1、高二数学第 1 页台山侨中 2020-2021 学年度高二第一学期第一次月考试题高二数学时间：120 分钟一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1.下列说法正确的是（）必然事件的概率等于 1；互斥事件一定是对立事件；球的体积与半径的关系是正相关；汽车的重量和百公里耗油量成正相关.A.B.C.D.2.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（）A、16B、12C、13D、233.从甲、乙两人手工制作的圆形产品中随机抽取 6 件，测得其直径如下：(单位：cm)甲：9.0,9.2,9.0,8.5,9.1,9.2；乙：8.9,9.6,9.5,8.5,8.6,8.9.据以上
2、数据估计两人的技术的稳定性，结论是（）A甲优于乙B乙优于甲C两人没区别D无法判断4.一组样本数据的频率分布直方图如图所示,试估计样本数据的中位数为（）A.9100B.11.52C.12D.135.某企业有职工 150 人，其中高级职称 15 人，中级职称 45 人，一般职员 90 人，现用分层抽样抽取 30 人，则各职称人数分别为（）A.5，10，15B.3，9，18 说学习C.3，10，17D.5，9，166.从某单位 45 名职工中随机抽取 5 名职工参加一项社区服务活动，对这 45 名职工编号 01，02，03，45,用随机数法确定这 5 名职工.现将随机数表摘录部分如下：16 22 7
3、7 94 3949 54 43 54 8217 37 93 23 7887 35 20 96 4384 42 17 53 3157 24 55 06 8877 04 74 47 6721 76 33 50 25从随机数表第一行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第 5 个职高二数学第 2 页工的编号为（）A.23B.37C.35D.177已知随机变量 X 的分布列如表 其中 a 为常数X012345P0.10.1A0.30.20.1则(13)PX等于()A.0.4B.0.5C.0.6D.0.78有 2 个人从一座 10 层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第
4、二层开始在每一层离开是等可能的，则 2 个人在不同层离开的概率为（）A19B29C49D899台城南新区的路网大概如图所示，某人要从 A 地前往 B 地，则路程最短的走法有（）A8 种B10 种C12 种D32 种10.从不同的3双鞋中任取2只，取出的鞋恰好一只是左脚的另一只是右脚的但不成对的概率为（）A 51B 52C 53D 5411如果naa)13(32的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中2a 的系数是（）A 2835B.2835C.21D.-2112.从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有（）8 种12 种16 种20 种二、填空题：本大题共 4
5、 小题，每小题 5 分，共 20 分.13用 0,1,2,3 这 4 个数字可组成个没有重复数字的两位偶数。14用 5 种不同的颜色给右图中所给出的 4 个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻的区域（有公共边）不同色，那么共有种不同的涂色方法.高二数学第 3 页1C1B1A1DCBADFE1582112xxx的展开式中常数项为_。（用数字表示）16某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成，现从中选出 2 人担任正副班长，其中至少有 1 名女生当选的概率是_。三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17.（本小题满分 12 分）A、五人站成一排，（）如果、两人要站在两端，有多少种站法？（
6、）如果、两人不站在两端，有多少种站法？（）如果、两人相邻，有多少种站法？18.（本小题满分 12 分）某小卖部为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的热饮杯数 y 与当天气温 平均温度)Cxo的对比表：x0134y140136129125(1)请在图 a 中画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程axby；(3)如果某天的气温是Co5,试根据(2)求出的线性回归方程预测这天大约可以卖出的热饮杯数参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式：xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniii,)()(122112
7、1参考数据:,102312541293136114005.1324)125129136140(19.（本小题满分 12 分）在棱长为 a 的正方体1111ABCDA B C D中,E 是线段11AC 的中点,ACBDF.()求证:CE BD；高二数学第 4 页()求证:CE平面1A BD；()求三棱锥1DA BC的体积.20.（本小题满分 12 分）在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张券中有一等奖券 2 张，每张可获价值 50 元的奖品；有二等奖券 2 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖 某顾客从此 10 张奖券中任抽 2 张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的
8、奖品总价值 X 元的概率分布列21.（本小题满分 12 分）甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出 1 到 5 根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢(1)若以 A 表示和为 6 的事件，求 P(A)；(2)现连玩三次，若以 B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问 B 与 C 是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由22.（本小题满分 12 分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对25，55岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图
9、：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组25，30)1200.6第二组30，35)195p第三组35，40)1000.5第四组40，45)a0.4第五组45，50)300.3第六组50，55150.3高二数学第 5 页(1)补全频率分布直方图并求 n、a、p 的值；(2)从年龄段在40，50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动，其中选取 2 人作为领队，求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在40，45)岁的概率.高二数学第 6 页台山侨中 2020-2021 学年度高二第一学期第一次月考试题高二数学时间：120 分钟一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，
10、共 60 分1.下列说法正确的是（C）必然事件的概率等于 1；互斥事件一定是对立事件；球的体积与半径的关系是正相关；汽车的重量和百公里耗油量成正相关.A.B.C.D.解析：互斥事件不一定是对立事件，错；中球的体积与半径是函数关系，不是正相关关系，错；正确，选 C.2.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（C）A、16B、12C、13D、233.从甲、乙两人手工制作的圆形产品中随机抽取 6 件，测得其直径如下：(单位：cm)甲：9.0,9.2,9.0,8.5,9.1,9.2；乙：8.9,9.6,9.5,8.5,8.6,8.9.据以上数据估计两人的技术的稳定性，结论是（A）A甲优于乙B乙
11、优于甲C两人没区别D无法判断【解析】x甲16(9.09.29.08.59.19.2)9.0，x乙16(8.99.69.58.58.68.9)9.0；s2甲16(9.09.0)2(9.29.0)2(9.09.0)2(8.59.0)2(9.19.0)2(9.29.0)20.346，s2乙16(8.99.0)2(9.69.0)2(9.59.0)2(8.59.0)2(8.69.0)2(8.99.0)21.046.因为 s2甲s2乙，所以甲的技术比乙的技术稳定4.一组样本数据的频率分布直方图如图所示,试估计样本数据的中位数为（A）B.9100B.11.52C.12D.13高二数学第 7 页【解析】解：根
12、据频率分布直方图,得；,令,解得,估计样本数据的中位数为5.某企业有职工 150 人，其中高级职称 15 人，中级职称 45 人，一般职员 90 人，现用分层抽样抽取30 人，则各职称人数分别为（B）A.5，10，15B.3，9，18C.3，10，17D.5，9，16解析：单位职工总数是 150，所以应当按照 15 的比例来抽取.所以各职称人数分别为 3，9，18.选 B.6.从某单位 45 名职工中随机抽取 5 名职工参加一项社区服务活动，对这 45 名职工编号 01，02，03，45,用随机数法确定这 5 名职工.现将随机数表摘录部分如下：16 22 77 94 3949 54 43 54
13、 8217 37 93 23 7887 35 20 96 4384 42 17 53 3157 24 55 06 8877 04 74 47 6721 76 33 50 25从随机数表第一行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第 5 个职工的编号为（A）A.23B.37C.35D.17解析：对这 45 名职工编号 01，02，03，45.从第一行的第五列和第六列的数字开始，所以，第一个读到的数是 77，不在范围内，下一个数 94 也不在范围内，故取到的第一个号码是 39，后面依次是 43，17，37，23.从而可知答案是 A.7已知随机变量 X 的分布列如表 其中
14、 a 为常数X012345PA则(13)PX等于A.B.C.D.解析：由概率之和等于 1 可知，高二数学第 8 页故选：C8有 2 个人从一座 10 层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则 2 个人在不同层离开的概率为（D）A.19B.29C.49D.89解析：设 2 个人分别在 x 层，y 层离开，则记为(x，y)基本事件构成集合(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,10)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,10)，(10,2)，(10,3)，(10,4)，(10,10)，所以除了(2,2)，(3,3)，(4,4)，(10,10)以外，都是
15、 2 个人在不同层离开，故所求概率 P9999989.9台城南新区的路网大概如图所示，某人要从 A 地前往 B 地，则路程最短的走法有（B）A8 种B10 种C12 种D32 种解析：解答：由图可知为使路程最短，从 A 到 B 都必须向上走两格向左走 3 格.先考虑横着走，然后竖着走两格共有 4 种；若先考虑横着走，然后竖着走 1 个再横着走，共有 3+2+1=6 种.即共有 4+6=10种.10.从不同的3双鞋中任取2只，取出的鞋恰好一只是左脚的另一只是右脚的但不成对的概率为（B）A 51B 52C 53D 5411如果naa)13(32的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中2a 的系
16、数是（A）A 2835B.2835C.21D.-2112.从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有（B）8 种12 种16 种20 种题号123456789101112答案CCAABACDBBAB二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.高二数学第 9 页13用 0,1,2,3 这 4 个数字可组成5个没有重复数字的两位偶数。14用 5 种不同的颜色给右图中所给出的 4 个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻的区域（有公共边）不同色，那么共有 260种不同的涂色方法.1582112xxx的展开式中常数项为_。（用数字表示）4216某班委会由
17、 4 名男生与 3 名女生组成，现从中选出 2 人担任正副班长，其中至少有 1 名女生当选的概率是_。75三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17.（本小题满分 12 分）A、五人站成一排，（）如果、两人要站在两端，有多少种站法？（）如果、两人不站在两端，有多少种站法？（）如果、两人相邻，有多少种站法？解（）因为、排在两端的的不同方法有22A 种方法，第二步排中间三人共有33A 种不同的排法，所以根据乘法原理不同的排法共有232312AA种不同的排法（4 分）（）第一步由 C、D、E 三人中任选两人排在两端的不同排法有23A 种不同的排法，第二步由余下的三人排中间位置共有不同的排法33
18、A 种。所以符合要求的不同排法总数为323336AA种（8分）（3）把 A、B 视为一个整体（AB），则（AB），C，C，D，E 的全排列数是44A 种，再排 AB 则有22A 种方法因此符合要求的排法共有424248AA种（12 分）18.（本小题满分 12 分）某小卖部为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的热饮杯数 y 与当天气温 平均温度)Cxo的对比表：x0134y140136129125(1)请在图 a 中画出上表数据的散点图；高二数学第 10 页1C1B1A1DCBADFE(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程axby；(3)如果
19、某天的气温是Co5,试根据(2)求出的线性回归方程预测这天大约可以卖出的热饮杯数参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式：xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniii,)()(1221121参考数据：,102312541293136114005.1324)125129136140(【答案】解：根据表中数据,画出散点图,如图所示；（3 分）计算,又,（6 分）,（8 分）故所求线性回归方程为；（9 分）当时,；（11 分）预测这天大约可以卖出 121 杯热饮（12 分）19.（本小题满分 12 分）在棱长为a 的正方体1111ABCDA B C D中,E 是线段11AC
20、的中点,ACBDF.()求证:CE BD；()求证:CE平面1A BD；()求三棱锥1DA BC的体积.【答案】(1)证明：根据正方体的性质 BDAC，因为1AAABCD BDABCD平面，平面，高二数学第 11 页1C1B1A1DCBADFE所以1BDAA，又1ACAAA3 分所以11BDACC A 平面，11CEACC A 平面，所以CE BD；5 分(2)证明：连接1A F，因为111111/AABBCCAABBCC，所以11ACC A 为平行四边形，因此1111/ACACACAC，由于 E 是线段11AC 的中点,所以1/CEFA，8 分因为1FA 面1A BD，CE 平面1A BD，
21、所以CE平面1A BD 9 分(3)1131136D A BCABCDBCDaVVSA A12 分20.（本小题满分 10 分）在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张券中有一等奖券 2 张，每张可获价值 50 元的奖品；有二等奖券 2 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖 某顾客从此 10 张奖券中任抽 2 张，求：该顾客中奖的概率；该顾客获得的奖品总价值 X 元的概率分布列【答案】解：该顾客获奖的概率为；4 分根据题意得，X 的取值可能为 0，10，20，50，60，100，5 分，8 分X 的分布列为：高二数学第 12 页X010205060100()P X10 分21.（
22、本小题满分 12 分）甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出 1 到 5 根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢(1)若以 A 表示和为 6 的事件，求 P(A)；(2)现连玩三次，若以 B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问 B 与 C 是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由解(1)甲、乙出手指都有 5 种可能，因此基本事件的总数为 5525，事件 A 包括甲、乙出的手指的情况有(1,5)、(5,1)、(2,4)、(4,2)、(3,3)共 5 种情况，P(A)52515.（4 分）(2)B 与 C 不是互斥事件因为事件 B 与 C 可以同时发生，如甲赢
23、一次，乙赢两次的事件即符合题意（8 分）(3)这种游戏规则不公平由(1)知和为偶数的基本事件数为 13 个(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)所以甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225.所以这种游戏规则不公平（12 分）22.（本小题满分 12 分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对25，55岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳
24、族的人数占本组的频率第一组25，30)1200.6第二组30，35)195p第三组35，40)1000.5第四组40，45)a0.4第五组45，50)300.3第六组50，55150.3高二数学第 13 页(1)补全频率分布直方图并求 n、a、p 的值；(2)从年龄段在40，50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动，其中选取 2 人作为领队，求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在40，45)岁的概率.解析：(1)第二组的频率为 1(0.040.040.030.020.01)50.3，所以高为0.35 0.06.频率直方图如下：第一组的人数为1200.6200，频率为
25、 0.0450.2，所以 n2000.21 000.由题可知，第二组的频率为 0.3，所以第二组的人数为 1 0000.3300，所以 p1953000.65.第四组的频率为 0.0350.15，所以第四组的人数为 1 0000.15150，所以 a1500.460.（4 分）(2)因为40，45)岁年龄段的“低碳族”与45，50)岁年龄段的“低碳族”的比值为 603021，所以采用分层抽样法抽取 6 人，40，45)岁中有 4 人，45，50)岁中有 2 人.（6 分）设40，45)岁中的 4 人为 a、b、c、d，45，50)岁中的 2 人为 m、n，则选取 2 人作为领队的有(a，b)、
26、(a，c)、(a，d)、(a，m)、(a，n)、(b，c)、(b，d)、(b，m)、(b，n)、(c，d)、(c，m)、(c，n)、(d，m)、(d，n)、(m，n)，共 15 种；（8 分）其中恰有 1 人年龄在40，45)岁的有(a，m)、(a，n)、(b，m)、(b，n)、(c，m)、(c，n)、(d，m)、(d，n)，共 8 种.（10 分）所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在40，45)岁的概率为 P 815.（12 分）法二：设40，45)岁中的 4 人为 a、b、c、d，45，50)岁中的 2 人为 m、n，则选取 2 人作为领队的有26C15 种；（8 分）其中恰有 1 人年龄在40，45)岁的有1214 CC8 种.（10 分）所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在40，45)岁的概率为 P 815.（12 分）
