1、基础达标1.在极坐标系中，圆心在(，)且过极点的圆的方程为()A.2cos B.2cos C.2sin D.2sin 答案：B解析：如图所示，已知圆心为P(，)，在圆上任找一点M(，)，延长OP与圆交于点Q，则OMQ90，在RtOMQ中，OMOQcosQOM2cos()，即2cos .2.极坐标方程2sin的图形是()答案：C解析：2sin2sin cos 2cos sin (sin cos )，2sin cos ，x2y2xy，1，圆心的坐标为.结合四个图形，可知选C.3.将曲线的极坐标方程4sin 化成直角坐标方程为()A.x2(y2)24 B.x2(y2)24C.(x2)2y24 D.(
2、x2)2y24答案：B解析：由已知得24sin ，x2y24y，x2(y2)24.4.极坐标方程cos sin 2所表示曲线是_.答案：一个直线和一个圆解析：cossin22sincos，cos0或2sin.cos0表示一条直线(垂直于极轴)；2sin 2cos表示圆心为，半径为1的圆.5.在极坐标系(，)(02)中，曲线2sin 与cos 1的交点的极坐标为_.答案：解：2sin 的直角坐标方程为x2y22y0，cos 1的直角坐标方程为x1，由解得即两曲线的交点为(1，1)，又02，因此这两条曲线的交点的极坐标为.6.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极
3、坐标方程为cos1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点.(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.解：(1)由cos1得1，从而C的直角坐标方程为xy1，即xy2.0时，2，所以M(2，0)；时，所以N.(2)M点的直角坐标为(2，0)，N点的直角坐标为，所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为，R.综合提高7.已知点P的极坐标为(1，)，那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是()A.1 B.cos C. D.答案：C解析：如图所示，设M为直线上任一点，设M(，).在OPM中，OPOMcosPOM，1cos()，
4、即.8.直线和直线sin()1的位置关系是()A.垂直 B.平行C.相交但不垂直 D.重合答案：B解析：两直线斜率相同.9.在以O为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a相交于A，B两点.若AOB是等边三角形，则a的值为_.答案：3解析：将极坐标方程化为普通方程，根据图形的对称性求出交点坐标，代入圆方程求解即可.由4sin 可得x2y24y，即x2(y2)24.由sin a可得ya.设圆的圆心为O，ya与x2(y2)24的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示.由对称性知OOB30，ODa.在RtDOB中，易求DBa，B点的坐标为.又B在x2y24y0上，a24a0，即a24a0，解
5、得a0(舍去)或a3.10.在极坐标系中，定点A，点B在直线l：cos sin 0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是_.答案：解析：将cos sin 0化为直角坐标方程为xy0，点A化为直角坐标得A(0，1)，如图，过A作AB直线l于B，因为AOB为等腰直角三角形，又因为|OA|1，则|OB|，BOx，故B点的极坐标是B.11.在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.解：在sin中令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1，0).因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos .12.在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r1，Q点在圆C上运动.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若P在直线OQ上，且，求动点P的轨迹方程.解：(1)圆C的圆心坐标化为平面直角坐标为，所以圆C的平面直角坐标方程为1，化为极坐标方程为26cos80.(2)设P点坐标为(，)，Q点坐标为(0，0)，则由题意可知因为点Q在圆C上，所以点Q的坐标适合圆C的方程，代入得6cos80，整理即得动点P的轨迹方程为215cos500.