1、学习目标1.梳理构建本章知识网络.2.进一步熟练掌握用导数研究函数性质的方法.3.能求函数的单调区间、极值及最值.4.进一步体会导数的应用1函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数yf(x)f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0在这个区间内，函数yf(x)是增加的f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值3函数yf(x)在a，b上最大值与最小值的求法(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值类型一构造
2、法的应用例1已知定义在(0，)上的函数f(x)，f(x)是它的导函数，且恒有sinxf(x)cosxf(x)成立，则()A.f()f()B.f()f()C.f()2f()D.f()f(x)cosx，则f(x)sinxf(x)cosx0，构造函数g(x)，则g(x).当x(0，)时，g(x)0，即函数g(x)在(0，)上是增加的，g()g()，f()f()，故选D.反思与感悟此类题目的关键是构造出恰当的函数，利用函数的单调性确定函数值的大小跟踪训练1已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为yf(x)，当x0时，f(x)0，若af()，bf()，c(ln)f(ln)，则a，b，c的大小关系正确的
3、是()AacbBbcaCabcDcab答案B解析令g(x)xf(x)，则g(x)xf(x)xf(x)，g(x)是偶函数g(x)f(x)xf(x)，f(x)0时，xf(x)f(x)0，当x0.g(x)在(0，)上是减函数ln21，g()g(ln2)g()g(x)是偶函数，g()g()，g(ln)g(ln2)，g()g(ln)g()故选B.类型二利用导数研究函数的极值与最值例2已知函数f(x)x3ax2b的图像上一点P(1，0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)
4、c在区间1，3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围解(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P(1，0)处的切线斜率为f(1)32a，即32a3，a3.又函数过(1，0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.当0t2时，在区间(0，t)上，f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)2?2?t33t22f(x)minf(2)2
5、，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个f(t)f(0)t33t2t2(t3)0，所以f(x)maxf(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，则g(x)3x26x3x(x2)在x1，2)上，g(x)0.要使g(x)0在1，3上恰有两个相异的实根，则解得20，f(x)x3(1a)x23axb.(1)函数f(x)的极大值为2，求a，b间的关系式；(2)函数f(x)的极大值为2，且在区间0,3上的最小值为，求a，b的值解(1)f(x)3x23(1a)x3a3(xa)(x1)，令f(x)0，解得x11，x2a，因为a0，所以x1x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：
6、x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)?极大值?极小值?所以当x1时，f(x)有极大值2，即3a2b3.(2)当0a3时，由(1)知，f(x)在0，3上为减函数，即f(3)为最小值，f(3)，从而求得a，不合题意，舍去综上，a2，b.类型三数形结合思想的应用例3已知函数yxf(x)的图像如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：函数f(x)在区间(1，)上是增加的；函数f(x)在区间(1，1)上是增加的；函数f(x)在x处取得极大值；函数f(x)在x1处取得极小值其中正确的说法是_答案解析对于，由图像知，当x(1，)时，xf(x)0，故f(x)0，f(x)在区
7、间(1，)上是增加的对于，当x(1，0)时，xf(x)0，故f(x)0；当x(0，1)时，xf(x)0，故f(x)0.所以当x(1，0)(0，1)时，f(x)2时，f(x)0；当x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.当2x0时，xf(x)0；当x2时，xf(x)0；当x0.由此观察四个选项，故选A.1已知函数f(x)x3bx2cx的图像如图所示，则xx等于()A.B.C.D.答案C解析由题意可知f(0)0，f(1)0，f(2)0，可得1bc0,84b2c0，解得b3，c2，所以函数的解析式为f(x)x33x22x.f(x)3x26x2，令3x26x20，可得x1x22，x1x2，所以xx(
8、x1x2)22x1x242.2已知f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意的正数a，b，若ab，则必有()Abf(b)af(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)bf(b) Daf(b)bf(a)答案A解析设g(x)xf(x)，x(0，)，则g(x)xf(x)f(x)0，g(x)在区间(0，)上是减少的或g(x)为常函数a3，则f(x)3x4的解集为_答案(1，)解析设F(x)f(x)(3x4)，则F(1)f(1)(34)110.又对任意的xR，f(x)3，F(x)f(x)30，F(x)在R上是增函数，F(x)0的解集是(1，)，即f(x)3x4的解集为(
9、1，)4若函数f(x)x2lnx1在其定义域内的一个子区间(a1，a1)内存在极值，则实数a的取值范围是_答案1，)解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x.令f(x)0，得x或x(舍去)当x(0，)时，f(x)0.x是f(x)的极小值点得1a0恒成立2已知函数f(x)lnx，则有()Af(2)f(e)f(3) Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2) Df(e)f(3)0在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上是增加的，f(2)f(e)0的解集为()A(，0)(1，2) B(1，2)C(，1) D(，1)(2，)答案A解析不等式xf(x)0等价于当x0时，f(x)0，即当x0
10、时，函数是增加的，此时1x2；当x0时，f(x)0，即当x0时，函数是减少的，此时x0，综上，1x2或x0，即不等式的解集为(，0)(1,2)5若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是()A1，) B(1，)C(，1 D(，1)答案C解析由题意知f(x)x0，x(1，)，即f(x)0，即x22xb(x1)21b0，1b0，b1.6.已知函数f(x)ax3bx2c，其导函数的图像如图所示，则函数f(x)的极小值是()AabcB8a4bcC3a2bDc答案D解析由f(x)图像知，f(x)在(，0)上是减少的，在(0,2)上是增加的，所以函数f(x)在x0时取得极小值c.7
11、定义在R上的函数f(x)满足f(1)1，且对任意xR，都有f(x)的解集为()A(1，2) B(，1)C(1，) D(1,1)答案B解析f(x)，f(x)0.设h(x)f(x)x，则h(x)f(x)，即为f(x)x，即h(x)h(1)，得x0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的递增区间为_答案(，1)和(1，)解析令f(x)3x23a0，得x.由题意得f()2，f()6，得a1，b4.由f(x)3x230，得f(x)的递增区间为(，1)和(1，)9已知函数f(x)ex在定义域内有极值点，则实数a的取值范围是_答案(，1)(3，)解析f(x)exexex.因为x2(1a)x10有两个不相等且
12、不等于1的实数根，所以(1a)240且a1，解得a1或a3.10设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意的x(0,1都有f(x)0成立，则实数a的取值范围为_答案4，)解析x(0,1，f(x)0可化为a.令g(x)，则g(x)，令g(x)0，得x.当0x0；当x1时，g(x)0，g(x)在(0，1上有极大值g()4，也是最大值a4.11函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf()，cf(3)，则a，b，c的大小关系为_答案cab解析依题意，得当x0，f(x)为增函数又f(3)f(1)，且101，因此有f(1)f(0)f(
13、)，即f(3)f(0)f()，即ca0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(舍去)当x(0，1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值，极小值为f(1)3.13已知函数f(x)x32ax23x，若xa是f(x)的极值点，求f(x)在2，a上的最大值和最小值解由题意知f(a)3a24a230，a.当a时，x2，f(x)3x24x33(x)(x)，此时，由f(x)0，可得2x；由f(x)0，可得xf(x)，且f(0)2，则不等式f(x)f(x)，g(x)0，即函数g(x)在定义域上是减少的f(0)2，g(0)f(0)2，则不等式等价于g(x)0，不等式的
14、解集为(0，)，故选C.15已知函数f(x)x2mlnx，h(x)x2xa.(1)当a0时，f(x)h(x)在(1，)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m2时，若函数k(x)f(x)h(x)在区间1，3上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围解(1)由f(x)h(x)在(1，)上恒成立，得m在(1，)上恒成立令g(x)，则g(x)，故g(e)0.当x(1，e)时，g(x)0.故g(x)在(1，e)上是减少的，在(e，)上是增加的，故当xe时，g(x)取得最小值g(e)e.所以me.(2)由已知可知k(x)x2lnxa，函数k(x)在1，3上恰有两个不同零点，相当于函数(x)x2lnx与直线ya有两个不同的交点(x)1，故(2)0.所以当x1，2)时，(x)0，所以(x)是增加的所以(1)1，(3)32ln3，(2)22ln2，且(1)(3)(2)0，所以22ln2a32ln3.所以实数a的取值范围为(22ln2，32ln3