1、广东省东莞市2018-2019学年高一数学下学期期末教学质量检查试题（含解析）考生注意：本卷共三大题，22小题，满分150分，时间120分钟.不准使用计算器.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑.1.的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由诱导公式一化简【详解】故选B【点睛】本题考查诱导公式，解题时要注意角的特点，确定选用什么公式2.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】纵竖坐标不变，横坐标变为相反数【详解】
2、点关于平面对称的点的坐标为故选C【点睛】本题考查空间直角坐标系，属于基础题3.某中学高一从甲、乙两个班中各选出7名学生参加2019年第三十届“希望杯”全国数学邀请赛，他们取得成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均数是84，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】由均值和中位数定义求解【详解】由题意，由茎叶图知就中位数，故选C【点睛】本题考查茎叶图，考查均值与中位数，解题关键是读懂茎叶图4.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出（ ）A. 13B. 15C. 40D. 46【答案】A【解析】【分析】模拟程序运行即可【详解】程序运行循环
3、时，变量值为，不满足；，不满足；，满足，结束循环，输出故选A【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构解题时可模拟程序运行，观察变量值的变化，判断是否符合循环条件即可5.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由及得，这样只要对平方后可利用平方关系和二倍角公式求值【详解】，故选A【点睛】本题考查二倍角公式和平方关系，解题时需注意确定和的符号，否则不会得出正确的结论6.矩形中，若在该矩形内随机投一点，那么使得的面积不大于3的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出的点的轨迹（一条直线），然后由面积公式可知时点所在区域，计算其面积，利用几何概型概率公
4、式计算概率【详解】设到的距离为，则，如图，设，则点在矩形内，所求概率为故选C【点睛】本题考查几何概型概率解题关键是确定符合条件点所在区域及其面积7.已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由弧长公式求出圆半径，再在直角三角形中求解【详解】，如图，设是中点，则，故选D【点睛】本题考查扇形弧长公式，在求弦长时，常在直角三角形中求解8.已知在中，线段上一点，且，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先，由已知条件可知，再有，这样可用表示出【详解】，故选C【点睛】本题考查平面向量基本定理，解题时用向量加
5、减法表示出，然后用基底表示即可9.圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是（ ）A. 4B. 6C. 16D. 36【答案】C【解析】分析】两圆外切时，有三条公切线【详解】圆标准方程为，两圆有三条公切线，两圆外切，故选C【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系两圆的公切线条数：两圆外离时，有4条公切线，两圆外切时，有3条公切线，两圆相交时，有2条公切线，两圆内切时，有1条公切线，两圆内含时，无无公切线10.已知函数相邻两个零点之间的距离为，将的图象向右平移个单位长度，所得的函数图象关于轴对称，则的一个值可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求周期，从而求得，
6、再由图象变换求得【详解】函数相邻两个零点之间的距离为，则周期为，图象向右平移个单位得，此函数图象关于轴对称，即为偶函数，时，故选D【点睛】本题考查函数的图象与性质考查图象平衡变换在由图象确定函数解析式时，可由最大值和最小值确定，由“五点法”确定周期，从而确定，再由特殊值确定11.如图，已知边长为的正三角形内接于圆，为边中点，为边中点，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】如图，是直角三角形，是等边三角形，则与的夹角也是30，又，故选B【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题时可通过平面几何知识求得向量的模，向量之间的夹角，这可简化运算12.已知函数在时取最大值，在是取最小值
7、，则以下各式：；可能成立的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】由余弦函数性质得，()，解出后，计算，可知三个等式都不可能成立【详解】由题意，()，解得，三个都不可能成立，正确个数为0故选A【点睛】本题考查余弦函数的图象与性质，解题时要注意对中的整数要用不同的字母表示，否则可能出现遗漏，出现错误二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上.）13.已知向量，向量，若与垂直，则_【答案】 ；【解析】【分析】由计算可得【详解】，与垂直，故答案为3【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算由向量垂直得其数量积为0，本题属于基础题14.某中
8、学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如下的表格：甲乙丙平均数250240240方差151520根据表中数据，该中学应选_参加比赛【答案】乙 ；【解析】【分析】一个看均值，要均值小，成绩好；一个看方差，要方差小，成绩稳定【详解】乙的均值比甲小，与丙相同，乙的方差与甲相同，但比丙小，即乙成绩好，又稳定，应选乙、故答案为乙【点睛】本题考查用样本的数据特征来解决实际问题一般可看均值（找均值好的）和方差（方差小的稳定），这样比较易得结论15.若，则_【答案】 ；【解析】【分析】把分子的1换成，然后弦化切，代入计算【详解】故答案
9、为2【点睛】本题考查三角函数的化简求值解题关键是“1”的代换，即，然后弦化切16.过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若的最大值为，则实数_【答案】1或；【解析】【分析】要使最大，则最小【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为若的最大值为，解得或故答案1或【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题思路是平面上对圆的张角问题，显然在点固定时，圆外的点作圆的两条切线，这两条切线间的夹角是最大角，而当点离圆越近时，这个又越大三、解答题 ：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.） 17.已知角的顶点在原
10、点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标是.（1）求；（2）求；【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求得点到原点的距离，根据三角函数的定义求值；（2）同（1）可求出，然后用诱导公式化简，再代入值计算【详解】（1）（2），为第四象限，【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题18.已知向量，向量为单位向量，向量与的夹角为.（1）若向量与向量共线，求；（2）若与垂直，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）共线向量夹角为0或180，由此根据定义可求得两向量数量积（2）由向量垂直转化为向量的当量积为0，从而求得，也就求得，再由余弦的二倍角公式可得【详解】法一（1），故
11、或向量，向量法二（1），设即或或（2）法一：依题意，故法二：设即，又或【点睛】本题考查向量共线，向量垂直与数量积的关系，考查平面向量的数量积运算解题时按向量数量积的定义计算即可19.东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼，摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）求频率分布直方图中的值，并根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数和中位数（同一组数据用该区间的中点值作代表
12、）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中抽出20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会.在答题卡上的统计表中填出每组相应抽取的人数：年龄人数若从年龄在的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在的概率.【答案】（1），平均数为，中位数为（2）见解析【解析】【分析】（1）由频率分布直方图各个小矩形的面积之和为1可得，用区间中点值代替可计算均值，中位数把频率分布直方图中小矩形面积等分（2）分层抽样，是按比例抽取人数；年龄在有2人，在有4人，设在的是，在的是，可用列举法列举出选2人的所有可能，然后可计
13、算出概率【详解】（1）由频率分布直方图各个小矩形的面积之和为1，得在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数为：设中位数为，由，解得.（2）每组应各抽取人数如下表：年龄人数12485根据分层抽样的原理，年龄在有2人，在有4人，设在的是，在的是，列举选出2人的所有可能如下：，共15种情况.设“这2人至少有一人的年龄在区间”为事件，则包含：共9种情况则【点睛】本题考查频率分布直方图，考查样本数据特征、古典概型，属于基础题型20.东莞市公交公司为了方便广大市民出行，科学规划公交车辆的投放，计划在某个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车的间隔时间与乘客等候人数之间的关系，选取一天
14、中的六个不同的时段进行抽样调查，经过统计得到如下数据：间隔时间（分钟）81012141618等候人数（人）161923262933调查小组先从这6组数据中选取其中的4组数据求得线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验，检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数的差，若两组差值的绝对值均不超过1，则称所求的回归方程是“理想回归方程”.参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：，（1）若选取的是前4组数据，求关于的线性回归方程；（2）判断（1）中的方程是否是“理想回归方程”：（3）为了使等候的乘客不超过38人，试用（1）中方程估计间隔时间最多可以设置为
15、多少分钟？【答案】（1）（2）是“理想回归方程”（3）估计间隔时间最多可以设置为21分钟【解析】【分析】（1）根据所给公式计算可得回归方程；（2）由理想回归方程的定义验证；（3）直接解不等式即可【详解】（1），（2）当时，当时，所以判断（1）中的方程是“理想回归方程”（3）由，得估计间隔时间最多可以设置为21分钟【点睛】本题考查回归直线方程，解题时直接根据所给公式计算，考查了学生的运算求解能力21.已知函数的最小正周期为，（1）求函数的单调递减区间；（2）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）的单调递减区间为（2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为
16、一个角的一个三角函数形式，然后得正弦函数的单调性求得减区间；（2）函数在区间上有两个零点可转化为函数与的图像有两个不同的交点.，利用函数图象可求解【详解】（1）函数的最小正周期，故令，得故的单调递减区间为（2）函数在区间上有两个零点，即方程区间上有两个不同的实根，即函数与的图像有两个不同的交点.，故，结合单调性可知，要使函数与图像有两个不同的交点，则，所以【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查二倍角公式和两角和的正弦公式，考查零点个数问题解决函数零点个数问题通常需要转化与化归，即转化为函数图象交点个数问题，大多数情况是函数图象与直线交点个数问题象本题，最后转化为求函数的单调性与极值（最值）
17、22.已知圆心在轴的正半轴上，且半径为2的圆被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）设动直线与圆交于两点，则在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）当点为时，直线与直线关于轴对称，详见解析【解析】【分析】（1）设圆的方程为，由垂径定理求得弦长，再由弦长为可求得，从而得圆的方程；（2）假设存在定点，使得直线与直线关于轴对称，则，同时设，直线方程代入圆方程后用韦达定理得，即为，代入可求得，说明存在【详解】（1）设圆的方程为：圆心到直线的距离根据垂径定理得，解得，故圆的方程为（2）假设存在定点，使得直线与直线关于轴对称，那么，设联立得：由故存在，当点为时，直线与直线关于轴对称.【点睛】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系在解决存在性命题时，一般都是假设存在，然后根据已知去推理求解象本题定点问题，就是假设存在定点，用设而不求法推理求解，解出值，如不能解出值，说明不存在
