1、【金版学案】2015-2016学年高中数学 第2章 平面向量本章知识整合 苏教版必修4网络构建平面向量的线性运算e1，e2是不共线的向量，已知向量2e1ke2，e13e2，2e1e2，若A、B、D三点共线，求k的值分析：因为A、B、D三点共线，所以存在R，使，可由已知条件表示出，由向量相等得到关于、k的方程组，求得k值解析：e14e2.A、B、D三点共线，故存在R，使.2e1ke2(e14e2)解得k8.规律总结：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题，利用向量的相等及向量共线的充要条
2、件是将向量问题实数化的根据，是解决问题的关键1设两个非零向量e1和e2不共线，如果e1e2，2(e14e2)，3(e1e2)，求证：A，B，D三点共线分析：要证明A，B，D三点共线，只需证.证明：(e1e2)2(e14e2)3(e1e2)6(e1e2)6，为共线向量又，有公共点A，故A，B，D三点共线2如图所示，OMAB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线所围成的阴影区域内(不含边界)运动，且xy，则x的取值范围是_，当x时，y的取值范围是_解析：xy，据平面向量基本定理，取的相反向量，y可以变化，x可以取任意负实数，故x(，0)当x时，.过点A作的平行线交于点M，过M作OA的平行线交于
3、点E，则.同理，过A作的平行线交的延长线于点F.再过F作的平行线交的延长线于点H，则，因不包括边界，故y.答案：(，0)向量的坐标运算已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及t.(1)当t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由分析：(1)将的坐标用t表示出来，然后讨论的横、纵坐标(2)若能成为平行四边形，则有，解出t的值；若t无解，则不能构成平行四边形解析：(1)(1，2)，(3，3)，t(13t，23t)若点P在x轴上，则23t0，t；若点P在y轴上，则13t0，t；若点P在第二象限，则解得t.(2
4、)(1，2)，(33t，33t)若四边形OABP为平行四边形，则.又 无解，故四边形OABP不能成为平行四边形规律总结：向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，引入向量的坐标表示，向量的运算完全化为代数运算，达到了数与形的统一，通过向量的坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模，判断共线、平行等问题3已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2，求向量的坐标分析：要求的坐标只要求出M、N点的坐标即可为此须设出M、N的坐标，然后用已知条件求出解析：设M点坐标为(x，y)，依题意有(1，8)，(6，3)，(x3，y4)3，(x3，y4)3(1，8)解得x0，y20，即M的坐标为(0，20)
5、，同理可得N的坐标为(9，2)，(9，18)4在ABC中，ABAC，D为AB的中点，E为ACD的重心，F为ABC的外心，证明EFCD.证明：建立如图所示的平面直角坐标系设A(0，b)，B(a，0)，C(a，0)，则D，易知ABC的外心F在y轴上可设F(0，y)，由|，可得(yb)2a2y2，所以y，即F.又由重心坐标公式得E，则，所以0.所以，即EFCD.平面向量的数量积设0|a|2，且函数f(x)cos2x|a|sin x|b|的最大值为0，最小值为4，且a与b的夹角为45，求|ab|.分析：要求|ab|需知道|a|、|b|，故可利用函数的最值确立|a|、|b|的值解析：f(x)1sin2x
6、|a|sin x|b|b|1.0|a|2，当sin x时，|a|2|b|10；当sin x1时，|a|b|4.由|ab|284，即|ab|2.规律总结：平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用数量积可以计算向量的夹角、长度等对数量积的正确理解及其性质的灵活应用是解决这类问题的关键5如右图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中：；，向量的数量积最大的是_(填序号)解析：设正六边形边长为a，则aacos 30a2，a2acos 60a2，aacos 900，aacos 120a2，数量积最大的是.故填.答案：6如图，在ABC中，|3
7、，|1，l为BC的垂直平分线且交BC于点D，E为l上异于点D的任意一点，F为线段AD上的任意一点(1)求()的值；(2)判断()的值是否为一常数，并说明理由；(3)若ACBC，求()的最大值解析：(1)()()()(|2|2)4.(2)()的值为一常数()()()()()()4.(3)当ACBC时，BC2，AD，()22()2|cos 02|.设|x，则|x，所以()2x(x)2.所以当x时，()的最大值为.平面向量的应用如下图所示，以ABC的两边AB，AC为边向外作正方形ABGF，ACDE，M为BC的中点，求证：AMEF.分析：要证AMEF，只需证明0，将用、表示，用、表示，然后通过向量运算
8、证明证明：因为M是BC的中点，所以()，所以()()()(00)()|cos(90BAC)|cos(90BAC)0，所以，即AMEF.规律总结：平面向量的应用主要体现在两个方面：一是在平面几何中的应用，向量的加法运算和全等、平行、数乘向量和相似，距离、夹角和向量的数量积之间有密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题解决问题的关键是恰当地引入向量，通过向量运算，解释几何性质二是在物理中的应用，主要解决力、位移、速度等问题解题的关键在于运用向量的观点将物理问题转化为数学问题，并建立相应的数学模型7如右图，O为ABC的外心，E为三角形内的一点，满足，求证：.证明：，()，()()|2|
9、2.O为外心，|.即0，.8一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度与船的实际速度解析：如题图所示，tan 30，|x|58.66 (km/h)sin 30，|y|10 km/h.即水速约为8.66 km/h，船实际速度为10 km/h.向量与其他知识的综合在直角坐标平面中，已知点P1(1，2)，P2(2，22)，P3(3，23)，Pn(n，2n)，其中n是正整数，对平面上任意一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点An为An1关于点Pn的对称点(1)求向量的坐标；(2)当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是
10、函数yf(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x(0，3时，f(x)lg x，求以曲线C为图象的函数在(1，4上的解析式分析：(1)求一点关于另一点的对称点，利用中点坐标公式求之；(2)由图象的平移和周期求出函数的解析式解析：(1)设点A0(x，y)，A0关于点P1的对称点A1的坐标为A1(2x，4y)，A1关于点P2的对称点A2的坐标为A2(2x，4y)，所以(2，4)(2)方法一(2，4)，f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位长度，再向上平称4个单位长度得到因此，曲线C是函数yg(x)的图象，其中g(x)是以3为周期的周期函数，且当x(2，1时，g(x)lg(x2)4.于
11、是，当x(1，4时，g(x)lg(x1)4.方法二设A0(x，y)，A2(x2，y2)，于是若3x26，则0x233，于是f(x2)f(x23)lg(x23)当1x4时，则3x26，y4lg(x1)当x(1，4时，g(x)lg(x1)4.规律总结：向量作为一种基本工具，在数学解题中有着重要的地位与作用，它的引入大大拓宽了解题的思路与方法，使它在研究其他许多问题时获得了广泛的应用利用向量知识和向量方法可以非常简捷、规范地处理代数中的数列、函数、方程、不等式等有关问题9已知点A(2，2)，B(4，1)，O为坐标原点，P为x轴上一动点，当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值解析：设点P的坐标为(x，0
12、)，则(x2，2)，(x4，1)，(x2)(x4)(2)(1)x26x10(x3)21.当x3时，取最小值1，此时(2，2)(3，0)(1，2)，(4，1)(3，0)(1，1)|，|.cosAPB.10如图，在平面斜坐标xOy中xOy60，平面上任一点P关于斜坐标系的坐标是这样定义的：若xe1ye2(其中e1，e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)(1)若点P的斜坐标为(2，2)，求点P到点O的距离|OP|；(2)求以O为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程解析：(1)因点P的坐标为(2，2)，故2e12e2，|2，即|OP|2.(2)设圆上动点M的坐标为(x，y)，则xe1ye2，又|1，(xe1ye2)21.x2y22xye1e21，即x2y2xy1.故所求方程为x2y2xy10.10
