1、柱、锥、台和球的体积的教学设计课题名称：柱、锥、台和球的体积设计思路：本课题的难点是对祖暅原理的理解，并由祖暅原理推导柱锥台球的体积公式。对于祖暅原理的理解，它是一个公理，不能证明，或者定义得到。我通过两个手段，（1）通过实物，一摞摆放整齐的书本，可以看成长方体，对上述长方体进行两次变形，第一次变形为平行六面体，第二次变成非规范的几何体，通过研究它们的体积公式，然后得出结论：祖暅原理的内容。从而引出课题。（2）通过flash动画演示，进一步突破祖暅原理内容中，截面积相等，高度相等的两个几何体体积相等。教学目标设计：知识与技能：祖暅原理的内容，利用祖暅原理推导柱锥台球的体积公式，通过公式的学习，
2、利用“割”与“补”的思想解决空间几何体的体积的计算，达到解决实际问题的目的。过程与方法：通过祖暅原理及柱锥台球的体积公式的学习，提高学生归纳与总结，计算与推理的能力，渗透空间与平面的相互转化的数学思想，渗透三棱锥体积的换底思想，以及数学问题由繁及简的思想方法。鼓励学生积极探索体积公式的推导，逐步提高学生数学探究的能力与合作的能力。情感态度与价值观：通过学习，使学生了解我国古代数学家探索体积计算公式的艰辛历程，了解祖冲之父子数学及天文学上做出的巨大贡献，和突出成就，激发学生热爱科学，提高学习数学的兴趣四、教学重点：棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导五、教学难点：对祖暅原理的理解和棱柱、棱锥、棱台和
3、球的体积公式的应用六、教学方法与教学手段：教学方法：课程引入时，采用问题探究式，通过实物-一摞书作为长方体，进行了两次变形，提出了三个问题，引出了本节课的重要内容祖暅原理。提高学生的兴趣。讲解祖暅原理，棱柱、棱锥、球的公式时，采用flash动画多媒体辅助教学，帮助学生理解祖暅原理，推导柱锥台球的体积公式。尤其是三棱锥体积的推导，和球的体积的推导起了画龙点睛的作用，帮助学生更好的理解。使课堂生动有趣。教学手段：启发探究，flash动画辅助教学，多功能投影仪辅助教学。提高课堂的效率。七、教学过程：（一）课题引入：我们知道：一个几何体占据空间的大小，叫做体积。观察实物：这里摆放一摞书，下面有三个问题
4、请同学们回答：问题一：给你一把直尺，怎样计算上面着一摞书（摆放成长方体）的体积？学生回答：V=abc问题二：将上述几何体变形为（平行六面体），那么新几何体的体积有什么变化？学生回答：几何体的体积不变化问题三：将几何体再次变形后，所得几何体的体积又有什么变化？学生回答：几何体的体积不变化那么我们得到这三个几何体的体积都相等。问题四：为什么上述几何体的体积相等？你有何发现？学生回答：截面积相等，高度相等，所以体积相等。引出今天我们研究的祖暅原理的内容。（二）新课讲解：请看课件：祖暅原理：幂势既同，则既不容异。请同学解释：幂-？势-？（回答：幂指截面积，势指高度）也就是说：夹在两个平行平面间几何体被
5、平行于两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。演示动画：展现截面积 高度相等,地面积相等.问题一:由祖暅原理,两个棱柱体积相等需要具备什么条件?如果是两个柱体呢?学生回答:底面积相等,高相等.问题二:两个棱锥体积相等需要具备什么条件?如果是两个锥体呢?学生回答: 学生回答:底面积相等,高相等.得到结论:等底面积等高的两个柱体或锥体的体积相等.拓展:链接到祖冲之与祖暅父子的杰出贡献的文献.提高学生的学习热情。棱柱和圆柱的体积：演示动画：问题一：想求柱体的体积公式，如何转化呢？（由祖暅原理，课件中三个几何体等底面积，等高体积相等，故转化成长方体的体积。）得
6、到结论：棱锥和圆锥的体积：在这个环节设计学生活动一：为了推导锥体的体积，首先由祖暅原理，底面积相等，高相等的棱锥和圆锥体积相等。问题一：为了推导锥体的体积公式，从圆锥入手，还是棱锥入手呢？问题二：从圆锥入手如何解决？ 从棱锥入手有如何解决呢？问题三：从棱锥入手，又是从几棱锥入手呢？讨论结果：学生回答：从圆锥入手，从圆柱挖去一个等底同高的圆锥，在小学时通过实验的方式得到圆锥装沙子的体积是圆柱体积的。可以猜想锥体体积是柱体体积的。讨论结果：从棱锥入手推导体积公式，主要三棱锥的体积，因为任何一个棱锥都可以分解成三棱锥。设计学生活动二：分成四个小组，学生通过手中的三棱柱，将三棱柱拆分成三个三棱锥，研究
7、三个三棱锥的体积的关系。讨论结果：两个学生分别一边演示教具，一边回答：得到三个几何体体积相等演示flash动画：展现三棱柱分解为三个三棱锥的辅助线添加过程，以及分解后的体积相等的证明过程。得到结论：棱台和圆台的体积：由棱台的定义：用平行于底面的平面截去棱锥，则余下的部分，称作棱台。学生活动：在黑板上推导台体的体积公式V=总结归纳：三个公式的记忆方式：链接课件链接动画到例题：例题1、对例题设计了以下活动：（1）当C点在BC上滑动时，两个几何体的体积之比。（2）当D点在AD上滑动时，且C在BC上滑动时，两个几何体的体积之比。（3）当C在平面上滑动时，两个几何体的体积之比。进一步巩固等底面积，等高，
8、则体积相等。球的体积：链接课件到球的体积。通过研究半球的体积从而研究球的体积，如何找到一个几何体截面积与半球的截面积相等呢？这里是本节课的难点，采用启发式教学。分析半球的截面的面积，是两个圆的面积之差，引导学生找两个同心圆，从而探索到这个几何体为”圆柱中挖去一个等底面积等高的圆锥”,从而利用祖暅原理得到：半球的体积=底面半径和高为R圆柱 的体积等底同高的圆锥的体积。推导结果：（三）课堂巩固：学生练习：圆柱的侧面展开图是长宽的矩形，求圆柱的体积。将学生的练习，在投影机上展示，纠正学生的不规范的表达。（四）小结：本节课重点知识：祖暅原理的内容，以及利用祖暅原理推导柱锥台和球的体积公式，渗透了等价转化的数学思想方法。4
