1、2015-2016学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷 （A卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）1掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是（）ABCD2点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为（）A（，）B（，）C（，）D（，）3已知向量，的夹角为60，且|=|=1，则|+|等于（）A3BC2D14总体由编号为01，02，39，40的40个个体组成利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数
2、字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）50 44 66 44 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 4822 66 22 15 86 26 63 75 41 99 58 42 36 72 24 58 37 52 18 51 03 37 18 39 11A23B21C35D325已知2弧度的圆心角所对的弧长为4，那么这个圆心角所对的弦长是（）A2sin1B2cos1C4sin1D4cos16如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（）A12
3、.5，12.5B13.5，13C13.5，12.5D13，137设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）ABCD8某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A0BCD9变量x与y相对应的一组数据为（1，3），（2，5.3），（3，6.9），（4，9.1），（5，10.8）；变量U与V相对应的一组数据为（1，12.7），（2，10.2），（3，7），（4，3.6），（5，1），r1表示变量y与x之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）Ar2r10B0r2r1Cr20r1Dr2=r110已知向量=（sin，cos），=（sin，sin），若，则
4、sin（2）等于（）ABCD11函数f（x）=（+cosx）x在4，4的图象大致为（）ABCD12函数f（x）=sin（2x+）（|）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数是偶函数，且存在x0，使得不等式f（x）m成立，则m的最小值是（）A1BCD1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填在答题卡中相应的位置上）13如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为75，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为14某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始数据记录如下：甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39乙运动员得分：4
5、9，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39这个赛季中发挥更稳定的运动员是（填甲或乙）15若tan+=，（0，），则cos（2）的值为16给出一个如图所示的程序框图，若要使输出的y值是输入的x值的2倍，则这样的x值是三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答过程必须写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效）17已知向量=（4，3），=（1，1）（）求与的夹角的余弦值；（）若向量3+4与平行，求实数的值18为了解某地房价环比（所谓环比，简单说就是与相连的上一期相比）涨幅情况，如表记录了某年1月到5月的月份x（单位：月
6、）与当月上涨的百比率y之间的关系：时间x12345上涨率y0.10.20.30.30.1（1）根据如表提供的数据，求y关于x的线性回归方程y=x+；（2）预测该地6月份上涨的百分率是多少？（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式=， =）19从某次知识竞赛中随机抽取100名考生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在区间55，65），65，75），75，85）内的频率之比为4：2：1（）求这些分数落在区间55，65内的频率；（）用分层抽样的方法在区间45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2个分数，求这2个分数都在区间55，75内的概率20已知函数
7、f（x）=Asin（2x+），xR，A0，（0，），且f（）=f（）=（）求A，的值；（）若f（x0）=，x0，求sin（2x0）的值21已知函数f（x）=sin2x+2cos2x，（02），且f（x）=f（x+）（）试求的值；（）讨论函数g（x）=2|f（x）|kx（kR）在x0，上零点的个数22如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别为BC，CD上异于端点的点，ECF的周长为2，BAE=，DAF=（）当E为BC中点时，求tan（+）的值；（）求的最小值2015-2016学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷 （A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每
8、小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）1掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】对应思想；综合法；概率与统计【分析】简化模型，只考虑第999次出现的结果，有两种结果，第999次出现正面朝上只有一种结果，即可求出【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每中结果等可能出现，故所求概率为，故选：C【点评】本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A
9、出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=2点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为（）A（，）B（，）C（，）D（，）【考点】弧长公式【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值【分析】由题设条件，作出单位圆，结合图形能够求出点Q的坐标【解答】解：P从圆心在原点O的单位圆上点（1，0）出发，沿逆时针方向运动弧长，到达点Q，如图，AOQ=，OQ=1，AQ=，OA=，Q（，）故选：D【点评】本题考查单位圆的应用，解题时要认真审题，注意数形结果思想的应用，属于基础题3已知向量，的夹角为60，且|=|=1，则|+|等于（）A3BC2D1【考点】平面向量数量积的运
10、算【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】由已知结合，展开平方，代入平面向量数量积公式得答案【解答】解：向量，的夹角为60，且|=|=1，|+|=故选：B【点评】本题考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题4总体由编号为01，02，39，40的40个个体组成利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）50 44 66 44 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 4822 66 22 15 86 26 6
11、3 75 41 99 58 42 36 72 24 58 37 52 18 51 03 37 18 39 11A23B21C35D32【考点】系统抽样方法【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论【解答】解：从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为64，不符合条件，第二个数为42，不符合条件，第三个数为16，符合条件，以下符合条件依次为：26，24，23，21，故第5个数为21故选：B【点评】本题主要考查简单随机抽样在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的5已知2
12、弧度的圆心角所对的弧长为4，那么这个圆心角所对的弦长是（）A2sin1B2cos1C4sin1D4cos1【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形【分析】利用弧长公式，可求半径，进而利用余弦定理，二倍角公式即可得解【解答】解：设半径为R，2弧度的圆心角所对的弧长为4，所以：4=2R，解得：R=2，所以：设圆心角所对的弦长为x，则x=4sin1故选：C【点评】本题主要考查了弧长公式，余弦定理，二倍角公式在解三角形中的应用，考查学生的计算能力，属于基础题6如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（）A12.5，12.5B13.5，
13、13C13.5，12.5D13，13【考点】频率分布直方图【专题】对应思想；定义法；概率与统计【分析】根据频率分布直方图的数据，结合平均数数和中位数的对应进行判断即可【解答】解：根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2，第二组的频率为0.5，则第三组的频率为0.3，则平均数为7.50.2+12.50.5+17.50.3=13，由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间（10，15的的位置，即中位数为10+（1510）=13故选：D【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，要求熟练掌握中位数和平均数的定义以及计算方式7设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）ABCD【
14、考点】向量的三角形法则【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用【分析】D，F分别为ABC的三边BC，AB的中点，可得， =， =代入即可得出【解答】解：D，F分别为ABC的三边BC，AB的中点， =， =+=故选：C【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A0BCD【考点】程序框图【专题】计算题；转化思想；综合法；算法和程序框图【分析】本题循环结构是当型循环结构，根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论【解答】解：如图，这个循环结构是当型
15、循环结构，第一次循环：S=，n=2；第二次循环：S=，n=3；第三次循环：S=，n=4；第四次循环：S=，n=5；第五次循环：S=0，n=6；n=20155=403，S=0n+1=2016，退出循环，输出S=0故选：A【点评】本题考查当型循环结构的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答9变量x与y相对应的一组数据为（1，3），（2，5.3），（3，6.9），（4，9.1），（5，10.8）；变量U与V相对应的一组数据为（1，12.7），（2，10.2），（3，7），（4，3.6），（5，1），r1表示变量y与x之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）Ar2r10B0r
16、2r1Cr20r1Dr2=r1【考点】线性回归方程【专题】函数思想；综合法；概率与统计【分析】由所给的数据可知：变量x与y成正相关，即r10，变量U与V成正相关，即r20，可知r20r1【解答】解：由变量x与y相对应的一组数据可知，随着x的增加，y增加，变量x与y成正相关，即r10，变量U与V相对应的一组数据可知，随着U的增加，V减少，变量U与V成正相关，即r20，r20r1，故答案选：C【点评】本题考查数据的相关性，考查比较相关系数大小的方法，属于基础题10已知向量=（sin，cos），=（sin，sin），若，则sin（2）等于（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算；三角函数的化简求值【
17、专题】计算题；函数思想；方程思想；高考数学专题；三角函数的求值【分析】由垂直和数量积的关系可化简，由两角和与差的正弦函数展开后重新组合可得结论【解答】解：向量=（sin，cos），=（sin，sin），若，可得sin2+cossin=0，sin=0或sin+cos=0，=k，kZ，2=2k或=k，则2=2k，kZsin（2）=（sin2cos2）=（10）=故选：A【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，涉及数量积的运算，属中档题11函数f（x）=（+cosx）x在4，4的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据奇函数的图象关于原点对称，故排
18、除C；根据函数在（0，）上的值大于零，故排除D；根据当x= 或x=时，当cosx=，f（x）=0，故排除B，从而得出结论【解答】解：函数f（x）=（+cosx）x为奇函数，故它的图象关于原点对称，故排除C；f（x）=+xcosx 在（0，）上的值大于零，故排除D；当x= 或x=时，当cosx=，f（x）=0，故排除B，故选：A【点评】本题主要考查三角函数的图象，三角函数的奇偶性，值域以及零点，属于中档题12函数f（x）=sin（2x+）（|）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数是偶函数，且存在x0，使得不等式f（x）m成立，则m的最小值是（）A1BCD1【考点】函数y=Asin（x+）的图
19、象变换【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由条件利用y=Asin（x+）的图象变换规律，求出f（x）的解析式，再根据题意求x0，时f（x）的最小值即可【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数y=sin2（x+）+=sin（2x+）为偶函数，+=k+，即=k+，kZ；|，=，f（x）=sin（2x+）；又x0，2x0，2x+，sin（2x+）1；存在x0，时，不等式f（x）m成立，m，m的最小值是故选：B【点评】本题考查了函数y=Asin（x+）图象的变换问题，也考查了三角函数在闭区间上的最值问题，是基础题目二、填空题（本大题共4小题，
20、每小题5分，共20分请把答案填在答题卡中相应的位置上）13如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为75，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为【考点】几何概型【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计【分析】由题意，所求属于几何概型；要计算投中阴影部分的概率，根据每次都投镖都能投入圆盘内，圆盘对应的圆心角的度数为360，阴影部分的圆心角为75，代入几何概型概率公式，即可得到答案【解答】解：圆盘对应的圆心角的度数为360，阴影部分的圆心角为75故投中阴影部分的概率P=故答案为：【点评】本题考查了几何概型，找出所有基本事件对应的几何量是圆心角为360的角度，满足条件的几何
21、量是圆心角为75的角度，是解答本题的关键14某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始数据记录如下：甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39这个赛季中发挥更稳定的运动员是乙（填甲或乙）【考点】极差、方差与标准差【专题】数形结合；分析法；概率与统计【分析】画出茎叶图，根据图象判断即可【解答】解：由题意得茎叶图如图：，由图象得：乙更稳定，故答案为：乙【点评】本题考查了数据的处理问题，考查茎叶图、方差问题，是一道基础题15若tan+=，（0，），则cos（2）的值为【考点】
22、三角函数的化简求值【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】利用方程求得tan的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sin2 和 cos2 的值，再由 cos（2）利用两角差的余弦函数运算求得结果【解答】解：tan+=，（0，），tan=2（0，）再由sin2=，cos2=，可得 cos（2）=coscos2+sinsin2=，故答案为：【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式，二倍角公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题16给出一个如图所示的程序框图，若要使输出的y值是输入的x值的2倍，则这样的x值是1【考点】程序框图【专题】计算题；图表型；分类讨论；算法和程序框图【分析
23、】根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，分段讨论满足y=2x的x值，最后综合讨论结果可得答案【解答】解：根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，当x0时，y=x23=2x，解得x=1或x=3（舍去），当0x1时，y=x1=2x，解得x=1，舍去；当x1时，=2x，x无解，综上所述，这样的x值是1故答案为：1【点评】本题考查的知识点是程序框图，考查了分类讨论思想，分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答过程必须写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域
24、的答案无效）17已知向量=（4，3），=（1，1）（）求与的夹角的余弦值；（）若向量3+4与平行，求实数的值【考点】平面向量数量积的运算【专题】综合题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】（）根据向量的夹角公式计算即可，（）根据向量的坐标运算和向量平行的条件即可求出【解答】解：（）设与的夹角为，则cos=，所以与的夹角的余弦值，（）向量=（4，3），=（1，1）3+4=（12，9）+（4，4）=（16，5），=（41，3+1），向量3+4与平行平，16（3+1）=5（41）解得=故所求的值【点评】本题考查了向量的数量积公式向量的夹角公式，以及向量平行的条件，属于中档题18为了解某地房价环比
25、（所谓环比，简单说就是与相连的上一期相比）涨幅情况，如表记录了某年1月到5月的月份x（单位：月）与当月上涨的百比率y之间的关系：时间x12345上涨率y0.10.20.30.30.1（1）根据如表提供的数据，求y关于x的线性回归方程y=x+；（2）预测该地6月份上涨的百分率是多少？（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式=， =）【考点】线性回归方程【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计【分析】（1）利用已知条件求出回归直线方程的有关数据，即可求出回归直线方程（2）代入回归直线方程，即可预测该地6月份上涨的百分率【解答】解：（1）由题意， =3， =0.212+22+32+42+5
26、2=55，10.1+20.2+30.3+40.3+50.1=3.1所以回归直线方程为y=0.01x+0.17（2）当x=6时，y=0.016+0.17=0.23预测该地6月份上涨的百分率是0.23【点评】本题考查回归直线方程的应用，回归直线方程的求法，考查计算能力19从某次知识竞赛中随机抽取100名考生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在区间55，65），65，75），75，85）内的频率之比为4：2：1（）求这些分数落在区间55，65内的频率；（）用分层抽样的方法在区间45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2个分数，求这2个分数都在区间55，75
27、内的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【专题】应用题；方程思想；综合法；概率与统计【分析】（I）由题意，质量指标值落在区间55，65），65，75），75，85内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间55，65内的频率；（）用分层抽样的方法在区间45，75）内抽取一个容量为6的样本，利用列举法确定基本事件，从而求出概率【解答】解：（）设区间75，85）内的频率为x，则区间55，65），65，75）内的频率分别为4x和2x依题意得（0.004+0.012+0.019+0.030）10+4x+2x+x=1，解得x=0.05所以区间55，6
28、5内的频率为0.2（）由（）得，区间45，55），55，65），65，75）内的频率依次为0.3，0.2，0.1用分层抽样的方法在区间45，75）内抽取一个容量为6的样本，则在区间45，55）内应抽取件，记为A1，A2，A3在区间55，65）内应抽取件，记为B1，B2在区间65，75）内应抽取件，记为C设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间55，75内”为事件M，则所有的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，C，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，C，A3，B1，A3，B2，A3，C，B1，B2，B1，C，B2，C，共15种事件M包含的基本事件有：B
29、1，B2，B1，C，B2，C，共3种所以这2件产品都在区间55，75内的概率为【点评】本题考查概率分布在实际问题中的应用，结合了统计的知识，综合性较强，属于中档题20已知函数f（x）=Asin（2x+），xR，A0，（0，），且f（）=f（）=（）求A，的值；（）若f（x0）=，x0，求sin（2x0）的值【考点】正弦函数的图象；三角函数的化简求值【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】（）由题意可知：f（）=f（）=，由正弦函数的对称性及的取值范围可知（+）+（+）=，求得的值，代入f（）=，即可求得A的值；（）由（）可知f（x0）=2sin（2x0+）=，求得sin（2x0+
30、）=，根据x0，即2x0+，可知cos（2x0+）0，根据同角三角函数的基本关系，cos（2x0+）=，利用两角差的正弦公式求得sin（2x0）=sin（2x0+），即可求得sin（2x0）的值【解答】解：（）f（）=f（）=，Asin（+）=Asin（+）=，（0，），（+）+（+）=，=，Asin（+）=，A=2，A=2，=； （）由（）可知：f（x）=2sin（2x+），f（x0）=2sin（2x0+）=，sin（2x0+）=x0，2x0+，cos（2x0+）0，cos（2x0+）=，sin（2x0）=sin（2x0+）=，sin（2x0）= 【点评】本题考查求正弦函数的解析式的方法，考
31、查正弦函数图象及性质，同角三角函数基本关系，两角和差的正弦公式，考查计算能力，属于中档题21已知函数f（x）=sin2x+2cos2x，（02），且f（x）=f（x+）（）试求的值；（）讨论函数g（x）=2|f（x）|kx（kR）在x0，上零点的个数【考点】正弦函数的图象【专题】计算题；综合题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】（）将函数进行化简，利用f（x）=f（x+）求出的值（）求出g（x），分成两个不同函数，采用数形结合法，依次在x0，上对k不同是值，看两个函数的交点问题【解答】解：（）由函数f（x）=sin2x+2cos2x，可得：f（x）=sin2x+cos2x+=2
32、sin（2x+）+，函数f（x）的最小正周期为，由：f（x）=f（x+），可得：f（x）=f（x+），根据函数周期性质有：kT=，kN*，即：k=，02，解得：；（）由函数g（x）=2|f（x）|kx（kR）化简：g（x）=|2sin（3x+）|+2kx，令h（x）=|2sin（3x+）|，y=2=kx，那么g（x）在x0，上零点的个数等价于函数h（x）与y=2kx图形在0，上的交点个数数形结合：画出h（x）的函数图象如图：最高点A为（），B为（，2）与x轴的交点C为（）讨论y=2kx在x0，上的情况：当直线经过C点时，此时k=当k0，两函数图象无交点；当k=0，两函数图象有2个交点；当0k，
33、两函数图象有3个交点；当k=，两函数图象有2个交点；当k，两函数图象有1个交点；因此：当k0，g（x）在x0，上没有零点；当0k，g（x）在x0，上有3零点；当k=0，k=，g（x）在x0，上有2零点；当k，g（x）在x0，上有1个零点【点评】本题考查了三角函数的图象及性质的综合运用能力和化简能力，利用数形结合法讨论零点问题属于中档题22如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别为BC，CD上异于端点的点，ECF的周长为2，BAE=，DAF=（）当E为BC中点时，求tan（+）的值；（）求的最小值【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正切函数【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的求值
34、【分析】（）根据解直角三角形，和两角和正弦公式，即可求出，（）根据解三角形和三角形的周长公式，能求出a+=，再根据向量的数量积，以及三角函数的性质即可求出【解答】解：（）E为BC中点，CE=，在RtECF中，设CF=t，则 EF=，ECF的周长为2，+t+=2，解得t=，即CF=； 在RtABE中，AB=1，BE=，BAE=，tan=，在RtADF中，AD=1，DF=，DAF=，tan=，tan（+）=1 （）在RtABE中，AB=1，BE=，BAE=，BE=tan（0，1），AE=，在RtADF中，AD=1，DF=，DAF=，DF=tan（0，1），AF= 在RtECF中，CE=1tan，CF=1tan，EF=，ECF的周长为2，1tan+1tan+=2化简得 tan+tan=1tantan，tan（+）=1 又0+，a+=，EAF=（+）=|cosEAF=cos = 0，2+，当 2+=，即a=时，sin（2+）取得最大值1，即取得最小值=2（1）【点评】本题考查了解三角形的有关问题，以及三角函数的化简，以及向量的数量积公式和正弦函数的性质，属于中档题2016年10月26日