1、学习目标1.梳理构建本章知识网络.2.进一步熟练掌握用导数研究函数性质的方法.3.能求函数的单调区间、极值及最值.4.进一步体会导数的应用1函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a,b)内的函数yf(x)f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0在这个区间内,函数yf(x)是增加的f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,那么f(x0)是极小值3函数yf(x)在a,b上最大值与最小值的求法(1)求函数yf(x)在(a,b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值类型一构造
2、法的应用例1已知定义在(0,)上的函数f(x),f(x)是它的导函数,且恒有sinxf(x)cosxf(x)成立,则()A.f()f()B.f()f()C.f()2f()D.f()f(x)cosx,则f(x)sinxf(x)cosx0,构造函数g(x),则g(x).当x(0,)时,g(x)0,即函数g(x)在(0,)上是增加的,g()g(),f()f(),故选D.反思与感悟此类题目的关键是构造出恰当的函数,利用函数的单调性确定函数值的大小跟踪训练1已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为yf(x),当x0时,f(x)0,若af(),bf(),c(ln)f(ln),则a,b,c的大小关系正确的
3、是()AacbBbcaCabcDcab答案B解析令g(x)xf(x),则g(x)xf(x)xf(x),g(x)是偶函数g(x)f(x)xf(x),f(x)0时,xf(x)f(x)0,当x0.g(x)在(0,)上是减函数ln21,g()g(ln2)g()g(x)是偶函数,g()g(),g(ln)g(ln2),g()g(ln)g()故选B.类型二利用导数研究函数的极值与最值例2已知函数f(x)x3ax2b的图像上一点P(1,0),且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间0,t(0t3)上的最大值和最小值;(3)在(1)的结论下,关于x的方程f(x)
4、c在区间1,3上恰有两个相异的实根,求实数c的取值范围解(1)因为f(x)3x22ax,曲线在P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a,即32a3,a3.又函数过(1,0)点,即2b0,b2.所以a3,b2,f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22,得f(x)3x26x.由f(x)0,得x0或x2.当0t2时,在区间(0,t)上,f(x)0,f(x)在0,t上是减函数,所以f(x)maxf(0)2,f(x)minf(t)t33t22.当2t3时,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x0(0,2)2(2,t)tf(x)00f(x)2?2?t33t22f(x)minf(2)2
5、,f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个f(t)f(0)t33t2t2(t3)0,所以f(x)maxf(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c,则g(x)3x26x3x(x2)在x1,2)上,g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根,则解得20,f(x)x3(1a)x23axb.(1)函数f(x)的极大值为2,求a,b间的关系式;(2)函数f(x)的极大值为2,且在区间0,3上的最小值为,求a,b的值解(1)f(x)3x23(1a)x3a3(xa)(x1),令f(x)0,解得x11,x2a,因为a0,所以x1x2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:
6、x(,1)1(1,a)a(a,)f(x)00f(x)?极大值?极小值?所以当x1时,f(x)有极大值2,即3a2b3.(2)当0a3时,由(1)知,f(x)在0,3上为减函数,即f(3)为最小值,f(3),从而求得a,不合题意,舍去综上,a2,b.类型三数形结合思想的应用例3已知函数yxf(x)的图像如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),给出以下说法:函数f(x)在区间(1,)上是增加的;函数f(x)在区间(1,1)上是增加的;函数f(x)在x处取得极大值;函数f(x)在x1处取得极小值其中正确的说法是_答案解析对于,由图像知,当x(1,)时,xf(x)0,故f(x)0,f(x)在区
7、间(1,)上是增加的对于,当x(1,0)时,xf(x)0,故f(x)0;当x(0,1)时,xf(x)0,故f(x)0.所以当x(1,0)(0,1)时,f(x)2时,f(x)0;当x2时,f(x)0;当x2时,f(x)0.当2x0时,xf(x)0;当x2时,xf(x)0;当x0.由此观察四个选项,故选A.1已知函数f(x)x3bx2cx的图像如图所示,则xx等于()A.B.C.D.答案C解析由题意可知f(0)0,f(1)0,f(2)0,可得1bc0,84b2c0,解得b3,c2,所以函数的解析式为f(x)x33x22x.f(x)3x26x2,令3x26x20,可得x1x22,x1x2,所以xx(
8、x1x2)22x1x242.2已知f(x)是定义在(0,)上的非负可导函数,且满足xf(x)f(x)0,对任意的正数a,b,若ab,则必有()Abf(b)af(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)bf(b) Daf(b)bf(a)答案A解析设g(x)xf(x),x(0,),则g(x)xf(x)f(x)0,g(x)在区间(0,)上是减少的或g(x)为常函数a3,则f(x)3x4的解集为_答案(1,)解析设F(x)f(x)(3x4),则F(1)f(1)(34)110.又对任意的xR,f(x)3,F(x)f(x)30,F(x)在R上是增函数,F(x)0的解集是(1,),即f(x)3x4的解集为(
9、1,)4若函数f(x)x2lnx1在其定义域内的一个子区间(a1,a1)内存在极值,则实数a的取值范围是_答案1,)解析f(x)的定义域为(0,),f(x)2x.令f(x)0,得x或x(舍去)当x(0,)时,f(x)0.x是f(x)的极小值点得1a0恒成立2已知函数f(x)lnx,则有()Af(2)f(e)f(3) Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2) Df(e)f(3)0在(0,)上恒成立,f(x)在(0,)上是增加的,f(2)f(e)0的解集为()A(,0)(1,2) B(1,2)C(,1) D(,1)(2,)答案A解析不等式xf(x)0等价于当x0时,f(x)0,即当x0
10、时,函数是增加的,此时1x2;当x0时,f(x)0,即当x0时,函数是减少的,此时x0,综上,1x2或x0,即不等式的解集为(,0)(1,2)5若f(x)x2bln(x2)在(1,)上是减函数,则b的取值范围是()A1,) B(1,)C(,1 D(,1)答案C解析由题意知f(x)x0,x(1,),即f(x)0,即x22xb(x1)21b0,1b0,b1.6.已知函数f(x)ax3bx2c,其导函数的图像如图所示,则函数f(x)的极小值是()AabcB8a4bcC3a2bDc答案D解析由f(x)图像知,f(x)在(,0)上是减少的,在(0,2)上是增加的,所以函数f(x)在x0时取得极小值c.7
11、定义在R上的函数f(x)满足f(1)1,且对任意xR,都有f(x)的解集为()A(1,2) B(,1)C(1,) D(1,1)答案B解析f(x),f(x)0.设h(x)f(x)x,则h(x)f(x),即为f(x)x,即h(x)h(1),得x0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的递增区间为_答案(,1)和(1,)解析令f(x)3x23a0,得x.由题意得f()2,f()6,得a1,b4.由f(x)3x230,得f(x)的递增区间为(,1)和(1,)9已知函数f(x)ex在定义域内有极值点,则实数a的取值范围是_答案(,1)(3,)解析f(x)exexex.因为x2(1a)x10有两个不相等且
12、不等于1的实数根,所以(1a)240且a1,解得a1或a3.10设函数f(x)ax33x1(xR),若对于任意的x(0,1都有f(x)0成立,则实数a的取值范围为_答案4,)解析x(0,1,f(x)0可化为a.令g(x),则g(x),令g(x)0,得x.当0x0;当x1时,g(x)0,g(x)在(0,1上有极大值g()4,也是最大值a4.11函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)f(2x),且当x(,1)时,(x1)f(x)0,设af(0),bf(),cf(3),则a,b,c的大小关系为_答案cab解析依题意,得当x0,f(x)为增函数又f(3)f(1),且101,因此有f(1)f(0)f(
13、),即f(3)f(0)f(),即ca0),f(x).令f(x)0,解得x11,x2(舍去)当x(0,1)时,f(x)0,故f(x)在(1,)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值,极小值为f(1)3.13已知函数f(x)x32ax23x,若xa是f(x)的极值点,求f(x)在2,a上的最大值和最小值解由题意知f(a)3a24a230,a.当a时,x2,f(x)3x24x33(x)(x),此时,由f(x)0,可得2x;由f(x)0,可得xf(x),且f(0)2,则不等式f(x)f(x),g(x)0,即函数g(x)在定义域上是减少的f(0)2,g(0)f(0)2,则不等式等价于g(x)0,不等式的
14、解集为(0,),故选C.15已知函数f(x)x2mlnx,h(x)x2xa.(1)当a0时,f(x)h(x)在(1,)上恒成立,求实数m的取值范围;(2)当m2时,若函数k(x)f(x)h(x)在区间1,3上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围解(1)由f(x)h(x)在(1,)上恒成立,得m在(1,)上恒成立令g(x),则g(x),故g(e)0.当x(1,e)时,g(x)0.故g(x)在(1,e)上是减少的,在(e,)上是增加的,故当xe时,g(x)取得最小值g(e)e.所以me.(2)由已知可知k(x)x2lnxa,函数k(x)在1,3上恰有两个不同零点,相当于函数(x)x2lnx与直线ya有两个不同的交点(x)1,故(2)0.所以当x1,2)时,(x)0,所以(x)是增加的所以(1)1,(3)32ln3,(2)22ln2,且(1)(3)(2)0,所以22ln2a32ln3.所以实数a的取值范围为(22ln2,32ln3