)已知函数f(x)x22aln x(a0)(1)若函数f(x)的图象在点(2，f(2)处的切线斜率为2，求实数a的值；(2)若函数 g(x)2xf(x)在1,2上是减函数，求实数 a 的取值范围解(1)由 f(x)x22aln x，得 f(x)2x2ax，而 f(2)4a2，解得 a2(2)由题意知 g(x)2xx22aln x，则 g(x)2x2ax1x2，令 h(x)x2ax1，函数 g(x)在1,2上是减函数等价于 h(x)0 在1,2上恒成
6、立，只需满足h10，h20，解得 a32故实数 a 的取值范围是，32 探究提高 求解此类由函数单调性确定参数取值范围问题的关键在于根据函数的符号变化确定参数所满足的条件，函数在指定区间内不单调也就是导函数在指定区间内符号发生变化，此类问题的求解，一般是利用补集思想，先求函数在指定区间内单调时对应的参数取值范围，然后求解补集，也可根据导函数图象的特征列出对应的条件【训练2】已知函数f(x)exln xaex(a0)(1)若函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线与直线xey10垂直，求实数a的值；(2)若函数f(x)在区间(0，)上是单调函数，求实数a的取值范围解(1)f(x)exln x
7、ex1xaex(1xaln x)ex，f(1)(1a)e，由(1a)e1e1 得 a2(2)由(1)知 f(x)(1xaln x)ex，若 f(x)为单调递减函数，则 f(x)0，即1xaln x0，所以 a1xln x令 g(x)1xln x(x0)，则 g(x)1x21xx1x2(x0)，由 g(x)0 得 x1，故 g(x)在(0,1上为单调递减函数，在1，)上为单调递增函数，此时 g(x)有最小值为 g(1)1，但 g(x)无最大值故 f(x)不可能是单调递减函数若 f(x)为单调递增函数，则 f(x)0，即1xaln x0，所以 a1xln x，由上述推理可知此时 a1故 a 的取值
8、范围是(，1热点二 利用导数求解函数的极值、最值用导数研究函数的极值或最值是高考命题的重要题型之一对于此类问题的求解，首先，要理解函数极值的概念，需要清楚导数为零的点不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该点才是函数的极值点；其次，要区分极值与最值，函数的极值是一个局部概念，而最值是某个区间的整体性概念【例 3】已知函数 f(x)axxln x 的图象在点 xe(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为 3(1)求实数 a 的值；(2)若 kZ，且 k1 恒成立，求 k 的最大值解(1)因为f(x)axxln x，所以f(x)aln x1因为函数f(x)ax
9、xln x的图象在点xe处的切线斜率为3，所以f(e)3，即aln e13，所以a1(2)由(1)知，f(x)xxln x，又 k1 恒成立，即 k1 恒成立令 g(x)xxln xx1，则 g(x)xln x2x12，令 h(x)xln x2(x1)，则 h(x)11xx1x 0，所以函数 h(x)在(1，)上单调递增因为 h(3)1ln 30，所以方程 h(x)0 在(1，)上存在唯一实根 x0，且满足 x0(3,4)当 1xx0 时，h(x)0，即 g(x)x0 时，h(x)0，即 g(x)0，所以函数 g(x)xxln xx1 在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以g(
10、x)ming(x0)x01ln x0 x01x01x02x01x0(3,4)，所以 kg(x)minx0(3,4)，故整数 k 的最大值为 3探究提高 求解此类问题的关键在于正确理解最值的求解、判断的方法，将其转化为函数的单调性问题求解，对于由函数的极值求解含参问题要注意结合导函数图象的性质进行分析，函数有极值点，则其导函数的图象必须穿过 x 轴，而若导函数的图象与 x 轴有公共点，则该函数不一定有极值点【训练 3】(2015德阳期中)已知函数 f(x)13x3ax1(1)当 x1 时，f(x)取得极值，求 a 的值；(2)求 f(x)在0,1上的最小值解 因为f(x)x2a，(1)当x1时，
11、f(x)取得极值，所以f(1)1a0，a1，又当x(1,1)时，f(x)0；x(1，)时，f(x)0，所以f(x)在x1处取得极小值，即a1时符合题意(2)当 a0 时，f(x)0 对 x(0,1)恒成立，所以 f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在 x0 处取得最小值 f(0)1当 a0 时，令 f(x)x2a0，解得 x a或 a当 0a1 时，a1，当 x(0，a)时，f(x)0，f(x)单调递减；当 x(a，1)时，f(x)0，f(x)单调递增，所以 f(x)在 x a处取得最小值 f(a)12a a3当 a1 时，a1x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递减，所以 f(x)在
12、 x1 处取得最小值 f(1)43a综上所述，当 a0 时，f(x)在 x0 处取得最小值 f(0)1，当 0a1 时，f(x)在 x a处取得最小值 f(a)12a a3，当 a1 时，f(x)在 x1 处取得最小值 f(1)43a热点三 构造函数法求解不等式恒成立问题函数与导数的试题，在每年的高考中属于必考内容，一般为压轴题，主要围绕函数的单调性、极值、最值、不等式恒成立等问题展开，此类压轴试题难度较大，对逻辑推理能力要求较强，不可小视【例4】(2015石家庄模拟)已知函数f(x)xln x(x1)(axa1)(aR)(1)若a0，判断函数f(x)的单调性；(2)若x1时，f(x)0恒成立
13、，求a的取值范围解(1)若a0，则f(x)xln xx1，f(x)ln x，x(0,1)时，f(x)0，f(x)为减函数；x(1，)时，f(x)0，f(x)为增函数(2)依题意知 xln x(x1)(axa1)0 在(1，)上恒成立若 a0，则 f(x)xln xx1，f(x)ln x，x(1，)时，f(x)0，f(x)为增函数，f(x)f(1)0，即 f(x)0 不成立，a0 不合题意第(2)小问审题流程一审：抓住 aR，可分 a0 和a0二审：f(x)0，x(1，)恒成立 为什么？ln xx1axa1x 0，x(1，)恒成立三审：构造函数 h(x)ln xx1axa1x，x(1，)四审：求
14、 h(x)，令 h(x)0五审：再对 a 分类讨论若 a0，x1，ln xx1axa1x0在(1，)上恒成立，不妨设 h(x)ln xx1axa1x，x(1，)，h(x)ax2xa1x2x1axa1x2，x(1，)，令 h(x)0，得 x11，x21aa 若 a0，则 x21aa 1，x1 时 h(x)0，h(x)为增函数，h(x)h(1)0，不合题意；若 0a12，则 x21，x1，1aa时 h(x)0，h(x)为增函数，h(x)h(1)0，不合题意；若 a12，则 x21，x(1，)时，h(x)0，h(x)为减函数，h(x)h(1)0，符合题意综上所述，a12探究提高 求解不等式恒成立时参
15、数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值繁琐时，可采用直接构造函数的方法求解【训练 4】已知函数 f(x)13x3x2(m21)x(xR)，其中 m0(1)当 m2 时，求曲线 yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程；(2)若 yf(x)在32，上存在单调递增区间，求 m 的取值范围；(3)已知函数 yf(x)有三个互不相同的零点 0，x1，x2，且 x1x2，若对任意的 xx1，x2，f(x)f(1)恒成立，求 m 的取值范围解(1)m2 时，f(x)13x3x23x，f(x)x22x3，kf(3)0，又 f(3)9，切线方
16、程为 y9(2)f(x)x22xm21，其对称轴为 x1，由条件知f32 0，m214，又 m0，m12(3)f(x)13(x0)(xx1)(xx2)，x1，x2 为方程13x2xm210 的两根，x1x23，且0，结合 m0，解得 m12 x1x2，x232，下面讨论 x1 与 1若 x11x2 时，则 f(1)13(10)(1x1)(1x2)，f(1)0，而 f(x1)0，与条件矛盾若 1x1x2，则对xx1，x2，f(x)13x(xx1)(xx2)0，又 f(x1)0，f(x)在x1，x2上的最小值为 0又 f(x)f(1)恒成立，f(x)minf(1)，即 0f(1)，m2130 33 m 33 由知，m 的取值范围为12，33
